Varietà (geometria): differenze tra le versioni

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[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|upright=1.6|Localmente la superficie terrestre assomigliasomiglia ad un piano, e per questo è una ''varietà di dimensione 2.'' Tuttavia tale superficiesomiglianza non èconserva "piatta"la distanza tra i punti, nelin sensoquanto chela sfera ha una [[curvatura]] diversa da quella del piano. La curvatura incide sulla somma degli angoli interni di un triangolo: nel piano tale somma è sempre 180°, mentre su una sfera è sempre maggiore di 180°. Ad esempio, la somma degli angoli interni del triangolo in figura è 90°+90°+50230°. =La 230°figura in basso a destra è un triangolo in senso euclideo ma non rispetto alla geometria della sfera, in quanto i suoi lati non rappresentano delle [[Geodetica|geodetiche]] della sfera.]]

In [[geometria]], una '''varietà''' (inè inglese,uno '''manifold''')[[spazio ètopologico]] un oggettoche localmente è simile alloa uno [[spazio euclideo]] <math>n</math>-dimensionale, ma che globalmente può assumereavere leproprietà formegeometriche piùdifferenti svariate(ad esempio può essere "curvo" contrariamente allo spazio euclideo).

Le varietà localmente simili alla retta <math>\mathbb R</math> si chiamano [[curva (matematica)|curve]], mentre quelle localmente simili al piano <math>\mathbb R^2</math> si chiamano [[superficie|superfici]]. Se una varietà <math>X</math> è localmente simile a <math>\mathbb R^n</math>, allora si definisce <math>X</math> una varietà di dimensione <math>n</math>. Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la [[topologia]], l'[[Analisi matematica|analisi reale]], l'[[analisi complessa]], l'[[algebra]] e la [[geometria algebrica]]. Le varietà trovano applicazioni in [[computer grafica]] e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in [[meccanica lagrangiana]], in [[meccanica quantistica]], in [[relatività generale]] e nella [[teoria delle stringhe]].

== Strutture su varietà ==

Nel caso più generale una varietà viene definita soltanto con una struttura di [[spazio topologico]], e in tal caso si specifica usando il termine ''varietà topologica''. Tuttavia, quello di varietà è un concetto sufficientemente semplice da potersi adattare a diversi contesti, in quanto è possibile definire ulteriori strutture su una stessa varietà. Ad esempio, nell'ambito della [[geometria differenziale]] si può definire su una varietà topologica una ''struttura differenziabile'', per ottenere quella che viene chiamata una ''[[varietà differenziabile]]''.'' Analogamente, in altri campi si definiscono le ''[[varietà riemanniana|varietà riemanniane]]'', le ''varietà complesse'', le [[Varietà simplettica|varietà simplettiche]] e le ''[[varietàVarietà algebricadi Kähler|varietà algebrichekähleriane]]''. EsistonoUn molticaso altriun tipipo' dia varietà,parte comeè lequello delle [[Varietà simpletticaalgebrica|varietà simplettichealgebriche]]: euna varietà algebrica non è una varietà topologica nel senso che andremo a definire, in quanto le varietà algebriche non sono [[Varietàspazio di KählerHausdorff|varietàspazi kählerianedi Hausdorff]].

== Varietà topologica ==

[[File:Circle with overlapping manifold charts 2.pngsvg|thumbminiatura|La [[circonferenza]] è una varietà topologica di dimensione 1. Qui è descritto un [[atlante (topologia)|atlante]] con quattro carte: ciascuna è un [[omeomorfismo]] fra un aperto ed un [[intervallo aperto]] di <math> \mathbb R </math>]]

Il concetto di '''varietà topologica''' considera uno spazio soltanto dal punto di vista [[topologia|topologico]]. Pertanto, nella definizione di una particolare varietà topologica si considerano solo le proprietà "di base" della forma di tale spazio quali la [[Spazio connesso|connessione]], la [[Spazio compatto|compattezza]], l'[[Orientazione|orientabilità]] o il "[[Genere (matematica)|numero di buchi]]".

