Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], in particolare in [[analisi matematica]] e [[geometria differenziale]], una '''funzione differenziabile''' in un punto è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una [[trasformazione lineare]] in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Il concetto di '''funzione differenziabile''' è una nozione su cui si fondano l'[[analisi matematica]] e la [[geometria differenziale]]. È la generalizzazione in più variabili del concetto di [[funzione derivabile]].

L'ideaAffinché èciò quellasi diverifichi unaè [[Funzionenecessario (matematicama non sufficiente)|funzione]] tale che setutte si fa uno zoom a scale sempre più piccole delle [[graficoderivata diparziale|derivate una funzione|graficoparziali]] dellacalcolate funzionenel nellepunto vicinanzeesistano, dicioè qualsiasise puntoè ladifferenziabile, funzioneallora tendeè aderivabile somigliarenel semprepunto piùpoiché adesistono unae [[trasformazionesono affine]]finiti edi illimiti graficodei adrapporti unincrementali [[sottospazio affine]]direzionali. PiùIl precisamenteconcetto quellodi chedifferenziabilità sipermette richiededi adgeneralizzare unail funzioneconcetto perdi essere[[funzione ''differenziabile''derivabile]] èa difunzioni essere approssimabile nell'intornovettoriali di ognivariabile puntovettoriale, cone una funzione lineare. Lala differenziabilità di una funzione permette di definireindividuare per ogni punto del suo grafico un [[iperpiano]] tangente.

Una funzione può essere "differenziabile <math> k </math> volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Sisi parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione "differenziabile infinite volte" è inoltre detta '''[[funzione liscia|liscia]]'''. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in [[geometria differenziale]] queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine ''"funzione differenziabile''" per definire una funzione liscia.

== Definizione ==

[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|right|Una funzione da <math>\R</math> in <math>\R</math> è [[funzione derivabile|derivabile]] in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di ''funzione differenziabile''.]]

Una [[funzione (matematica)|funzione]]:

:<math>\mathbf{F}\colon U \rightarrow \R^m</math>

Sia <math> U </math> un aperto dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math>. Una funzione

definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \R^n </math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]]:

:<math>F: U \rightarrow \mathbb R^m</math>

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\colon\R^n \rightarrow \R^m</math>

è '''differenziabile''' in un punto <math>\mathbf x_0</math> di <math> U </math> se esiste una [[applicazione lineare]]

tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|Rudin|p. 213}}.</ref>

:<math>A: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}),</math>

(dipendente dal punto <math>\mathbf x_0</math>) tale che

dove <math>\mathbf r(\mathbf{h})</math> si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento <math>\mathbf{h}</math>. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

:<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} \frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}} = \mathbf 0</math>

:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{ \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} }{\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}.</math>

(i caratteri in grassetto rappresentano [[vettore (matematica)|vettori]]);

in questo caso l'applicazione <math>A</math> si indica con la scrittura <math>DF(\mathbf x_0)</math> e si chiama [[differenziale]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

Se la funzione <math>\mathbf{F}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, l'applicazione <math>\mathbf{L}</math> è rappresentata dalla [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math>.

=== Matrice Jacobiana ===

L'[[applicazione lineare]] <math>DF(\mathbf x_0)</math> è [[matrice associata|rappresentata]] da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>n \times m</math> chiamata [[matrice jacobiana]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

Il vettore:

A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h</math>

* Se <math> m = 1 </math>, la matrice associata a <math>DF(\mathbf x_0)</math> è un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

si chiama [[differenziale (matematica)|differenziale]] ([[Differenziale esatto|esatto]]) di <math>\mathbf{F}</math> in <math>\mathbf{x}_0</math> ed <math>\mathbf{L}(\mathbf{x_0})</math> viene detto ''derivata'' o anche [[derivata totale]] della funzione <math>\mathbf{F}</math>.

* Se <math> n = 1 </math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che (se non è costante) definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

La funzione <math>\mathbf{F}</math> è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.<ref>{{Cita|Rudin|p. 214}}.</ref> In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa <math>\mathbf{x}</math> a <math>\mathbf{L} (\mathbf{x})</math> è continua, la funzione si dice ''differenziabile con continuità''.<ref>{{Cita|Rudin|p. 220}}.</ref>

* Se <math> m = n = 1 </math>, la ''differenziabilità'' coincide con la ''[[funzione derivabile|derivabilità]]'' e la matrice jacobiana è in realtà un numero, pari alla [[derivata]].

