Numero primo e Promozione 1977-1978: differenze tra le pagine

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Nella stagione 1977-78 la Promozione era il quinto livello del calcio italiano. Il campionato è strutturato su vari gironi all'italiana su base regionale.
[[File:Prime num le 400.png|thumb|400px|La distribuzione dei numeri primi (linee blu) fino a 400]]
In [[matematica]], un '''numero primo''' (in breve anche ''primo'') è un [[numero naturale]] maggiore di uno che sia [[divisibilità|divisibile]] solamente per [[uno]] e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che ha più di due divisori è detto [[numero composto|composto]]. Ad esempio, 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero primo [[numeri pari e dispari|pari]] è 2, poiché tutti gli altri numeri pari sono divisibili anche per 2.
 
==Piemonte Valle d'Aosta==
La [[successione (matematica)|successione]] dei numeri primi inizia con [[due|2]], [[tre|3]], [[cinque|5]], [[sette|7]], [[undici|11]], [[tredici|13]], [[diciassette|17]], [[diciannove|19]], [[ventitré|23]], [[ventinove|29]], [[trentuno|31]], [[trentasette|37]] ... {{OEIS|A000040}}.
===Girone A===
 
<br style="clear: both;" />
I numeri primi sono uno dei concetti basilari della [[teoria dei numeri]], la parte della matematica che studia i [[numero intero|numeri interi]]: alla base di questa importanza vi è la possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi; inoltre tale [[fattorizzazione]] è unica. I primi sono inoltre [[infinito|infiniti]], e molte ricerche sono state compiute per comprendere la loro distribuzione.
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|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A</span>
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| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Bianco e Rosso.png|20px]] [[Trecate|A.C. Trecate]]'''
||'''46'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro e Bianco.png|20px]] [[Cossato|A.S. Cossatese]]
||'''38'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Nero (Strisce).png|20px]] [[Grignasco|U.S.I. Grignasco, Grignasco]]
||'''36'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Celeste.png|20px]] [[Castelletto Sopra Ticino|A.C. Castellettese]]
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu3.png|20px]] [[Gozzano|A.C. Gozzano]]
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata.png|20px]] [[Crescentino|U.S. Crescentinese]]
||'''34'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro2.png|20px]] [[Villadossola|A.S. Virtus Villadossola]]
||'''34'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Blu.png|20px]] [[Borgaro Torinese|Seo Borgaro]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata e Verde (Bordato).png|20px]] [[Borgosesia Calcio|A.S. Borgosesia]]
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata.png|20px]] [[Unione Sportiva Dilettantistica Juventus Domo|A.S. Juventus Domo]]
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo rosso blu su sfondo bianco.png|20px]] [[Società Sportiva Verbania Calcio|A.S. Verbania]]
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu3.png|20px]] [[Meina|A.C. Meina]]
||'''25'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Verde.png|20px]] [[Gassino Torinese|U.S. Renault Gassino]]
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Arancione.png|20px]] [[Oleggio|Oleggio Sportiva]]
||'''22'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Nero e Bianco.png|20px]] [[Suno|A.S. Sunese]]'''
||'''20'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Bianco e Nero.png|20px]] [[Gattinara|F.C. Gattinara]]'''
||'''06'''||30|| || || || ||
|}
*Oleggio Sportiva retrocessa, poi ripescata.
 