=== Definizione ===

Una ''varietà topologica'' <math> X </math> è uno [[spazio topologico]] di [[spazio di Hausdorff|di Hausdorff]] e [[Assioma di numerabilità|secondo numerabile]] in cui ogni punto ha un [[intorno aperto]] [[omeomorfismo|omeomorfo]] allo [[spazio euclideo]] <math> n</math>-dimensionale <math> \R^n </math>. Il numero <math> n </math> è la '''dimensione''' della varietà.<ref>{{cita|Kosniowski, C.| p. 75|kos}}.</ref>

Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.

Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Se <math>\varphi:U\longrightarrowrightarrow V</math> è un omeomorfismo fra un aperto di <math> X </math> e un aperto di <math> \R^n </math>, allora la coppia <math>(U,\varphi) </math> è chiamata '''carta'''. Quindi se <math> X </math> è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte <math>\mathcal U= \{ ( U_{\alpha}, \varphi_\alpha ) \}_{\alpha \in A}</math> che ricoprono <math> X </math>, ovvero tali che <blockquote>
:<math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math></blockquote>
Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]].

Se <math>( U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> e <math>( U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> sono due carte tali che <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset</math>, allora la mappa <blockquotedd></dl><math>\begin{matrix}

\varphi_{\alpha} \circ \varphi_^{\beta}^{-1} : &

\varphi_{\beta} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big) &

\longrightarrow &

\varphi_{\alpha} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big)

\\

& \varphi_{\beta}(x) &

\longmapsto &

\varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1}(x)

\end{matrix} </math></blockquotedl></dd>

si chiama ''funzione di transizione''. Le funzioni di transizione sono omeomorfismi.

La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una varietà. Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una varietà topologica.

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Lo spazio euclideo <math>\mathbb R^n</math> è, chiaramente, una <math>n</math>-varietà.

Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un [[omeomorfismo locale]] (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.
[[File:Sphere_with_chartSphere with chart.pngsvg|thumbminiatura|181x181px|Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.|181x181px]]

La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale

:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>

è una varietà di dimensione <math> n </math>. Per provarlo, basta osservare che le [[Proiezione (geometria)|proiezioni]]<blockquote>
:<math> \varphi_i(x_1, \ldots , x_{n+1})=(x_1, \ldots , x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots , x_nx_{n+1}) </math></blockquote>
inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di <math> S^n </math> (cioè l'intersezione di <math> S^n </math> con un semispazio del tipo <math> \{x_i>0\} </math> oppure <math> \{ x_i <0 \} </math>), e la palla aperta di <math> \mathbb R^n </math> con centro l'origine e raggio <math> 1 </math>. Quindi la sfera è una <math> n </math>-varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione <math> n </math>.

Si può definire un altro atlante di <math> S^n </math> se invece delle proiezioni canoniche si usano le [[proiezione stereografica|proiezioni stereografiche]].

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La [[topologia della dimensione bassa]] è la branca della [[topologia]] che studia le varietà di dimensione fino a 4.

Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la '''classificazione''' delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di [[Omeomorfismo|omeomorfismi]]. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un 'isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.

Osserviamo quindi che ogni <math>n</math>-varietà è [[Somma disgiunta|unione disgiunta]] delle proprie componenti connesse, che sono <math>n</math>-varietà a loro volta.

Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due varietà topologiche di dimensione <math>1</math>: la [[circonferenza]] <math>S^1</math> e la [[retta]] <math>\mathbb R</math>. Ogni altra curva connessa è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due.

Le varietà di dimensione <math>2</math> sono più variegate: tra queste troviamo la [[sfera]] <math>S^2</math>, il [[Toro (geometria)|toro]], il [[nastro di Möbius]] e l<nowiki/>leaa [[bottiglia di Klein]].

Di più, le superfici sono infinite: i <math>g</math>-tori, ovvero i tori con <math>g</math> buchi, sono superfici topologicamente distinte al variare di <math>g \in \mathbb N</math>.

