Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], in particolare in [[analisi matematica]] e [[geometria differenziale]], una '''funzione differenziabile''' in un punto è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che può essere approssimata da una [[trasformazione lineare]] nel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Ila concettomeno di differenziabilitàun permetteresto diinfinitesimo generalizzareda il concetto diuna [[funzionetrasformazione derivabilelineare]] ain funzioniun vettorialiintorno di variabile vettoriale, e laabbastanza differenziabilitàpiccolo di una funzione permette di individuare per ogniquel punto. del suo grafico un [[iperpiano]] tangente.

Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di [[funzione derivabile]] a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un [[iperpiano]] tangente.

Una funzione può essere differenziabile <math> k </math> volte, e si parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta [[funzione liscia|liscia]]. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Una funzione può essere differenziabile <math> k </math> volte, e si parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta [[funzione liscia|liscia]]. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

== Definizione ==

[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|right|Una funzione da <math>\R</math> in <math>\R</math> è [[funzione derivabile|derivabile]] in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di ''funzione differenziabile''.]]

Una [[funzione (matematica)|funzione]]:

:<math>\mathbf{F}: U \rightarrow \mathbb R^m</math>

definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]]:

:<math>\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^/{m×n/}</math>

tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}</ref>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)colon =U \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} +rightarrow \mathbf r(\mathbf{h}) R^m</math>

definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]]:

:<math>\mathbf{FL}: U(\mathbf{x}_0)\colon\R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>

tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 213|rudin}}.</ref>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}),</math>

dove <math>\mathbf r(\mathbf{h})</math> si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento <math>\mathbf{h}</math>. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}.</math>

Se la funzione <math>\mathbf{F}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, l'applicazione <math>\mathbf{L}</math> è rappresentata dalla [[matrice jacobiana]] <math>J_F \ </math>.

Il vettore:

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:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h</math>

si chiama [[differenziale (matematica)|differenziale]] ([[Differenziale esatto|esatto]]) di <math>\mathbf{F}</math> in <math>\mathbf{x}_0</math> ed <math>\mathbf{L}(\mathbf{x_0})</math> viene detto ''derivata'' o anche ''[[derivata totale'']] della funzione <math>\mathbf{F}</math>.

La funzione <math>\mathbf{F}</math> è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 214|rudin}}.</ref> In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa <math>\mathbf{x}</math> a <math>\mathbf{L} (\mathbf{x})</math> è continua, la funzione si dice ''differenziabile con continuità''.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 220|rudin}}.</ref>

Nel caso di una funzione <math>f</math> di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in <math>{x}_0</math> se esiste un'applicazione lineare <math>{L}({x}_0):\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 212|rudin}}.</ref>

:<math>\lim_{{h}\to {0}} \frac { {Ff}({x}_0+{h})-{Ff}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}</math>

ed in tal caso si ha:

:<math>L(x) = f'(x) \ .</math>

== Matrice Jacobianajacobiana ==

{{vedi anche|Matrice Jacobianajacobiana}}

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un [[intorno]] del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math>.

Dette <math>\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n}</math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}</math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math> rispettivamente, si ha:

Dette:

:<math>\{mathbf L(\mathbf e_jx )\}_{1cdot \lemathbf je_j \le n}= \qquadsum_{i=1}^m \frac{\mathbfpartial u_iF_i (\mathbf {x})}_{1 \lepartial ix_j} \lecdot m}\mathbf u_i.</math>

le [[base canonica|basi canoniche]] di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math> rispettivamente, si ha:

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i </math>

L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice di trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

Il <math>j</math>-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 217|rudin}}.</ref>

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h .</math>

A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

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* Se <math> m = 1 </math>, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. In tal caso si ha:

:<math> L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}.</math>

:Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

* Se <math> n = 1 </math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

* Se <math> m = n = 1 </math>, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

== Differenziabilità in analisi complessa ==

{{vedi anche|Funzione olomorfa}}

Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\mathbb CComplex</math>. Una funzione <math> f:\colon U\to\mathbb CComplex </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0 </math> di <math> U </math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } .</math>

Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di [[Numero complesso|numeri complessi]] che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0) </math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0 </math> di <math> U </math>, essa è una [[funzione olomorfa]] su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math> f </math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math> u </math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math> x </math> e <math> y </math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,.</math>

In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math> z </math> è nulla.

== Proprietà delle funzioni differenziabili ==

* Una funzione differenziabile in un punto <math>\mathbf x_0</math> è [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti:

::<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0</math>

:per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

* Se <math>F:\mathbb{colon\R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m</math> è una funzione differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in <math>\mathbf x_0</math>. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

::<math>F(x,y)=\left\{

\begin{matrix}

0 & (x,y)=(0,0) \\

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\right.</math>

:è continua ed ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in <math>(0,0)</math> la funzione non sianosia continuecontinua impedisce la sua differenziabilità in <math>(0,0)</math>. InfattiTuttavia, sise verifica<math>F</math> cheè ildi limite[[classe delC rapporto incrementale calcolato nell'origine lungodi una direzionefunzione|classe]] qualsiasi<math>C^1</math> esistein finito;un ma[[intorno]] prendendodi in<math>\mathbf considerazionex_0</math>, adcioè esempio,se esistono tutte le derivate parziali indi <math>F</math> e queste sono [[coordinatefunzioni polaricontinue]], siallora nota<math>F</math> comeè nondifferenziabile abbianoin valore<math>\mathbf unicox_0</math>. inVale unquindi, intornose di<math>\Omega\subseteq\R^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(0,0\Omega)</math>, maimplica varinola differenziabilità in funzione<math>\Omega</math> dellache direzioneimplica dia avvicinamentosua all'originevolta che <math>F\in C^0(\Omega)</math>.

:Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] C¹ in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega) </math>.

== Approssimazioni ==

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Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione:

:<math>\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0).</math>.

Per verificarlo, si consideri un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.

Se si effettua uno zoom sul grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math>, la distanza che si vede tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è pariuguale a:

:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>

dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vdevede nell'intorno riscalato è:

:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>,

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di <math>F</math> si deduce che:

:<math>\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0,</math>,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.

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== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Rudin[[Nicola Fusco (matematico)|Nicola nome=Fusco]], [[Paolo Marcellini]], Walter[[Carlo Sbordone]]| titolo= PrincipiElementi di analisiAnalisi matematicaMatematica Due | editore= McGraw-HillLiguori Editore | città= Milano Napoli| anno= 19912001|id isbn= ISBN 88-386-0647-1|cid =rudin9788820731373}} (capitolo 2, paragrafo 13)

* {{cita libro | cognome= [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]| titolo= Lezioni di Analisi Matematica Due | editore= Zanichelli | città= Bologna| anno= 2020| isbn= ISBN 9788808520203}} (capitolo 3, paragrafo 29)

* {{cita libro|autore=Walter Rudin|titolo=Principi di analisi matematica|editore=McGraw-Hill|città=Milano|anno=1991|isbn=88-386-0647-1|cid=Rudin}}

== Voci correlate ==

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|b=Calcolo differenziale|preposizione=sulla}}

==Collegamenti esterni==

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