===Girone B===
I primi sono stati studiati sin dall'antichità: i primi risultati risalgono infatti agli antichi [[Greci]], e in particolare agli ''[[Elementi]]'' di [[Euclide]], scritti attorno al [[300 a.C.]]; nonostante questo, esistono ancora numerose [[congettura|congetture]] a riguardo che non sono state ancora [[dimostrazione|dimostrate]]. Tra di esse, le più note sono l'[[ipotesi di Riemann]], la [[congettura di Goldbach]] e la [[Congettura dei numeri primi gemelli|congettura dei primi gemelli]], che ad oggi (giugno 2009), dopo oltre un secolo dalla loro formulazione, non sono ancora state dimostrate.
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B</span>
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|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[File:600px Rosso_Bianco_e_Blu_(Strisce_Orizzontali)2.png|20px]] [[Asti|U.S. Torretta Santa Catarina]]'''
||'''50'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Nero (Bordato).png|20px]] [[Acqui Unione Sportiva 1911|U.S. Acqui]]
||'''40'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro.png|20px]] [[Associazione Sportiva Dilettantistica Fossano Calcio|U.S. Fossanese, Fossano]]
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro2.png|20px]] [[Alpignano|U.S. Alpignano]]
||'''34'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] [[Balangero|U.S. Balangero]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] [[Torino|Bacigalupo Torino]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''La Bollente'''
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Verde e Giallo.png|20px]] [[Castellamonte|U.S. Castellamonte]]
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Grigio (Strisce).png|20px]] [[Mondovi|A.S. Carassonese]]
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu2.png|20px]] [[Savigliano|U.S. Saviglianese]]
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro e Bianco (Strisce).png|20px]] '''[[Associazione Sportiva Canelli|A.S. Canelli]]'''
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Blu e Bianco.png|20px]] [[Pinerolo|F.C. Pinerolo]]
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Verde.png|20px]] [[Torino|G.S. Pertusa]]
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Nero con stella Bianca.png|20px]] [[Cherasco|U.S. Cheraschese]]
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Giallo e Rosso.png|20px]] [[Bra|A.C. Bra]]'''
||'''21'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Bianco e Viola.png|20px]] [[Torino|A.S. Cenisia, Torino]]'''
||'''16'''||30|| || || || ||
|}
* Cheraschese retrocessa, poi ripescata.
* La Bollente e Canelli rinunciano.
 
==Liguria==
Trovano spazio inoltre anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'[[algebra astratta|algebra]] o la [[geometria]]; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, con particolare riferimento alla [[crittografia]].
===Girone A===
 
<br style="clear: both;" />
== Storia ==
 
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
Non è noto quando si è formato il concetto di numero primo, tuttavia un segnale che fa supporre una qualche consapevolezza della diversità di tali numeri si ha con l'[[Osso d'Ishango]], un reperto osseo datato al [[Paleolitico superiore]], in cui compaiono dei segni rappresentanti i numeri primi compresi tra 10 e 20. Per trovare un altro segno di questa consapevolezza bisogna recarsi in [[Mesopotamia]] ed aspettare il [[II millennio a.C.|secondo millennio a.C.]]; a tale periodo appartengono infatti alcune tavolette contenti le soluzioni di alcuni problemi aritmetici che, per essere svolti, richiedono una buona conoscenza della fattorizzazioni in primi.<ref>{{cita libro|autore=[[Otto Neugebauer]]|titolo=Le scienze esatte nell'antichità|editore=Feltrinelli|città=Milano|anno=1974|id=ISBN 8807222817|capitolo=Capitolo 2}}</ref> Allo stesso millennio appartiene anche il [[papiro di Rhind]] (trascritto intorno al [[1650 a.C.]]), che contiene alcune espansioni in [[frazione egiziana|frazioni egiziane]] dei numeri nella forma <sup>2</sup>/<sub>''n''</sub>. A seconda che ''n'' sia primo o composto, queste espansioni hanno una forma differente; di conseguenza questo porta a pensare che gli [[Egizi]] avessero qualche conoscenza sui numeri primi che non è giunta fino a noi.
|- align=center bgcolor=#98A1B2
[[File:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|230px|thumb|left|Un frammento degli ''Elementi'' di Euclide rinvenuto a [[Ossirinco]]]]
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
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!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
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|- align=center style="background:#FFF050;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[File:600px Blu e Bianco.png|20px]] [[Genova |G.S. Levante "C", Genova-Pegli]]'''
||'''43'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Verde con stella Bianca.png|20px]] [[Fratellanza Sportiva Sestrese Calcio 1919|F.S. Sestrese]]
||'''40'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] [[Ventimiglia|F.C. Giovanile Intemelia]]
||'''39'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu (Strisce).png|20px]] [[Football Club Vado|F.C. Vado]]
||'''36'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Giallo_e_Nero.png|20px]] [[Alassio|S.C. Alassio]]
||'''34'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Rosso (Strisce).png|20px]] [[Ventimiglia|U.S. Ventimigliese]]
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu.png|20px]] [[Diano Marina|U.S. Dianese]]
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu2.png|20px|]] [[Loano|U.S. Loanesi]]
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Verde e Nero (Strisce).png|20px]] [[Cornigliano|A.S. Corniglianese]]
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Rosso.png|20px]] [[Finale Ligure|U.S. Finale Ligure]]
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco con stella Nera.png|20px]] [[Ovada|A.S. Ovadamobili]]
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro e Nero (Strisce).png|20px]] [[Varazze Don Bosco|A.C. Varazze F.B.C.]]
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata.png|20px]] [[Arenzano|U.S. Arenzano]]
||'''25'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Nero.png|20px]] [[Arma di Taggia|S.S. Argentina]]
||'''25'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''[[Pietra Ligure]]'''
||'''22'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata.png|20px]] '''[[Savona|F.B.C. Veloce, Savona]]'''
||'''18'''||30|| || || || ||
|}
* Levante "C" ammesso alla finale, perde lo spareggio promozione col Pontedecimo.
 
