Algoritmo: differenze tra le versioni
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{{Nota disambigua}}
In [[matematica]] e [[informatica]] un '''algoritmo''' è la specificazione di una sequenza finita di operazioni (dette anche ''istruzioni'') che consente di risolvere tutti i quesiti di una stessa classe o di calcolare il risultato di un'espressione matematica. Un algoritmo deve essere▼
▲In [[matematica]] e [[informatica]] un '''algoritmo''' è la specificazione di una [[Istruzione (informatica)|sequenza finita di operazioni]] (dette anche ''istruzioni'') che consente di risolvere tutti i quesiti di una stessa classe o di calcolare il risultato di un'espressione matematica.
Un algoritmo deve essere
* ''finito'': è costituito da un numero finito di istruzioni e deve sempre terminare;
* ''deterministico'': partendo dagli stessi dati in [[Input/output|ingresso]], si devono ottenere i medesimi risultati;
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* ''generale'': deve essere applicabile a tutti i problemi della classe a cui si riferisce, o ai casi dell'espressione matematica.
Il termine deriva dalla trascrizione [[lingua latina|latina]] del nome del [[matematico]] persiano [[al-Khwarizmi]],<ref>[[Luca Serianni]], ''Grammatica italiana'', ed. UTET-De Agostini, Torino, 2010, ISBN 978-88-6008-057-8, p. 104.</ref> vissuto nel [[IX secolo d.C.]], che è considerato uno dei primi autori ad aver fatto riferimento a questo concetto scrivendo il libro: ‘''Regole di ripristino e
Le prime nozioni di algoritmo si trovano in documenti risalenti al [[XVII secolo a.C.]], conosciuti come i papiri di [[Ahmes]], noti anche come [[Papiro di Rhind|papiri di Rhind]],<ref>{{Cita web|url=https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10058|titolo=papyrus {{!}} British Museum|sito=The British Museum|lingua=en|accesso=
L'algoritmo è un concetto fondamentale dell'[[informatica]], anzitutto perché è alla base della nozione teorica di [[Teoria della calcolabilità|calcolabilità]]: un problema è calcolabile quando è risolvibile mediante un algoritmo. Inoltre, l'algoritmo è un concetto cardine anche nella fase di [[Programmazione (informatica)|programmazione]] dello [[ciclo di vita del software|sviluppo di un software]]: preso un problema da [[automatica|automatizzare]], la programmazione costituisce essenzialmente la traduzione o [[codifica]] di un algoritmo per tale problema in [[programma (informatica)|programma]], scritto in un certo [[linguaggio]], che può essere quindi effettivamente [[esecuzione (informatica)|eseguito]] da un [[calcolatore]] rappresentandone la logica di [[Elaborazione dati|elaborazione]].
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== Definizione ==
Nel [[XX secolo]], il concetto di algoritmo venne formalizzato per risolvere il problema matematico della "decisione" (''[[Entscheidungsproblem]]''), posto da [[David Hilbert]] nel 1928, e altre successive formalizzazioni giunsero con lo sviluppo dei concetti di "[[effective calculability|calcolabilità effettiva]]"<ref>Kleene 1943 in Davis 1965:274</ref> e di "metodo effettivo"<ref>Rosser 1939 in Davis 1965:225</ref>. Le formalizzazioni matematiche più famose sono le [[funzioni ricorsive]] di [[Kurt Gödel|Gödel]]–[[Jacques Herbrand|Herbrand]]–[[Stephen Cole Kleene|Kleene]] del 1930, 1934 e 1935; il [[lambda calcolo]] di [[Alonzo Church]] e la [[Formulation 1]] di [[Emil Leon Post]] del 1936; e, infine, la [[macchina di Turing]] del 1936–37 e 1939. Nonostante ciò, una definizione del concetto di algoritmo che sia formale e non tecnica manca tuttora<ref>
{{Cita libro|nome=Yiannis N.|cognome=Moschovakis|capitolo=What is an algorithm?|titolo=Mathematics Unlimited — 2001 and beyond|curatore-nome=B.|curatore-cognome=Engquist|curatore-nome2=W.|curatore-cognome2=Schmid|editore=Springer|anno=2001|pp=919–936 (Part II)|url=http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.32.8093}}</ref> e si è pertanto costretti ad accontentarsi dell'idea intuitiva di algoritmo come "una sequenza ordinata e finita di passi (operazioni o istruzioni) elementari che conduce a un ben determinato risultato in un tempo finito".▼
▲}}</ref> e si è pertanto costretti ad accontentarsi dell'idea intuitiva di algoritmo come "una sequenza ordinata e finita di passi (operazioni o istruzioni) elementari che conduce a un ben determinato risultato in un tempo finito".
