Varietà (geometria): differenze tra le versioni
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[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|upright=1.6|Localmente la superficie terrestre somiglia ad un piano, e per questo è una ''varietà di dimensione 2.'' Tuttavia tale somiglianza non conserva la distanza tra i punti, in quanto la sfera ha una [[curvatura]] diversa. La curvatura incide sulla somma degli angoli interni di un triangolo: nel piano tale somma è sempre 180°, mentre su una sfera è sempre maggiore. Ad esempio, la somma degli angoli interni del triangolo in figura è 230°. La figura in basso a destra è un triangolo in senso euclideo ma non rispetto alla geometria della sfera, in quanto i suoi lati non rappresentano delle [[Geodetica|geodetiche]] della sfera.]]
In [[geometria]], una '''varietà''' è uno [[spazio topologico]] che localmente è simile a uno
Le varietà localmente simili alla retta si chiamano [[curva (matematica)|curve]], mentre quelle localmente simili al piano si chiamano [[superficie|superfici]]. Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la [[topologia]], l'[[Analisi matematica|analisi reale]], l'[[analisi complessa]], l'[[algebra]] e la [[geometria algebrica]]. Le varietà trovano applicazioni in [[computer grafica]] e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in [[meccanica lagrangiana]], in [[meccanica quantistica]], in [[relatività generale]] e nella [[teoria delle stringhe]].
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== Varietà topologica ==
[[File:Circle with overlapping manifold charts 2.
Il concetto di '''varietà topologica''' considera uno spazio soltanto dal punto di vista [[topologia|topologico]]. Pertanto, nella definizione di una particolare varietà topologica si considerano solo le proprietà "di base" della forma di tale spazio quali la [[Spazio connesso|connessione]], la [[Spazio compatto|compattezza]], l'[[Orientazione|orientabilità]] o il "[[Genere (matematica)|numero di buchi]]".
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Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.
Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Se <math>\varphi:U\rightarrow V</math> è un omeomorfismo fra un aperto di <math> X </math> e un aperto di <math> \R^n </math>, allora la coppia <math>(U,\varphi) </math> è chiamata '''carta'''. Quindi se <math> X </math> è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte <math>\mathcal U= \{ ( U_{\alpha}, \varphi_\alpha ) \}_{\alpha \in A}</math> che ricoprono <math> X </math>, ovvero tali che
:<math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math> Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]]. Se <math>( U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> e <math>( U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> sono due carte tali che <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset</math>, allora la mappa <
\varphi_{\alpha}^{\beta} : &
\varphi_{\beta} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big) &
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\longmapsto &
\varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1}(x)
\end{matrix} </math></
si chiama ''funzione di transizione''. Le funzioni di transizione sono omeomorfismi. La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una varietà. Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una varietà topologica.
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Lo spazio euclideo <math>\mathbb R^n</math> è, chiaramente, una <math>n</math>-varietà.
Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un [[omeomorfismo locale]] (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.
[[File: La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale
:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>
è una varietà di dimensione <math> n </math>. Per provarlo, basta osservare che le [[Proiezione (geometria)|proiezioni]]
:<math> \varphi_i(x_1, \ldots , x_{n+1})=(x_1, \ldots , x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots , x_{n+1}) </math> inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di <math> S^n </math> (cioè l'intersezione di <math> S^n </math> con un semispazio del tipo <math> \{x_i>0\} </math> oppure <math> \{ x_i <0 \} </math>), e la palla aperta di <math> \mathbb R^n </math> con centro l'origine e raggio <math> 1 </math>. Quindi la sfera è una <math> n </math>-varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione <math> n </math>. Si può definire un altro atlante di <math> S^n </math> se invece delle proiezioni canoniche si usano le [[proiezione stereografica|proiezioni stereografiche]].
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Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la '''classificazione''' delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di [[Omeomorfismo|omeomorfismi]]. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un'isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.
Osserviamo quindi che ogni <math>n</math>-varietà è [[Somma disgiunta|unione disgiunta]] delle proprie componenti connesse, che sono <math>n</math>-varietà a loro volta.
Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due varietà topologiche di dimensione <math>1</math>: la [[circonferenza]] <math>S^1</math> e la [[retta]] <math>\mathbb R</math>. Ogni altra curva connessa è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due.
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Una varietà di dimensione <math>4</math> è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una <math>4</math>-varietà.
[[File:KleinBottle-01.
▲[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in <math>\mathbb R^3</math>, ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> in quanto si autointerseca.]]
=== Varietà immerse ===
Sia <math>X</math> una varietà topologica di dimensione <math>n</math>. Si dice che <math>X</math> è ''immersa'' in <math>\mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, se <math>X</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Un'''immersione'' (in inglese, '''embedding''') di <math>X</math> in <math>\mathbb R^m</math> è un'[[Immersione (matematica)|inclusione topologica]] <math>f:X\longrightarrow \mathbb R^m</math>, ovvero una mappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l'immagine <math>f(X)</math>. Un esempio di varietà immersa è quello della sfera <math>S^2</math> in <math>\mathbb R^3</math>. Non è vero che tutte le superfici si possono immergere in <math>\mathbb R^3</math>. La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio: benché si possa localmente immergere in <math>\mathbb R^3</math>, non è realizzabile "globalmente" come sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> evitando "autointersezioni", ovvero conservando l'iniettività dell'immersione.
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Una varietà algebrica è un oggetto che è localmente definito come l'insieme degli zeri di uno o più [[polinomio|polinomi]] con <math> n </math> variabili in <math> K^n </math>, dove <math> K </math> è un [[campo (matematica)|campo]] fissato, come ad esempio il campo dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]]. Gli esempi più semplici di varietà algebriche sono le '''varietà affini''' e le '''varietà proiettive'''.
[[File:Conics and cubic.
▲[[File:Conics and cubic.png|left|thumb|Varietà affini in <math> \R^2 </math> definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due [[circonferenza|circonferenze]], una [[parabola (geometria)|parabola]], una [[iperbole (geometria)|iperbole]], una ''cubica'' (definita da un'equazione di terzo grado).]]
=== Varietà affine ===
{{vedi anche|Varietà affine}}
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=== Varietà proiettiva ===
{{vedi anche|Varietà proiettiva}}
Una '''varietà proiettiva''' è un sottoinsieme <math> V </math> dello [[spazio proiettivo]] <math> P^n(K) </math>, definito analogamente alla [[varietà affine]] come luogo di zeri di un insieme <math> S </math> di polinomi. L'unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno <math> n+1 </math> variabili, e poiché le [[coordinate omogenee]] di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere [[polinomio omogeneo|omogenei]] affinché le equazioni abbiano senso.
== Varietà riemanniana ==
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