Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua||Arma (disambigua)|ARMA}}

{{nota disambigua2|Questa voce tratta unicamente del modello matematico lineare autoregressivo a media mobile. Per altre accezioni di ''arma'' o di ''armi''<!-- commento: c'è un redirect che punta qui--> vedi '''[[Arma (disambigua)]]'''}}

Il '''modello autoregressivo a media mobile''', detto anche '''ARMA''', è un tipo di [[modello matematico]] [[Linearità (matematica)|lineare]] che fornisce istante per istante un [[valore di uscita]] basandosi sui precedenti valori in entrata e in uscita.

A volte denominato '''modello di Box-Jenkins''' dal nome dei suoi inventori [[George Box]] e [[Gwilym Jenkins]], viene utilizzato in [[statistica]] per lo studio delle [[serie storiche]] dei dati e in [[ingegneria dei sistemi]] nella modellizzazione soprattutto di [[sistema|sistemi]] meccanici, idraulici o elettronici.

== Caratteristiche ==

Il '''modello autoregressivo a media mobile''', detto anche '''ARMA''', è un tipo di [[modello matematico]] [[Linearità (matematica)|lineare]] che fornisce istante per istante un valore di uscita basandosi sui precedenti valori in entrata e in uscita.

A volte denominato '''modello di Box-Jenkins''' dal nome dei suoi inventori [[George Box]] e [[Gwilym Jenkins]], viene utilizzato in [[statistica]] per lo studio delle [[serie storiche]] dei dati e in [[ingegneria]] nella modellizzazione soprattutto di sistemi meccanici, idraulici o elettronici.

==Caratteristiche==

Si considera il sistema da descrivere come un'entità che, istante per istante, riceve un valore in entrata (input) e ne genera uno in uscita (output), calcolati in base a dei parametri interni che variano a loro volta in base a leggi lineari.

Ogni parametro interno, dunque, verrà ad ogni istante posto uguale a una [[combinazione lineare]] di tutti parametri interni dell'istante precedente e del valore in entrata, e il valore in uscita sarà a sua volta una combinazione lineare dei parametri interni e in rari casi anche di quello in entrata; in tal caso si parla di '''modello improprio''', la cui caratteristica principale è di rispondere istantaneamente alle variazioni dell'input e dare luogo a anomalie nel calcolo qualora fosse collegato ad anello con altri sistemi impropri.

Algebricamente, i valori in entrataingresso e in uscita in un dato istante sono due scalari e i parametri interni formano un vettore. Lo scalare in uscita è il prodotto tra il vettore dei parametri e un vettore fisso <math>c</math> facente parte del modello e di dimensione uguale al numero dei parametri <math>n</math>, sommato all'entrataingresso moltiplicata per un coefficiente <math>d</math> che nei sistemi impropri è diverso da 0. Il vettore dei parametri è in ogni istante calcolato come la somma dello scalare in entrataingresso per un vettore <math>b</math> e il precedente vettore dei parametri moltiplicato per una matrice <math>A</math>.

===Linearità===

Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare utilizzando degli strumenti matematici sviluppati dagli ingegneri nel corso del tempo:

=== Linearità ===

*'''linearità''': moltiplicando tutti i valori in entrata per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.

Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare utilizzando degli strumenti matematici sviluppati dagli ingegneri nel corso del tempo:

*'''linearità''': moltiplicando tutti i valori in entrataingresso per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.

*'''tempo invarianza''': una certa sequenza in input darà una certa sequenza in output indipendentemente dalla quantità di istanti trascorsi dall'istante zero. Lo stesso concetto di "istante zero" è puramente convenzionale poiché il sistema tende a "dimenticare" il passato, ossia ad esserne influenzato in maniera esponenzialmente decrescente nel corso del tempo (caratteristica detta "evanescenza").

Data una serie storica di valori di <math> X_t \, </math> , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, ossia una parte [[Modello lineare autoregressivo|autoregressiva (AR)]] e di una parte di [[Modello moving average|media mobile (MA)]].

Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.

=== Versione discreta e continua ===

Sebbene il modello appena descritto sia discreto, ossia agisce "a scatti" su istanti di tempo numerabili in [[Numeri naturali|N]], è possibile con molta facilità ricavarne la versione continua. In tal caso la matrice <math>A</math> non conterrà le combinazioni lineari che forniscono un parametro in funzione degli altri, ma quelle che forniscono la '''[[derivata]]''' di un parametro in funzione dei valori degli altri.