=== Modelli formali ===
[[File:Quicksort example small.png|thumb|right|Rappresentazione grafica dell'algoritmo [[Quicksort]]]]▼
{{vedi anche|Teoria della calcolabilità#Che cos'è un algoritmo}}
▲[[File:Quicksort example small.png|thumb
La definizione di algoritmo appena riportata è piuttosto informale, mentre era necessario disporre di una definizione più rigorosa per trattare il concetto di algoritmo con strumenti matematici. Al tal fine sono stati definiti alcuni [[Modello matematico|modelli matematici]] di algoritmo, fra i quali uno dei più celebri è la [[macchina di Turing]]. Essa rappresenta una sorta di ''computer'' ideale corredato di un [[Programma (informatica)|programma]] da eseguire, ma, rispetto a un computer reale, la macchina di Turing ha un funzionamento estremamente più semplice che possa essere facilmente descritto con termini matematici, facendo uso di concetti come [[insieme]], [[relazione (matematica)|relazione]] e [[funzione (matematica)|funzione]].
La [[architettura di von Neumann|macchina di Von Neumann]], che è il modello di architettura primigenio di tutti i computer attuali, è equivalente, in termini di potere di calcolo, alla macchina di Turing. In altre parole, è stato dimostrato che un certo problema può essere risolto da un computer (opportunamente programmato) [[se e solo se]] esso può essere risolto anche da una macchina di Turing. Oltre alla macchina di Turing, proposta da [[Alan Turing]] nel [[1936]], nello stesso periodo altri matematici hanno elaborato diverse rappresentazioni formali del concetto di algoritmo, fra i quali ricordiamo, per esempio, il [[lambda calcolo]]. Dopo alcuni anni, emerse che tutti questi modelli erano equivalenti: {{
Da questi risultati, tra l'altro, scaturì la [[tesi di Church-Turing]], che afferma che qualsiasi algoritmo sia modellabile con una macchina di Turing. In altri termini, questa tesi sostiene che è sostanzialmente impossibile cercare di immaginare un modello di algoritmo più potente e, di conseguenza, che nessuna macchina potrà mai risolvere problemi che una macchina di Turing non possa risolvere in linea di principio. Non si tratta di un [[teorema]] dimostrato matematicamente, poiché la tesi stabilisce l'eguaglianza di due concetti, l'algoritmo e la macchina di Turing, ma il primo non possiede una definizione formale. La tesi è oggi generalmente condivisa, sebbene i progressi nelle ricerche nel settore dell'[[ipercomputazione]] sembrino talvolta metterla in discussione.
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=== Proprietà fondamentali degli algoritmi ===
[[File:Algoritmo para Procesar y Organizar en GTD.png|thumb
Dalla precedente definizione di algoritmo si evincono alcune proprietà necessarie, senza le quali un algoritmo non può essere definito tale:▼
▲Dalla precedente definizione di algoritmo si evincono alcune proprietà necessarie, senza le quali un algoritmo non può essere definito tale:
* i passi costituenti devono essere "elementari", ovvero non ulteriormente scomponibili (''atomicità'');
* i passi costituenti devono essere interpretabili in modo diretto e univoco dall'''esecutore'', sia esso umano o artificiale (''non ambiguità'');
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* l'esecuzione deve avere termine dopo un tempo finito (''terminazione'');
* l'esecuzione deve portare a un risultato univoco (''effettività'').
▲[[File:Algoritmo para Procesar y Organizar en GTD.png|thumb|right|Esempio di [[diagramma di flusso]] di un algoritmo del metodo [[Detto, fatto!]]]]
Così, ad esempio, "rompere le uova" può essere considerato legittimamente un passo elementare di un "algoritmo per la cucina" (ricetta), ma non potrebbe esserlo anche "aggiungere sale quanto basta" dato che l'espressione "quanto basta" è ambigua, e non indica con precisione quali passaggi servano per determinare la quantità necessaria.
