Modulo (algebra): differenze tra le versioni

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{{F|algebra|dicembre 2022}}

In [[matematica]], e in particolare in [[algebra]], un '''modulo''' è una [[struttura algebrica]] che generalizza il concetto di [[spazio vettoriale]] richiedendo che gli [[Scalare (matematica)|scalari]] non costituiscano un [[campo (matematica)|campo]] ma un [[anello (algebra)|anello]]: un modulo su un anello ''A'' è quindi un [[gruppo abeliano]] ''M'' su cui è definita un'operazione che associa ad ogni elemento di ''A'' e ad ogni elemento di ''M'' un nuovo elemento di ''M''.

Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una [[base (algebra lineare)|base]], e quindi non è possibile definire una [[dimensione#Dimensione di Hamel|dimensione]] che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello ''A'' - è parte integrante della teoria dei moduli.

La nozione di modulo è centrale nell'[[algebra commutativa]] e nell'[[algebra omologica]], e forma la base della [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] dei [[gruppo (matematica)|gruppi]]; è inoltre usata nella [[geometria algebrica]] e nella [[topologia algebrica]].

== Definizione ==

Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]]. Un ''A''-'''modulo sinistro''' ''M'' è un [[gruppo abeliano]] <math>(M,+)</math> su cui è definita un'operazione <math>A\times M \mapsto M</math> tale che

# <math>a(v+w)=av+aw</math> per ogni <math>a\in A,~v,w\in M</math>;

# <math>(a+b)v=av+bv</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>;

# <math>(ab)v=a(bv)</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>.

Analogamente, ''A''-'''modulo destro''' è un ''M'' su cui è definita un'operazione <math>M\times A \mapsto M</math> su cui valgono analoghi assiomi, ma in cui ''a'' e ''b'' sono scritti a destra degli elementi di ''M''; mentre nellestando soltanto alle prime due proprietà questale differenzadue èstrutture differiscono solo cosmeticaper una diversa convenzione di scrittura (l'ordine dei fattori nell'operazione), nella terza questasi èmostra una differenza reale fra loro, in quanto <math>ab</math> non è, in generale, uguale a <math>ba</math>. Se l'anello ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], allora i concetti di modulo destro e sinistro coincidono, nel senso che sono una variante di scrittura l'uno dell'altro (e perciò sono [[Isomorfismo|isomorfi]]).

Se ''M'' è contemporaneamente un ''A''-modulo destro e sinistro, e se le due moltiplicazioni sono compatibili (ovvero se vale

:<math>(av)b=a(vb)</math>

per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>) allora ''AM'' è detto [[bimodulo]] (o ''modulo bilatero''); tale struttura può essere generalizzata nel caso in cui la moltiplicazione destra e sinistra avviene in due anelli diversi, ovvero se ''M'' è un ''A''-modulo sinistro e un ''B''-modulo destro e le due moltiplicazioni sono compatibili: in tal caso si parla di <math>(A,B)</math>-bimodulo.

Se l'anello è [[anello unitario|unitario]], si richiede generalmente che anche l'unità sia compatibile con la struttura di modulo, nel senso che

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Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di ''modulo unitario''; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.

Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di [[azione di gruppo|azione]]: per un fissato elemento <math>a\in A</math>, l'applicazione <math>\mu_a:M\longrightarrow M</math> tale che <math>\mu_a(v)=av</math> è un [[omomorfismo di gruppi|omomorfismo]] di ''M'' in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni <math>a\in A</math> la moltiplicazione <math>\mu_a</math> è un [[omomorfismo di anelli]] tra ''A'' e l'insieme <math>End(M)</math> degli endomorfismi di ''M''. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]], che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali, odo equivalentemente le azioni di anello delle corrispondenti [[algebra di gruppo|algebre di gruppo]].

== Esempi ==

* Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].

* Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].

*Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].

* Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.

* Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.

*Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].

* Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>).

*Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.

*Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.

*Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>).