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Una varietà di dimensione <math>4</math> è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una <math>4</math>-varietà.

[[File:KleinBottle-01.pngsvg|thumbsinistra|leftminiatura|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in <math>\mathbb R^3</math>, ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> in quanto si autointerseca.]]

[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in <math>\mathbb R^3</math>, ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> in quanto si autointerseca.]]

=== Varietà immerse ===

Sia <math>X</math> una varietà topologica di dimensione <math>n</math>. Si dice che <math>X</math> è ''immersa'' in <math>\mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, se <math>X</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Un'''immersione'' (in inglese, '''embedding''') di <math>X</math> in <math>\mathbb R^m</math> è un'[[Immersione (matematica)|inclusione topologica]] <math>f:X\longrightarrow \mathbb R^m</math>, ovvero una mappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l'immagine <math>f(X)</math>. Un esempio di varietà immersa è quello della sfera <math>S^2</math> in <math>\mathbb R^3</math>. Non è vero che tutte le superfici si possono immergere in <math>\mathbb R^3</math>. La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio: benché si possa localmente immergere in <math>\mathbb R^3</math>, non è realizzabile "globalmente" come sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> evitando "autointersezioni", ovvero conservando l'iniettività dell'immersione.

<math>{\mathbb {K}^1}</math> è invece "realizzabile" dentro lo spazio quadri-dimensionale <math> \R^4 </math>, ovvero esiste un'immersione <math>f \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math>.

Nel caso in cui <math>{\mathbb {K}^1}</math> venga considerata come una varietà differenziabile, allora si è solitiusa considerare una definizione diversa di "immersione", ovvero quella di [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]]. Un'immersione differenziabile iniettiva è anche un'inclusione topologica nel senso sopra descritto. La rappresentazione in figura della bottiglia di Klein mostra infatti in un'immersione differenziabile di <math>\mathbb K^1</math> in <math>\mathbb R^3</math>. Più in generale, Ilgrazie al teorema di Whitney affermasappiamo che ogni <math>n</math>-varietà differenziabile ammette un'immersione differenziabile in <math>\mathbb R^{2n-1}</math> e un'immersione differenziabile iniettiva in <math>\mathbb R^{2n}</math>.

== Varietà differenziabile ==

{{vedi anche|Varietà differenziabile}}

Una varietà topologica <math>X</math> è una '''varietà differenziabile''' se le sue [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]] sono [[funzione differenziabile|differenziabili]]. Tali funzioni di transizione vengono usualmente intese di classe <math>C^\infty</math>, e per questo si dice anche che <math>X</math> è una varietà ''liscia''. In particolare, segue dalla definizione che le funzioni di transizione sono [[Diffeomorfismo|diffeomorfismi]] lisci.

Una '''varietà differenziabile''' è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti del [[calcolo infinitesimale]]. Grazie a questi strumenti è possibile parlare di [[spazio tangente]], [[campo vettoriale]], [[funzione differenziabile]], [[forma differenziale]], ecc.

La richiesta della differenziabilità delle funzioni di transizione permette di definire i concetti di [[spazio tangente]], [[funzione differenziabile]], [[campo vettoriale]] e [[forma differenziale]], nonché di usare altri strumenti propri del [[calcolo infinitesimale]].

Una varietà differenziabile è definita come una varietà topologica, le cui [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]] sono però [[funzione differenziabile|differenziabili]] (e non solamente [[funzione continua|continue]] come nel caso topologico).

SeNel caso in cui le funzioni di transizione sonosiano indi piùclasse <math>C^k</math>, con <math>k \geq 1</math>, allora si dice che <math>X</math> è una varietà differenziabile di classe <math>C^k</math>. Se invece le funzioni di transizione sono [[funzione analitica|analitiche]], laallora strutturasi risultantedice siche <math>X</math> chiamaè una '''varietà analitica'''.

