Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], in particolare in [[analisi matematica]] e [[geometria differenziale]], una '''funzione differenziabile''' in un punto è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una [[trasformazione lineare]] in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Il concetto di '''funzione differenziabile''' è una nozione su cui si fondano l'[[analisi matematica]] e la [[geometria differenziale]]. È la generalizzazione in più variabili del concetto di [[funzione derivabile]].

L'ideaAffinché èciò quellasi diverifichi unaè [[Funzionenecessario (matematicama non sufficiente)|funzione]] tale che setutte si fa uno zoom a scale sempre più piccole delle [[graficoderivata diparziale|derivate una funzione|graficoparziali]] dellacalcolate funzionenel nellepunto vicinanzeesistano, dicioè qualsiasise puntoè ladifferenziabile, funzioneallora tendeè aderivabile somigliarenel semprepunto piùpoiché adesistono unae [[trasformazionesono affine]]finiti edi illimiti graficodei adrapporti unincrementali [[sottospazio affine]]direzionali. PiùIl precisamenteconcetto quellodi chedifferenziabilità sipermette richiededi adgeneralizzare unail funzioneconcetto perdi essere[[funzione ''differenziabile''derivabile]] èa difunzioni essere approssimabile nell'intornovettoriali di ognivariabile puntovettoriale, cone una funzione lineare. Lala differenziabilità di una funzione permette di definireindividuare per ogni punto del suo grafico un [[iperpiano]] tangente.

Una funzione può essere "differenziabile <math> k </math> volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Sisi parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione "differenziabile infinite volte" è inoltre detta '''[[funzione liscia|liscia]]'''. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in [[geometria differenziale]] queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine ''"funzione differenziabile''" per definire una funzione liscia.

==Cenni preliminariDefinizione ==

[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|right|Una funzione da <math>\R</math> in <math>\R</math> è [[funzione derivabile|derivabile]] in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di ''funzione differenziabile''.]]

Una [[funzione (matematica)|funzione]]:

:<math>\mathbf{F}\colon U \rightarrow \R^m</math>

Prima di dare una definizione rigorosa del differenziale di una funzione, facciamo qualche considerazione intuitiva di tipo fisico e geometrico.

Supponiamodefinita disu avereun una[[insieme grandezzaaperto]] scalare s definita su unodello [[spazio euclideo]] <math>V=E \R^n </math> suè campodetta realedifferenziabile <math>\mathbbin R</math>.un Ad ogni vettorepunto <math>\mathbf v{x}_0</math> didel V[[dominio corrisponde(matematica)|dominio]] pertantose unoesiste scalareuna s, secondo una[[applicazione funzionelineare]]:

:<math>f: E^n \rightarrow \mathbb R</math>

:<math>f: \bar v \rightarrow s</math>

:<math>s = f( \mathbf{v} )</math>

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\colon\R^n \rightarrow \R^m</math>

La grandezza s è dunque ciò che in fisica viene chiamato un campo scalare, e la funzione f descrive matematicamente tale campo.

tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|Rudin|p. 213}}.</ref>

Intuitivamente se la funzione f è abbastanza "regolare" nell'intorno di un certo vettore <math>\mathbf v_0</math> nell'intorno di quel vettore dovrebbe essere possibile definire una relazione che simbolicamente potrebbe essere resa nel modo seguente:

:<math>ds = \frac{ds}{d \mathbf{v}} d \mathbf{v} </math>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}),</math>

dove compare l'oggetto <math>ds / {d \mathbf{v}}</math>, che - sebbene non sia ancora stato definito - possiamo genericamente chiamare "rapporto incrementale fra uno scalare e un vettore".

dove <math>\mathbf r(\mathbf{h})</math> si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento <math>\mathbf{h}</math>. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

Si tratta ora di definire in modo rigoroso quella relazione simbolica.

:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{ \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} }{\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}.</math>

Innanzi tutto, visto che <math>d \mathbf{v} </math> è un vettore e ds è uno scalare, al secondo membro avremo il prodotto fra due oggetti di cui uno è un vettore, il quale prodotto dovrà dare uno scalare. Si tratterà dunque di un prodotto scalare:

:<math>ds = \frac{ds}{d \mathbf{v}} \cdot d \mathbf{v} </math>

Se la funzione <math>\mathbf{F}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, l'applicazione <math>\mathbf{L}</math> è rappresentata dalla [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math>.

e l'oggetto che abbiamo indicato con <math>ds / {d \mathbf{v}}</math> dovrà pertanto essere un vettore.