== Sottomoduli, omomorfismi e quozienti ==

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L'insieme degli omomorfismi tra due ''A''-moduli ''M'' ed ''N'' è esso stesso un ''A''-modulo, indicato con <math>Hom(M,N)</math> (oppure <math>Hom_A(M,N)</math> se è necessario chiarire quale sia l'anello base), definendo le operazioni come

* <math>(f+g)(v)=f(v)+g(v)</math> e

* <math>(af)(v)=a(f(v))</math>.

Per ogni ''A''-modulo ''M'' si ha un isomorfismo canonico <math>M\simeq Hom(A,M)</math>.

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Tuttavia, non sempre è possibile trovare un insieme di generatori [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]], ed anzi esistono moduli non nulli in cui nessun elemento è linearmente indipendente: ad esempio, se ''A'' è un anello e ''I'' un suo ideale, allora nessun elemento di <math>A/I</math> è linearmente indipendente, in quanto <math>iv=0</math> per ogni <math>i\in I\subseteq A</math> e per ogni <math>v\in A/I</math>.

Nel caso in cui una base (ovvero un [[insieme di generatori]] linearmente indipendente) esista, il modulo è detto [[modulo libero|libero]]; quando questo avviene, il modulo è isomorfo alla [[somma diretta]] di un numero di copie uguale alla [[cardinalità]] della sua base e, se questo è finito e uguale ad ''n'', al modulo <math>A^n</math>. In generale, questo numero ''n'' non è unico: possono cioè esserci casi in cui i moduli <math>A^n</math> ed <math>A^m</math> sono isomorfi, sebbene ''n'' ed ''m'' siano diversi. Questo non può avvenire se ''A'' è commutativo oppure se è [[anello noetheriano|noetheriano]]; in tal caso, ''n'' viene detto ''rango'' del modulo libero.<ref>{{SpringerEOM|title=Rank of a module|author=V.E. Govorov}}</ref><ref>{{cita libro|autore=Paul Moritz Cohn|titolo=Introduction to ring theory|lingua=ingleseen|editore=Springer|anno=2000|idisbn=ISBN 1-85233-206-9|paginepp=pp.169-171}}</ref>

Nel caso degli spazi vettoriali (ovvero quando ''A'' è un campo), tutti i moduli hanno una base, ovvero tutti i moduli sono liberi; in virtù dell'esempio precedente, segue anche che se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, allora ''A'' è un [[corpo (matematica)|corpo]]. In questo caso, il rango coincide con la [[dimensione di Hamel|dimensione]] dello spazio vettoriale.

== Decomponibilità ==

Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come [[somma diretta]] di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primiprimo]], lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulimodulo <math>\mathbb{Z}_{/p^2}\Z</math> non è semplicisemplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\mathbb{Z}_{/p^2}\Z=\{0,p,2p,\ldots,p(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\mathbb{Z}_{/p^2}\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.

Se tutti gli ''<math>A''</math>-moduli sono semisemplici, ''<math>A''</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che ''<math>A''</math> sia semisemplice come ''<math>A''</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se ''<math>G''</math> è un [[gruppo finito]] e ''<math>k''</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[caratteristicaCaratteristica (algebra)|caratteristica]] di ''<math>k''</math> non divide l'ordine di ''<math>G''</math>.

È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la [[lunghezza di un modulo|lunghezza]] del modulo è finita ([[teorema di Krull-Schmidt]]). Nel caso dei [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]] (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se ''<math>A''</math> è un PID e ''<math>M''</math> un ''<math>A''</math>-modulo finitamente generato, allora

:<math>M\simeq RA^k\oplus RA/(q_1)\oplus RA/(q_2)\oplus\cdots\oplus RA/(q_n),</math>,

dove i <math>q_i</math> sono potenze di [[elemento primo|elementi primi]] di <math>A</math>. Una conseguenza di questa classificazione è l'esistenza della [[forma canonica di Jordan]] per [[applicazione lineare|applicazioni lineari]] su uno spazio vettoriale su un [[campo algebricamente chiuso]].

== Note ==

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|idisbn=ISBN 0-201-40751-5|lingua=ingleseen|cid=Atiyah}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra}}

{{algebra commutativa}}

{{Controllo di autorità}}

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[[Categoria:Teoria dei moduli| ]]

[[Categoria:Strutture algebriche]]