È possibile approssimare un modello continuo con un modello discreto assumendo di scegliere un intervallo di tempo tra un istante e l'altro sufficientemente piccolo da trascurare l'approssimazione. In genere, in base al [[teorema di Shannon]], è opportuno scegliere una [[frequenza di campionamento]] che sia almeno doppia rispetto alle frequenze in gioco.

== Descrizione mediante funzione di trasferimento ==

Chiamando u(t) la funzione che descrive i valori in entrataingresso in funzione del tempo e y(t) la funzione che rappresenta l'uscita, sapendo che il modello armaARMA ha un'uscita che è una combinazione lineare dei precedenti valori dell'entrataingresso e dell'uscita si calcola y(t) come:

:<math> y(t)+ {\alpha_1} y(t-1)+ ...+ {\alpha_n} y(t-n) = {\beta_0} u(t)+ {\beta_1} u(t-1)+...+ {\beta_n} u(t-n) \, </math>

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:<math> y(t) = -{\alpha_1} y(t-1)-...- {\alpha_n} y(t-n) + {\beta_0} u(t)+ {\beta_1} u(t-1)+...+ {\beta_n} u(t-n) \, </math>

Risulta essere quindi la somma di un termine autoregressivo AR costituito dalla parte con i coefficienti <math> {\alpha} \,</math> e una parte di moving average MA dei coefficienti <math>{\beta} \,</math>.

È possibile introdurre un operatore ritardo <math>z</math> (in genere si scrive <math>s</math> per i sistemi continui) che ha lo scopo di ritardare o anticipare un valore, ossia

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:<math> y(t)+ z^{-1}{\alpha_1} y(t)+ ...+ z^{-n}{\alpha_n} y(t) = {\beta_0} u(t)+ z^{-1}{\beta_1} u(t)+...+ z^{-n}{\beta_n} u(t) \, </math>

e raccogliere y(t) a primo membro ottenendo una frazione

:<math> y(t) = \frac{{\beta_0} u(t)+ z^{-1}{\beta_1} u(t)+...+ z^{-n}{\beta_n} u(t)}{1+z^{-1}{\alpha_1} y(t)+ ...+ z^{-n}{\alpha_n} y(t)} \, </math>

Questa rappresentazione del modello è detta [[Funzionefunzione di trasferimento]].

== Proprietà ==

Il vantaggio dei modelli ARMA è che possono essere analizzati con molta facilità rispetto agli altri modelli, pur mantenendo un livello di approssimazione relativamente basso.

Un sistema continuo, in particolare, sarebbe un sistema di [[Equazione differenziale|equazioni differenziali]] difficili da trattare senza considerare la matrice A.

Analizzando gli [[autovalori]] della matrice A è possibile determinare se il sistema è '''stabile''' o meno, ossia se il valore in uscita può tendere a valori infiniti per alcune entrate non infinite. In particolare:

*Se '''tutti''' gli autovalori hanno [[parte reale]] negativa (o modulo minore di 1 nel caso di sistemi a tempo discreto) il sistema è asintoticamente stabile

*Se '''qualche''' autovalore ha parte reale positiva (o modulo superiore a 1 nel caso a tempo discreto) il sistema può avere un'uscita che tende a valori infiniti (positivi o negativi)

*Se esistono autovalori con parte reale nulla (o con modulo unitario nel caso del tempo discreto) il sistema può mantenere un'uscita non nulla all'infinito, anche se l'entrataingresso rimane nullanullo dopo alcuni valori iniziali.

*Se vale la stazionarietà allora sistema sarà sempre stazionario

Inoltre più gli autovalori hanno una parte reale bassa e più velocemente il sistema tende a stabilizzarsi, e viceversa più la parte reale è alta e più velocemente tende a infinito.

*invertibile se tutte le caratteristiche hanno media maggiore di 1 da verificare perché scrivere il processo in base alla sua storia passata quindi posso prevedere

Inoltre più gliè autovaloribassa hanno unala parte reale bassadegli autovalori e più velocemente il sistema tende a stabilizzarsi, e viceversa più la parte reale è alta e più velocemente tendei valori in uscita dal sistema tenderanno a infinitoalzarsi o abbassarsi.