Il vettore:

Scrivendo esplicitamente la grandezza scalare s come funzione dei vettori di V, tale relazione diventa:

:<math>df( \mathbf{v_0} ) = \frac{df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot d \mathbf{v} </math>

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h</math>

dove compare l'oggetto <math>df / {d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} )</math>, che possiamo genericamente chiamare "derivata (totale) di f rispetto a <math>\mathbf v</math> calcolata nel punto <math>\mathbf{v_0}</math>.

si chiama [[differenziale (matematica)|differenziale]] ([[Differenziale esatto|esatto]]) di <math>\mathbf{F}</math> in <math>\mathbf{x}_0</math> ed <math>\mathbf{L}(\mathbf{x_0})</math> viene detto ''derivata'' o anche [[derivata totale]] della funzione <math>\mathbf{F}</math>.

Dal momento che tale grandezza deve essere un vettore di V, bisogna che <math>df / {d \mathbf{v}}</math> sia una funzione che ad ogni vettore di V associa un altro vettore:

:<math>\frac{df}{d \mathbf{v}} : E^n \rightarrow E^n</math>

La funzione <math>\mathbf{F}</math> è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.<ref>{{Cita|Rudin|p. 214}}.</ref> In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa <math>\mathbf{x}</math> a <math>\mathbf{L} (\mathbf{x})</math> è continua, la funzione si dice ''differenziabile con continuità''.<ref>{{Cita|Rudin|p. 220}}.</ref>

ed è quindi quello che in fisica chiameremmo un campo vettoriale.

Nel caso di una funzione <math>f</math> di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in <math>{x}_0</math> se esiste un'applicazione lineare <math>{L}({x}_0):\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> tale che:<ref>{{Cita|Rudin|p. 212}}.</ref>

Possiamo anche descrivere tutto ciò affermando che <math>d / {d \mathbf{v}}</math> è un operatore che trasforma un campo scalare f in un campo vettoriale <math>df / {d \mathbf{v}}</math>.

:<math>\lim_{{h}\to {0}} \frac { {f}({x}_0+{h})-{f}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}</math>

ed in tal caso si ha:

:<math>L(x) = f'(x).</math>

==Definizione==

== Matrice jacobiana ==

Sia <math> U </math> un aperto dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math>. Una funzione

{{vedi anche|Matrice jacobiana}}

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un [[intorno]] del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math>.

Dette <math>\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n}</math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}</math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math>\R^n </math> e <math>\R^m </math> rispettivamente, si ha:

:<math>F: U \rightarrow \mathbb R^m</math>

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i.</math>

è '''differenziabile''' in un punto <math>\mathbf x_0</math> di <math> U </math> se esiste una [[applicazione lineare]]

L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice di trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

:<math>A: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>

Il <math>j</math>-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|Rudin|p. 217}}.</ref>

(dipendente dal punto <math>\mathbf x_0</math>) tale che

:<math>\lim_{mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \tosum_{i=1}^m \mathbfleft[ 0\sum_{j=1}^n \frac {F(\mathbfpartial x_0+F_i (\mathbf h{x})-F(}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf x_0)-A(u_i = J_F \mathbf h) = \begin{bmatrix} \dfrac{\beginpartial F_1}{Vmatrix\partial x_1} & \mathbfcdots h& \enddfrac{Vmatrix\partial F_1}{\partial x_n} =\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf 0h.</math>

(i caratteri in grassetto rappresentano [[vettore (matematica)|vettori]]);

in questo caso l'applicazione <math>A</math> si indica con la scrittura <math>DF(\mathbf x_0)</math> e si chiama [[differenziale]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

=== Matrice Jacobiana ===

L'[[applicazione lineare]] <math>DF(\mathbf x_0)</math> è [[matrice associata|rappresentata]] da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>n \times m</math> chiamata [[matrice jacobiana]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

* Se <math> m = 1 </math>, la matrice associatajacobiana asi <math>DF(\mathbfriduce x_0)</math> èad un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. IlIn gradientetal indicacaso lasi direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.ha:

:<math> L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}.</math>

* Se <math> n = 1 </math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che (se non è costante) definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

:Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

* Se <math> m = n = 1 </math>, la ''differenziabilità'' coincide con la ''[[funzione derivabile|derivabilità]]'' e la matrice jacobiana è in realtà un numero, pari alla [[derivata]].

* Se <math>n = 1</math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

=== Osservazioni ===

* Se <math>m = n = 1</math>, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Abbiamo detto che una funzione differenziabile intuitivamente dovrebbe essere tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. Tuttavia ciò non sembra evidente dalla definizione che abbiamo dato. Vediamo come sia possibile formalizzare quest'idea intuitiva e dimostrare che coincide (con un po' di sforzo) con la definizione di differenziabilità.