All'istruzione non elementare di preparazione della crema potrebbe, però, essere associato un opportuno rimando a un'altra sezione del ricettario, che fornisca un sotto-algoritmo apposito per questa specifica operazione. Questo suggerisce che, per comodità d'implementazione, gli algoritmi possano essere ''modulari'', ovvero orientati a risolvere specifici sotto-problemi, e ''gerarchicamente organizzati''. Inoltre, una ricetta che preveda la cottura a [[microonde]] non può essere preparata da un esecutore sprovvisto dell'apposito elettrodomestico; questo rimanda al problema della ''realizzabilità'' degli algoritmi, ovvero della loro compatibilità con le risorse materiali e temporali a disposizione. Infine, possono darsi più algoritmi validi per risolvere uno stesso problema, ma ognuno con un diverso grado di ''efficienza''.
L'algoritmo viene generalmente descritto come "procedimento di risoluzione di un problema". In questo contesto, i "problemi" che si considerano sono quasi sempre caratterizzati da ''dati di ingresso'' ([[input]]) variabili, su cui l'algoritmo stesso opererà per giungere fino alla soluzione. Per esempio, il calcolo del [[Massimo comun divisore|massimo comune divisore]] fra due numeri è un esempio di "problema", e i suoi ''dati di ingresso'', variabili di volta in volta, sono i due numeri in questione. A un non matematico questa potrebbe apparire come una "famiglia di problemi" (il problema di calcolare il massimo comune divisore fra 10 e 15, il problema di calcolarlo fra 40 e 60, fra 35 e 95, e così via). Il matematico e l'informatico identificano con la parola "problema" l'intera famiglia e con "istanza" o "x" ciascuno dei quesiti specifici ottenuti fissando due particolari valori. Data questa premessa, un algoritmo risolve un problema se per qualunque istanza del problema esso produce in un tempo finito la soluzione desiderata, ovvero un certo risultato o dato in uscita ([[Input/output|output]]) a partire da dei dati in ingresso ([[input]]).
Se questa idea aveva già una certa importanza per il calcolo matematico, l'avvento dell'informatica l'ha arricchita di una nuova importanza, ed è infatti con l'informatica che il termine "algoritmo" ha iniziato a diffondersi. Difatti, se per ottenere un certo risultato (risolvere un certo problema) esiste un procedimento infallibile, che può essere descritto in modo non ambiguo fino ai dettagli, e conduce sempre all'obiettivo desiderato in un tempo finito, allora esistono le condizioni per affidare questo compito a un [[computer]], semplicemente introducendo l'algoritmo in questione in un [[Programma (informatica)|programma]] scritto in un opportuno [[linguaggio di programmazione|linguaggio]] comprensibile alla macchina.
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* metodo dell'albero
* [[metodo dell'esperto]]
Si definisce asintotica per due motivi:
* poiché ogni calcolatore può implementare algoritmi in modo differente, non si può stimare il tempo preciso
* si vuole dare un'idea quantitativa di come l'algoritmo possa crescere in consumo di tempo all'aumentare dell'input, per valori sempre maggiori.
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che esprime la dimensione dei dati in ingresso, ossia il numero di bit che servono per codificare i dati in input all'algoritmo.
Ad esempio su un vettore la lunghezza dello stesso determinerà il numero di bit necessari a codificarlo e sulle matrici il numero dell'ordine, ossia presa ad esempio una [[matrice quadrata]] l'ordine della stessa è determinata da una delle due dimensioni (orizzontale oppure verticale).
La complessità di un algoritmo si definisce come:
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Due misure per sistemi di calcolo sequenziali sono i valori <math>T_a (x)</math> e <math>S_a (x)</math> che rappresentano rispettivamente il tempo e lo spazio di memoria richiesti da un algoritmo <math>a</math> su input <math>x \in X</math>. Per la sopra citata proprietà il dominio <math>X</math> deve dunque coincidere con l'insieme <math>\mathbb{N}</math>. Possiamo pertanto considerare <math>T_a (n)</math> e <math>S_a (n)</math> come funzioni intere positive che rappresentano il ''numero di operazioni'' (non il tempo di esecuzione effettivo) elementari eseguite e dal numero di celle di memoria utilizzate durante l'esecuzione di <math>a</math> sull'istante <math>x</math>.