== Varietà complessa ==

Una '''varietà complessa''' èdi definitadimensione come<math>n</math> è una varietà topologica di dimensione <math> 2n </math>, le cui [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]], viste come mappe fra aperti di <math>\mathbb{C}^n </math> tramite l'identificazione naturale di <math> \R^{2n} </math> con <math>\mathbb{C}^n </math>, sono però [[funzione olomorfa|olomorfe]].

{{vedi anche|Superficie di Riemann}}

Una '''varietà complessa''' è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell'[[analisi complessa]]: la varietà complessa è cioè l'analogo [[numeri complessi|complesso]] della varietà differenziabile.

Una '''varietà complessa''' è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell'[[analisi complessa]]: lale varietà complessacomplesse èsono cioè l'analogo [[numeri complessi|complesso]] delladelle varietà differenziabiledifferenziabili.

Una varietà complessa è definita come una varietà topologica di dimensione <math> 2n </math>, le cui [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]], viste come mappe fra aperti di <math>\mathbb{C}^n </math> tramite l'identificazione naturale di <math> \R^{2n} </math> con <math>\mathbb{C}^n </math>, sono però [[funzione olomorfa|olomorfe]].

Poiché le funzioni analiticheolomorfe sono differenziabili, una varietà complessa ha anche una struttura di varietà differenziabile, o più in particolare una struttura di varietà analitica.

Le varietà complesse di dimensione (complessa) <math>1</math> si chiamano [[Superficie di Riemann|superfici di Riemann]].

== Varietà algebrica ==

{{vedi anche|Varietà algebrica}}

Una '''varietà algebrica''' è definita con tecniche diverse da quelle usate per le varietà topologica, differenziabile o complessa.<ref>In inglese iil nomitermine ''varietà algebrica'' si traduce con ''algebraic variety''. eL'uso di ''manifoldvariety'' sonoal usatiposto rispettivamentedi per''manifold'' lesottolinea varietàla algebrichesua ediversità quelledalle varietà topologiche, differenziabili o complesse.</ref>

Una varietà algebrica è un oggetto che è localmente definito come l'insieme degli zeri di uno o più [[polinomio|polinomi]] con <math> n </math> variabili in <math> K^n </math>, dove <math> K </math> è un [[campo (matematica)|campo]] fissato, come ad esempio il campo dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]]. Gli esempi più semplici di varietà algebriche sono le '''varietà affini''' e le '''varietà proiettive'''.

[[File:Conics and cubic.pngsvg|leftsinistra|thumbminiatura|Varietà affini in <math> \R^2 </math> definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due [[circonferenza|circonferenze]], una [[parabola (geometria)|parabola]], una [[iperbole (geometria)|iperbole]], una ''cubica'' (definita da un'equazione di terzo grado).]]

[[File:Conics and cubic.png|left|thumb|Varietà affini in <math> \R^2 </math> definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due [[circonferenza|circonferenze]], una [[parabola (geometria)|parabola]], una [[iperbole (geometria)|iperbole]], una ''cubica'' (definita da un'equazione di terzo grado).]]

=== Varietà affine ===

{{vedi anche|Varietà affine}}

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=== Varietà proiettiva ===

{{vedi anche|Varietà proiettiva}}

Una '''varietà proiettiva''' è un sottoinsieme <math> V </math> dello [[spazio proiettivo]] <math> P^n(K) </math>, definito analogamente alla [[varietà affine]] come luogo di zeri di un insieme <math> S </math> di polinomi. L'unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno <math> n+1 </math> variabili, e poiché le [[coordinate omogenee]] di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere [[polinomio omogeneo|omogenei]] affinché le equazioni abbiano senso.

