Curvatura scalare: differenze tra le versioni

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In [[geometria differenziale]] la '''curvatura scalare''' (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di [[curvatura]] di una [[varietà riemanniana]]. Ad ogni punto della varietà essa associa un [[numero reale]] determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal [[tensore di curvatura di Ricci]], che è a sua volta definito a partire dal [[tensore di Riemann]].

{{S|geometria|matematica}}

In [[geometria differenziale]] la '''curvatura scalare''' è il più semplice invariante di [[curvatura]] di una [[varietà riemanniana]]. Ad ogni punto della varietà essa associa un [[numero reale]] determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal [[tensore di curvatura di Ricci]], che è a sua volta definito a partire dal [[tensore di Riemann]].

== Definizione ==

Sia <math>M</math> una [[varietà riemanniana]] o [[varietà pseudo-riemanniana]]. La '''curvatura scalare''' è una [[funzione differenziabile]] che associa ad ogni punto di <math>M</math> un [[numero reale]], definito [[contrazione di un tensore|contraendo]] i due indici del [[tensore di curvatura di Ricci]] nel modo seguente:

<div style="float:center; width:300px; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

<math>R = g^{ij}R_{ij}.\,\!</math>

</div>

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo <math>(0,2)</math>, ovvero una [[forma bilineare]]. La curvatura sezionalescalare è la [[traccia (matrice)|traccia]] di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del [[tensore metrico]] <math>g</math>, presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo <math>(0,0)</math>, ovvero una funzione.

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== Proprietà ==

=== Simboli di Christoffel ===

LaIn un [[sistema di coordinate]], la curvatura scalare dipende dai [[simboli di Christoffel]] e dalle loro [[derivata parziale|derivate parziali]] nel modo seguente.:

:<math>R = g^{ab} \left(\frac{\partial\Gamma^c_{ab,c}}{\partial x_c} - \frac{\partial\Gamma^c_{ac,b}}{\partial x_b} + \Gamma^c_{ab}\Gamma^d_{cd} - \Gamma^d_{ac} \Gamma^c_{bd}\right)</math>

=== Volume ===

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto <math>p</math> della varietà riemanniana <math>M</math> ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello [[spazio euclideo]]. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio <math>\epsilonvarepsilon</math> è dato da

: <math> \frac{\operatorname{Vol} (B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}

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1- \frac{R}{6(n+2)}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)</math>

La [[derivata seconda]] di questo rapporto, valutata in <math>\epsilonvarepsilon = 0 </math>, è esattamente

:<math>-\frac R{3n3(n+2)}.</math>

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle <math>(n-1)</math>-sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

: <math> \frac{\operatorname{Area} (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}

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=== Oggetto riemanniano ===

A differenza del [[tensore di Riemann]] e del [[tensore di Ricci]], la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico <math>g</math> per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle [[connessione (matematica)|connessioni]].

== Esempi ==

=== Superficie ===

In una superficie la curvatura scalare è pari alla [[curvatura gaussiana]] <math>K</math> moltiplicata per due:

:<math> R = 2K.</math>

=== Sfera ===

La curvatura scalare di una [[ipersfera]] <math>S^n</math> di raggio <math>r</math> è costante in ogni punto, ed è pari a

:<math>\frac {n(n-1)}{r^2}.</math>

== Bibliografia ==

*{{en}} {{cita libro|titolo = Tensor Calculus |nome= J.L. |cognome= Synge |nome2=A. | cognome2 = Schild|editore= first Dover Publications 1978 edition | anno = 1949 |isbn=978-0-486-63612-2}}

*{{en}} {{cita libro | autore = J.R. Tyldesley |titolo = An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists | editore=Longman | anno=1975 | isbn=0-582-44355-5}}

*{{en}} {{cita libro | autore = D.C. Kay| | titolo = Tensor Calculus | editore= Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA) | anno=1988 | isbn=0-07-033484-6}}

*{{en}} {{cita libro|titolo = Riemannian Geometry|nome=Manfredo Perdigao | cognome = do Carmo | anno = 1994}}

*{{en}} {{cita libro | autore = Shoshichi Kobayashi | coautori = Katsumi Nomizu | titolo = Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 | editore=Wiley-Interscience | anno=1996 (Nuova edizione) | isbn=0-471-15733-3 }}

== Voci correlate ==

* [[Tensore di curvatura di Ricci]]

* [[Tensore di Riemann]]

* [[Teorema di Vermeil]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Geometria riemanniana]]

[[Categoria:Tensori nella relatività generale]]

[[Categoria:Tensori]]

[[ca:Escalar de Ricci]]

[[de:Riemannscher Krümmungstensor#Krümmungsskalar]]

[[en:Scalar curvature]]

[[es:Escalar de curvatura de Ricci]]

[[fr:Courbure scalaire]]

[[pt:Escalar de curvatura de Ricci]]

[[zh:数量曲率]]