Nel caso di una funzione <math>f</math> di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in <math>{x}_0</math> se esiste un'applicazione lineare <math>{L}({x}_0):\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> tale che:<ref>{{Cita|Rudin|p. 212}}.</ref>

=== Osservazioni ===

:<math>\lim_{{h}\to {0}} \frac { {f}({x}_0+{h})-{f}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}</math>

Abbiamo detto che una funzione differenziabile intuitivamente dovrebbe essere tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. Tuttavia ciò non sembra evidente dalla definizione che abbiamo dato. Vediamo come sia possibile formalizzare quest'idea intuitiva e dimostrare che coincide (con un po' di sforzo) con la definizione di differenziabilità.

ed in tal caso si ha:

Possiamo immaginare ora che la [[trasformazione affine]] con cui potremmo approssimare <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione

:<math>\mathbf L(x) \mapsto= Ff'(\mathbf x_0)+DF(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0).</math>.

== Matrice jacobiana ==

Consideriamo un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.

{{vedi anche|Matrice jacobiana}}

Quando ingrandiamo il grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math> la distanza che vediamo tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è pari a

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un [[intorno]] del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math>.

Dette <math>\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n}</math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}</math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math>\R^n </math> e <math>\R^m </math> rispettivamente, si ha:

:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i.</math>

dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è

L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice di trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>,

Il <math>j</math>-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|Rudin|p. 217}}.</ref>

ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione che abbiamo dato per la differeziabilità di <math>F</math> si deduce che

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h.</math>

:<math>\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0</math>,

A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.

* Se <math> m = 1 </math>, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. In tal caso si ha:

==Differenziabilità e continuità==

:<math> L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}.</math>

Una ''funzione differenziabile'' in un punto <math>\mathbf x_0</math> è automaticamente [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti

:Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

:<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0</math>

* Se <math>n = 1</math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

per la definizione data di ''funzione differeziabile'' e per la continuità delle funzioni lineari.

* Se <math>m = n = 1</math>, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

== Differenziabilità e derivate parziali ==

Se <math>F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m</math> è una funzione ''differenziabile'' in '''x'''₀, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in '''x'''₀.

Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in '''x'''₀ garantisca anche la differenziabilità in '''x'''₀. Ad esempio la funzione reale di due variabili reali

== Differenziabilità in analisi complessa ==

:<math>F(x,y)=\left\{

{{vedi anche|Funzione olomorfa}}

Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\Complex</math>. Una funzione <math> f\colon U\to\Complex </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0</math> di <math>U</math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }.</math>

Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di [[Numero complesso|numeri complessi]] che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0)</math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0</math> di <math>U</math>, essa è una [[funzione olomorfa]] su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math>f</math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math>u</math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math>x</math> e <math>y</math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.</math>

In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math>z</math> è nulla.

== Proprietà delle funzioni differenziabili ==

* Una funzione differenziabile in un punto <math>\mathbf x_0</math> è [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti:

::<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0</math>

:per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

* Se <math>F\colon\R^n\rightarrow \R^m</math> è una funzione differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in <math>\mathbf x_0</math>. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

::<math>F(x,y)=\left\{

\begin{matrix}

0 & (x,y)=(0,0) \\

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\right.</math>

:ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in <math>(0,0)</math> la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in <math>(0,0)</math>. Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math> in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di <math>F</math> e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\R^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega)</math>.

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0).

== Approssimazioni ==

Tuttavia se F è di [[classe C di una funzione|classe]] C¹ in un [[intorno]] di '''x'''₀, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono [[funzioni continue]], allora F è differenziabile in '''x'''₀. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> è aperto,

{{vedi anche|Serie di Taylor}}

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione:

:<math>\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0).</math>

:<math>F\in C^1(\Omega)\quad \Rightarrow\quad F \mbox{ differenziabile in } \Omega\quad\Rightarrow\quad F\in C^0(\Omega) </math>.

Per verificarlo, si consideri un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.

==Voci correlate==

Se si effettua uno zoom sul grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math>, la distanza che si vede tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è uguale a:

:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>

dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di <math>F</math> si deduce che:

:<math>\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0,</math>

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]| titolo= Elementi di Analisi Matematica Due | editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno= 2001| isbn= ISBN 9788820731373}} (capitolo 2, paragrafo 13)

* {{cita libro | cognome= [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]| titolo= Lezioni di Analisi Matematica Due | editore= Zanichelli | città= Bologna| anno= 2020| isbn= ISBN 9788808520203}} (capitolo 3, paragrafo 29)

* {{cita libro|autore=Walter Rudin|titolo=Principi di analisi matematica|editore=McGraw-Hill|città=Milano|anno=1991|isbn=88-386-0647-1|cid=Rudin}}

== Voci correlate ==

* [[Derivata]]

* [[Derivata direzionale]]

* [[Derivata parziale]]

* [[Differenziale (matematica)]]

* [[Funzione continua]]

* [[Gradiente]]

* [[Matrice jacobiana]]

* [[Modulo di continuità]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|b=Calcolo differenziale|preposizione=sulla}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{analisi_matematica}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo differenziale]]

[[Categoria:Funzioni reali di più variabili reali]]

[[Categoria:Topologia differenziale]]

[[en:Derivative]]