== Varietà riemanniana ==

{{vedi anche|Varietà riemanniana}}

[[File:Hyperbolic triangle.svg|thumb|Un triangolo in una varietà con curvatura negativa: la somma degli angoli interni è inferiore a 180°]]

Una '''varietà riemanniana''' <math>M</math> è una [[varietà differenziabile]] in cui lo [[spazio tangente]] ad <math>M</math> in ogniun punto <math>p</math> è dotato di un [[prodotto scalare]] <math>g</math> che varia in modo continuo[[funzione liscia|liscio]] al variare deldi punto<math>p\in (piùM</math>. precisamente,Tale variaprodotto inscalare modosi [[funzionechiama liscia|liscio]])'''metrica riemanniana'''. Analogamente a quanto accade per gli [[spazio euclideo|spazi euclidei]], la presenza di questoquesta prodotto scalaremetrica permette di parlare di [[distanza (matematica)|distanza]] fra punti, lunghezze di curve, angoli, aree e volumi (o aree in dimensione <math>2</math>).

In particolare unaUna varietà riemanniana è unoun particolare esempio di [[spazio metrico]], sula cui metrica è definitofortemente ilcaratterizzata concetto didalle [[geodetica|geodetiche]]. comeUna geodetica è una curva che realizza localmente la distanza fra due punti. Su una varietà riemanniana sono quindi presenti tutti gli enti geometrici classici della [[geometria euclidea]], benché ille loro comportamentocaratteristiche possapossano differenziarsi enormemente dalda comportamentoquelle degli usuali enti neldello piano:spazio adeuclideo. Ad esempio, può non valere il [[V postulato di Euclide]], né gli altri [[assiomi di Hilbert]]. Localmente, questa differenzadiversa digeometria comportamentoincide è misurata dallasulla [[curvatura]] della varietà riemanniana. Globalmente, è dovuta alla [[spazio topologico|topologia]] della varietà.

Esempi di varietà riemanniane sono le sottovarietà differenziabili dello spazio euclideo <math>\R^n </math>. La [[sfera]] <math>n</math>-dimensionale in <math>\R^{n+1} </math> è un esempio fondamentale di varietà riemanniana con curvatura positiva. Lo spazio euclideo ha invece curvatura nulla. UnoUn spazioesempio importante di varietà riemanniana con curvatura negativa è il [[disco di Poincaré]]: si tratta dell'usuale palla in <math>\R^n </math> di raggio unitario, su cui è però definita una metrica diversa da quella euclidea.

==Origine del termine==

{{vedi anche|Aggettivo numerale#Etimologia e paralleli}}

InLa italiano si traduce conparola ''varietà'' ilè la traduzione italiana del termine tedesco ''Mannigfaltigkeit'', che compare per la prima volta nella tesi di dottorato del [[1851]] di [[Bernhard Riemann]], ''Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse''. Nella sua tesi Riemann si pone il problema di introdurre delle "grandezze molteplicemente estese", aventi cioè "più dimensioni", e le definisce usando quel termine.

Analizzando illa termineparola scomponendola come parola composta, ''Mannig-faltig-keit'', si riconosce in essa un parallelo con il termine latino ''multi-plic-itas'', sicché lo si potrebbe tradurre letteralmente come 'molteplicità'.

==Note==

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*{{Cita libro | autore=Edoardo Sernesi| titolo=Geometria 2 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1994 |città= Torino| isbn=978-88-339-5548-3}}

*{{Cita pubblicazione| nome = R.W. | cognome = Sharpe | titolo = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | editore = Springer-Verlag, New York | anno = 1997|cid =sharpe| isbn = 0-387-94732-9| lingua = en}}

*{{Cita pubblicazione| nome = F.W. | cognome = Warner | titolo = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | url = https://archive.org/details/foundationsofdif0000warn | editore = Springer-Verlag, New York | anno = 1983| isbn = 0-387-90894-3| lingua = en}}

== Voci correlate ==

* [[3-varietà]]

* [[Superficie (matematica)|Superficie]]

* [[Supervarietà (geometria)|Supervarietà]]

* [[Geometria differenziale]]

* [[Topologia differenziale]]

Riga 138 ⟶ 146:

* [[Geometria complessa]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

{{topologia}}

Riga 143 ⟶ 158:

[[Categoria:Topologia differenziale]]

[[Categoria:Topologia algebrica]]

[[Categoria:Varietà geometriche| ]]