Si possono anche ottenere informazioni dalla [[parte immaginaria]], in particolare se alcuni valoriautovalori hanno una parte immaginaria non nulla l'uscita tenderà a oscillare con una frequenza proporzionale al valore immaginario e un'ampiezza che diminuirà o aumenterà con velocità esponenziale e coefficiente proporzionale alla parte reale degli autovalori.

== Modello di sistemi composti ==

È possibile usare l'uscita di un modello ARMA come entrataingresso di un altro modello, eventualmente sommando le uscite di più modelli, moltiplicandole per costanti arbitrarie e creando degli anelli (ossia mettendo l'uscita di un modello in entrataingresso a se stesso), ottenendo un sistema ARMA equivalente alla composizioencomposizione di più modelli semplici.

Si può modelizzaremodellizzare facilmente un modello composto seguendo le seguenti regole:

*Due o più modelli in parallelo hanno una funzione di trasferimento complessiva che è la somma delle rispettive funzioni.

*Due modelli in serie hanno una FdT complessiva che è il prodotto delle rispettive FdT

*Un modello moltiplicato per una costante ha una FdT moltiplicata per quella costante

*Un modello in retroazione (ossia lail cui entrataingresso è collegatacollegato all'uscita) ha FdT uguale a

:<math>r(t)=\frac{f(t)}{1-g(t)f(t)}</math>

dove f(t) è la FdT e g(t) è una funzione posta lungo l'anello di retroazione (se non è presente equivale a 1), mentre r(t) è la FdT del sistema composto

== ARMA come MA(∞) ==

È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un [[Modellomodello moving average]] di tipo MA(∞<math>\infty</math>). Analiticamente, è sufficiente calcolare [[Ricorsione|ricorsivamente]] i valori di <math>y(t-k)</math> o <math>y(t)^{(n-1)}</math> con k>0 sostituendoli con i valori dell'entrata.

Intuitivamente, basta pensare che l'uscita dipende dai valori precedenti dell'entrataingresso e dell'uscita stessa, ma questi ultimi dipendono ancora una volta dai precedenti valori in entrataingresso e in uscita e procedendo a ritroso l'influenza delle uscite precedenti diventa asintoticamente meno influente sull'uscita attuale.

==Voci correlateBibliografia ==

* George{{Cita Edwardlibro Pelham Box| coautori=e [[Gwilym Meirion Jenkins,]] | autore=[[George Edward Pelham Box]] | ''titolo=Time Series Analysis: Forecasting and Control'', | anno=1979 | editore=Holden-Day, [[1979]]| città= }}

* P. Barone, A. Guspini,''Confronto fra le prestazioni numeriche di tre algoritmi per la stima dei parametri di modelli ARMA univariati : il caso MA(1)'', [[Roma]], Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", Consiglio nazionale delle ricerche, [[1983]]

* Estela Bee Dagum, ''Analisi Delle Serie Storiche: modellistica, previsione e scomposizione'', ISBN 88-470-0146-3, Springer, [[2002]]

== Voci correlate ==

*[[Modello lineare autoregressivo]]

*[[Modello a media mobile]]

*[[Serie storiche]]

*[[ARIMA|ModelliModello autoregressiviautoregressivo integratiintegrato a media mobile (ARIMA)]]

== Collegamenti esterni ==

==Bibliografia==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|statistica|matematica}}

* George Edward Pelham Box e Gwilym Meirion Jenkins, ''Time Series Analysis: Forecasting and Control'', Holden-Day, [[1979]]

* P. Barone, A. Guspini,''Confronto fra le prestazioni numeriche di tre algoritmi per la stima dei parametri di modelli ARMA univariati : il caso MA(1)'', [[Roma]], Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", Consiglio nazionale delle ricerche, [[1983]]

* Estela Bee Dagum, ''Analisi Delle Serie Storiche: modellistica, previsione e scomposizione'', ISBN 88-470-0146-3, Springer, [[2002]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi delle serie storiche]]

[[de:ARMA-Modell]]

[[en:Autoregressive–moving-average model]]

[[es:Modelo autorregresivo de media móvil]]

[[fa:مدل‌ خودرگرسیو میانگین متحرک]]

[[fr:ARMA]]

[[gl:Modelo autorregresivo de media móbil]]

[[ja:自己回帰移動平均モデル]]

[[pl:Autoregresja]]

[[ru:Модель авторегрессии — скользящего среднего]]

[[su:Autoregressive moving average model]]

[[tr:Otoregresif hareketli ortalamalar modeli]]

[[vi:ARMA]]

[[zh:ARMA模型]]