Varietà (geometria): differenze tra le versioni
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[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|upright=1.6|Localmente la superficie terrestre somiglia ad un piano, e per questo è una ''varietà di dimensione 2.'' Tuttavia tale somiglianza non conserva la distanza tra i punti, in quanto la sfera ha una [[curvatura]] diversa. La curvatura incide sulla somma degli angoli interni di un triangolo: nel piano tale somma è sempre 180°, mentre su una sfera è sempre maggiore. Ad esempio, la somma degli angoli interni del triangolo in figura è 230°. La figura in basso a destra è un triangolo in senso euclideo ma non rispetto alla geometria della sfera, in quanto i suoi lati non rappresentano delle [[Geodetica|geodetiche]] della sfera.]]
In [[geometria]], una '''varietà'''
Le varietà localmente simili alla retta
== Strutture su varietà ==
Nel caso più generale una varietà viene definita soltanto con una struttura di [[spazio topologico]], e in tal caso si specifica usando il termine ''varietà topologica''. Tuttavia, quello di varietà è un concetto sufficientemente semplice da potersi adattare a diversi contesti, in quanto è possibile definire ulteriori strutture su una stessa varietà. Ad esempio, nell'ambito della [[geometria differenziale]] si può definire su una varietà topologica una ''struttura differenziabile'', per ottenere quella che viene chiamata una [[varietà differenziabile]]''.'' Analogamente, in altri campi si definiscono le [[varietà riemanniana|varietà riemanniane]], le ''varietà complesse'', le [[Varietà simplettica|varietà simplettiche]] e le [[Varietà di Kähler|varietà kähleriane]]. Un caso un po' a parte è quello delle [[Varietà algebrica|varietà algebriche]]: una varietà algebrica non è una varietà topologica nel senso che andremo a definire, in quanto le varietà algebriche non sono
== Varietà topologica ==
[[File:Circle with overlapping manifold charts 2.
Il concetto di '''varietà topologica''' considera uno spazio soltanto dal punto di vista [[topologia|topologico]]. Pertanto, nella definizione di una particolare varietà topologica si considerano solo le proprietà "di base" della forma di tale spazio quali la [[Spazio connesso|connessione]], la [[Spazio compatto|compattezza]], l'[[Orientazione|orientabilità]] o il "[[Genere (matematica)|numero di buchi]]".
=== Definizione ===
Una ''varietà topologica'' <math> X </math> è uno [[spazio topologico]] di [[spazio di Hausdorff|Hausdorff]] e [[Assioma di numerabilità|secondo numerabile]] in cui ogni punto ha un [[intorno aperto]] [[omeomorfismo|omeomorfo]] allo [[spazio euclideo]] <math> n</math>-dimensionale <math> \R^n </math>. Il numero <math> n </math> è la '''dimensione''' della varietà.<ref>{{cita|Kosniowski, C.| p. 75|kos}}.</ref>
Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.
Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Se <math>\varphi:U\
:<math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math> Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]]. Se <math>( U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> e <math>( U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> sono due carte tali che <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset</math>, allora la mappa <
\varphi_{\alpha}^{\beta} : &
\varphi_{\beta} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big) &
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\longmapsto &
\varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1}(x)
\end{matrix} </math></
si chiama ''funzione di transizione''. Le funzioni di transizione sono omeomorfismi. La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una varietà. Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una varietà topologica.
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Lo spazio euclideo <math>\mathbb R^n</math> è, chiaramente, una <math>n</math>-varietà.
Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un [[omeomorfismo locale]] (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.
[[File: La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale
:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>
è una varietà di dimensione <math> n </math>. Per provarlo, basta osservare che le [[Proiezione (geometria)|proiezioni]]
:<math> \varphi_i(x_1, \ldots , x_{n+1})=(x_1, \ldots , x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots , inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di <math> S^n </math> (cioè l'intersezione di <math> S^n </math> con un semispazio del tipo <math> \{x_i>0\} </math> oppure <math> \{ x_i <0 \} </math>), e la palla aperta di <math> \mathbb R^n </math> con centro l'origine e raggio <math> 1 </math>. Quindi la sfera è una <math> n </math>-varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione <math> n </math>. Si può definire un altro atlante di <math> S^n </math> se invece delle proiezioni canoniche si usano le [[proiezione stereografica|proiezioni stereografiche]].
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Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la '''classificazione''' delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di [[Omeomorfismo|omeomorfismi]]. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un'isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.
Osserviamo quindi che ogni <math>n</math>-varietà è [[Somma disgiunta|unione disgiunta]] delle proprie componenti connesse, che sono <math>n</math>-varietà a loro volta.
Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due varietà topologiche di dimensione <math>1</math>: la [[circonferenza]] <math>S^1</math> e la [[retta]] <math>\mathbb R</math>. Ogni altra curva connessa è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due.
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Una varietà di dimensione <math>4</math> è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una <math>4</math>-varietà.
[[File:KleinBottle-01.
▲[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in <math>\mathbb R^3</math>, ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> in quanto si autointerseca.]]