Descrivere le funzioni <math>T_a (n)</math> e <math>S_a (n)</math> può essere molto complicato poiché la variabile <math>n</math> assume valori sull'insieme di tutti gli input. Una soluzione che fornisce buone informazioni su <math>T_a (n)</math> e <math>S_a (n)</math> consiste nell'introdurre il concetto di dimensione di un'istanza, raggruppando in tal modo gli input che hanno la stessa dimensione: la funzione dimensione associa a ogni ingresso un [[numero naturale]] che rappresenta intuitivamente la quantità di informazione contenuta nel dato considerato. Per esempio la dimensione naturale di un intero positivo <math>k</math> è <math>[1 + log_2{k}]</math>, cioè il numero di cifre necessario per rappresentare <math>k</math> in notazione binaria. Analogamente la dimensione di un vettore di elementi è solitamente costituita dal numero delle sue componenti, mentre la dimensione di un grafo è data congiuntamente dal numero dei suoi nodi e dei suoi archi. La dimensione di <math>n</math> si denota con <math>|n|</math>.
Dato un algoritmo <math>a</math> su un insieme di input <math>I</math>, può accadere che due istanze <math>i</math>, <math>i'</math> di ugual dimensione cioè <math>|i|</math>. = <math>|i'|</math>. diano luogo a tempi diversi di esecuzione per uno stesso algoritmo. Si parla dunque di complessità dell'input e se ne distinguono tre casi:
# complessità nel caso peggiore
# complessità nel caso medio
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=== Esempio: studio della complessità di risoluzione dei sistemi lineari ===
{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}
Vogliamo trovare un algoritmo ''efficiente'' per risolvere un sistema lineare di <math>n</math> equazioni in <math>n</math> incognite (anche 100, 1000...). Dobbiamo cioè valutare, tra tutti gli algoritmi risolutivi disponibili, quello che impiega meno tempo e consuma meno spazio degli altri. L'Algebra ci offre due importanti metodi risolutivi di enorme interesse ai fini dello studio della complessità degli algoritmi.
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{{vedi anche|Regola di Cramer}}
La [[Regola di Cramer]] permette la risoluzione di un sistema lineare nel modo più semplice grazie a una singola definizione:
:<math>x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}</math>
dove <math>A_i</math> è la matrice formata sostituendo la ''i-''esima colonna di <math>A</math> con il vettore dei termini noti.
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sono uguali se <math>\operatorname U</math> si ottiene sostituendo le righe e le colonne di <math>\operatorname A</math> con loro combinazioni lineari e gli elementi di <math>\operatorname c</math> sono combinazioni lineari degli elementi di <math>\operatorname b</math> in base ai coefficienti di <math>\operatorname U</math>.
Il secondo è che per risolvere un sistema triangolare (dove cioè la matrice dei coefficienti gode della proprietà di triangolarità) è sufficiente utilizzare l'algoritmo di sostituzione in avanti o all'indietro (la [[Teoria della complessità computazionale|complessità computazionale]] è <math>O(n)</math>).
Si dimostra che per trasformare il sistema in triangolare occorre un algoritmo la cui complessità è <math>O(n^3)</math>. Applicando a questo sistema l'algoritmo di sostituzione diretta si trovano le soluzioni esatte del sistema, e si dimostra che la complessità totale dell'algoritmo di Gauss è sempre <math>O(n^3)</math>.
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== Catalogazione degli algoritmi ==
Gli algoritmi vengono raggruppati e catalogati a seconda della loro funzione o delle tecniche utilizzate per realizzarli, tuttavia una catalogazione rigorosa e completa è ormai diventata impossibile.
In [[informatica]] è possibile catalogare gli algoritmi in:
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|algorithm|algorithm}}
* [https://www.wehardware.it/algoritmo Algoritmo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210113140346/https://www.wehardware.it/algoritmo |date=13 gennaio 2021 }} - in Wehardware.it - Il diagramma a blocchi nella descrizione dell'algoritmo▼
* {{Garzanti}}
* {{es}} [https://web.archive.org/web/20190528102413/http://mis-algoritmos.com/ Mis algoritmos] Procedure di base in parecchi linguaggi di programmazione.▼
▲*
* {{cita web|http://www.nist.gov/dads/|Dizionario degli algoritmi e delle strutture dati|lingua=en}}▼
▲* {{Cita testo|lingua=es
▲* {{cita web|url=http://www.nist.gov/dads/|titolo=Dizionario degli algoritmi e delle strutture dati|lingua=en}}
{{Controllo di autorità}}
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