== Differenziabilità in analisi complessa ==

Possiamo immaginare ora che la [[trasformazione affine]] con cui potremmo approssimare <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione

{{vedi anche|Funzione olomorfa}}

Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\Complex</math>. Una funzione <math> f\colon U\to\Complex </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0</math> di <math>U</math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:

:<math>\mathbff'(z_0) x= \mapstolim_{z F(\mathbfrightarrow x_0)+DF(\mathbfz_0} x_0{f(z) - f(z_0) \mathbfover xz -\mathbf x_0)z_0 }.</math>.

Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di [[Numero complesso|numeri complessi]] che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0)</math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0</math> di <math>U</math>, essa è una [[funzione olomorfa]] su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math>f</math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.

Consideriamo un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.

Quando ingrandiamo il grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math> la distanza che vediamo tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è pari a

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math>u</math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math>x</math> e <math>y</math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:

:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.</math>

dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è

In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math>z</math> è nulla.

:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>,

== Proprietà delle funzioni differenziabili ==

ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione che abbiamo dato per la differenziabilità di <math>F</math> si deduce che

* Una funzione differenziabile in un punto <math>\mathbf x_0</math> è [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti:

::<math>\lim_{\deltamathbf h\to \mathbf 0} F(\sup_{mathbf x_0+ \leftmathbf h)-F(\|mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \rightmathbf 0} {\|begin{Vmatrix} \leqmathbf h \deltaend{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(A \mathbf x_0)h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \deltamathbf h} = \mathbf 0</math>,

:per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.

* Se <math>F\colon\R^n\rightarrow \R^m</math> è una funzione differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in <math>\mathbf x_0</math>. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

==Differenziabilità e continuità==

::<math>F(x,y)=\left\{

Una ''funzione differenziabile'' in un punto <math>\mathbf x_0</math> è automaticamente [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti

:<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0</math>

per la definizione data di ''funzione differeziabile'' e per la continuità delle funzioni lineari.

== Differenziabilità e derivate parziali ==

Se <math>F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m</math> è una funzione ''differenziabile'' in '''x'''₀, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in '''x'''₀.

Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in '''x'''₀ garantisca anche la differenziabilità in '''x'''₀. Ad esempio la funzione reale di due variabili reali

:<math>F(x,y)=\left\{

\begin{matrix}

0 & (x,y)=(0,0) \\

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\right.</math>

:ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in <math>(0,0)</math> la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in <math>(0,0)</math>. Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math> in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di <math>F</math> e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\R^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega)</math>.

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0).

== Approssimazioni ==

Tuttavia se F è di [[classe C di una funzione|classe]] C¹ in un [[intorno]] di '''x'''₀, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono [[funzioni continue]], allora F è differenziabile in '''x'''₀. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> è aperto,

{{vedi anche|Serie di Taylor}}

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione:

:<math>\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0).</math>

:<math>F\in C^1(\Omega)\quad \Rightarrow\quad F \mbox{ differenziabile in } \Omega\quad\Rightarrow\quad F\in C^0(\Omega) </math>.

Per verificarlo, si consideri un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.

==Voci correlate==

Se si effettua uno zoom sul grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math>, la distanza che si vede tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è uguale a:

:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>

dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di <math>F</math> si deduce che:

:<math>\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0,</math>

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]| titolo= Elementi di Analisi Matematica Due | editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno= 2001| isbn= ISBN 9788820731373}} (capitolo 2, paragrafo 13)

* {{cita libro | cognome= [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]| titolo= Lezioni di Analisi Matematica Due | editore= Zanichelli | città= Bologna| anno= 2020| isbn= ISBN 9788808520203}} (capitolo 3, paragrafo 29)

* {{cita libro|autore=Walter Rudin|titolo=Principi di analisi matematica|editore=McGraw-Hill|città=Milano|anno=1991|isbn=88-386-0647-1|cid=Rudin}}

== Voci correlate ==

* [[Derivata]]

* [[Derivata direzionale]]

* [[Derivata parziale]]

* [[Differenziale (matematica)]]

* [[Funzione continua]]

* [[Gradiente]]

* [[Matrice jacobiana]]

* [[Modulo di continuità]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|b=Calcolo differenziale|preposizione=sulla}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{analisi_matematica}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo differenziale]]

[[Categoria:Funzioni reali di più variabili reali]]

[[Categoria:Topologia differenziale]]

[[en:Derivative]]