=== Varietà immerse ===
Sia <math>X</math> una varietà topologica di dimensione <math>n</math>. Si dice che <math>X</math> è ''immersa'' in <math>\mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, se <math>X</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Un'''immersione'' (in inglese, '''embedding''') di <math>X</math> in <math>\mathbb R^m</math> è un'[[Immersione (matematica)|inclusione topologica]] <math>f:X\longrightarrow \mathbb R^m</math>, ovvero una mappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l'immagine <math>f(X)</math>. Un esempio di varietà immersa è quello della sfera <math>S^2</math> in <math>\mathbb R^3</math>. Non è vero che tutte le superfici si possono immergere in <math>\mathbb R^3</math>. La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio: benché si possa localmente immergere in <math>\mathbb R^3</math>, non è realizzabile "globalmente" come sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> evitando "autointersezioni", ovvero conservando l'iniettività dell'immersione.
<math>{\mathbb {K}^1}</math> è invece "realizzabile" dentro lo spazio quadri-dimensionale <math> \R^4 </math>, ovvero esiste un'immersione <math>f \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math>.
Nel caso in cui <math>{\mathbb {K}^1}</math> venga considerata come una varietà differenziabile, allora si usa considerare una definizione diversa di "immersione", ovvero quella di [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]]. Un'immersione differenziabile iniettiva è anche un'inclusione topologica nel senso sopra descritto. La rappresentazione in figura della bottiglia di Klein mostra un'immersione differenziabile di <math>\mathbb K^1</math> in <math>\mathbb R^3</math>. Più in generale, grazie al teorema di Whitney sappiamo che ogni <math>n</math>-varietà differenziabile ammette un'immersione differenziabile in <math>\mathbb R^{2n-1}</math> e un'immersione differenziabile iniettiva in <math>\mathbb R^{2n}</math>.
== Varietà differenziabile ==
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Una varietà algebrica è un oggetto che è localmente definito come l'insieme degli zeri di uno o più [[polinomio|polinomi]] con <math> n </math> variabili in <math> K^n </math>, dove <math> K </math> è un [[campo (matematica)|campo]] fissato, come ad esempio il campo dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]]. Gli esempi più semplici di varietà algebriche sono le '''varietà affini''' e le '''varietà proiettive'''.
[[File:Conics and cubic.
▲[[File:Conics and cubic.png|left|thumb|Varietà affini in <math> \R^2 </math> definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due [[circonferenza|circonferenze]], una [[parabola (geometria)|parabola]], una [[iperbole (geometria)|iperbole]], una ''cubica'' (definita da un'equazione di terzo grado).]]
=== Varietà affine ===
{{vedi anche|Varietà affine}}
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=== Varietà proiettiva ===
{{vedi anche|Varietà proiettiva}}
Una '''varietà proiettiva''' è un sottoinsieme <math> V </math> dello [[spazio proiettivo]] <math> P^n(K) </math>, definito analogamente alla [[varietà affine]] come luogo di zeri di un insieme <math> S </math> di polinomi. L'unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno <math> n+1 </math> variabili, e poiché le [[coordinate omogenee]] di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere [[polinomio omogeneo|omogenei]] affinché le equazioni abbiano senso.
== Varietà riemanniana ==
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Una varietà riemanniana è un particolare esempio di [[spazio metrico]], la cui metrica è fortemente caratterizzata dalle [[geodetica|geodetiche]]. Una geodetica è una curva che realizza localmente la distanza fra due punti. Su una varietà riemanniana sono quindi presenti tutti gli enti geometrici classici della [[geometria euclidea]], benché le loro caratteristiche possano differenziarsi enormemente da quelle degli usuali enti dello spazio euclideo. Ad esempio, può non valere il [[V postulato di Euclide]], né gli altri [[assiomi di Hilbert]]. Localmente, questa diversa geometria incide sulla [[curvatura]] della varietà riemanniana.
Esempi di varietà riemanniane sono le sottovarietà differenziabili dello spazio euclideo <math>\R^n </math>. La [[sfera]] <math>n</math>-dimensionale in <math>\R^{n+1} </math> è un esempio fondamentale di varietà riemanniana con curvatura positiva. Lo spazio euclideo ha invece curvatura nulla.
==Origine del termine==
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*{{Cita libro | autore=Edoardo Sernesi| titolo=Geometria 2 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1994 |città= Torino| isbn=978-88-339-5548-3}}
*{{Cita pubblicazione| nome = R.W. | cognome = Sharpe | titolo = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | editore = Springer-Verlag, New York | anno = 1997|cid =sharpe| isbn = 0-387-94732-9| lingua = en}}
*{{Cita pubblicazione| nome = F.W. | cognome = Warner | titolo = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | url = https://archive.org/details/foundationsofdif0000warn | editore = Springer-Verlag, New York | anno = 1983| isbn = 0-387-90894-3| lingua = en}}
== Voci correlate ==
* [[3-varietà]]
* [[Superficie (matematica)|Superficie]]
* [[Supervarietà (geometria)|Supervarietà]]
* [[Geometria differenziale]]
* [[Topologia differenziale]]
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* [[Varietà di Seifert]]
* [[Geometria complessa]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Controllo di autorità}}
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[[Categoria:Topologia differenziale]]
[[Categoria:Topologia algebrica]]
[[Categoria:Varietà geometriche| ]]
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