===Girone B===
La prima traccia incontestabile di un vero studio dei numeri primi è costituita dagli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]], un libro composto tra il [[IV secolo a.C.|IV]] e il [[III secolo a.C.]], che fornisce un quadro completo delle conoscenze matematiche del tempo. Quest'opera contiene alcuni risultati fondamentali, tra cui il [[Teorema dell'infinità dei numeri primi|teorema dell'infinità dei primi]],<ref>Libro IX, Proposizione 20.</ref> e il [[lemma di Euclide]],<ref>Libro VII, Proposizione 30.</ref> che prova un'importante caratterizzazione dei numeri primi.<ref>Questa proprietà verrà usata per generalizzare la definizione di numero primo agli [[anello (algebra)|anelli]].</ref> Euclide dimostra anche la possibilità di [[fattorizzazione|fattorizzare]] ogni intero positivo come prodotto di primi.<ref>Libro VII, Proposizioni 31 e 32. Il primo a dimostrare esplicitamente che tale fattorizzazione è unica (cioè a dimostrare il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] nella sua completezza) fu [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] nelle ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.</ref> All'antica Grecia dobbiamo anche il [[crivello di Eratostene]], un semplice [[algoritmo]] per determinare quali sono i numeri primi.<ref>Per quanto semplice, tale algoritmo è troppo costoso dal punto di vista computazionale e quindi non è generalmente usato nelle applicazioni pratiche.</ref>
[[File:Pierre de Fermat.jpg|230px|thumb|Pierre de Fermat]]
 
<br style="clear: both;" />
I secoli seguenti registrarono un certo disinteresse per lo studio dei numeri primi<ref>{{cita web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Prime_numbers.html|titolo=Prime numbers|accesso=23 febbraio 2009|lingua=en}}</ref> e per diverso tempo non furono provati risultati di particolare rilevanza su questo argomento. L'interesse per i numeri primi riprese vigore nel [[XVII secolo|diciassettesimo secolo]], con le dimostrazioni di nuovi e importanti risultati sui primi. Alcuni di questi sono dovuti a [[Pierre de Fermat]]: in particolare egli provò un teorema sulle [[Aritmetica modulare|congruenze modulo un primo]], noto come "[[piccolo teorema di Fermat]]", e il [[teorema di Fermat sulle somme di due quadrati|teorema sulle somme di due quadrati]] che afferma che tutti i primi di una certa forma si possono scrivere come somma di due quadrati. Congetturò inoltre che tutti i numeri nella forma 2<sup>2<sup>n</sup></sup> + 1 (oggi chiamati in suo onore [[numero di Fermat|numeri di Fermat]]) fossero primi; Fermat stesso aveva verificato la sua congettura fino ad ''n''=4; tuttavia [[Eulero]] mostrò che per ''n''=5 si otteneva un numero composto e ad oggi non sono noti altri numeri di questo tipo che siano primi. Nello stesso periodo, il monaco francese [[Marin Mersenne]] pose l'attenzione sui primi nella forma 2<sup>''p''</sup> - 1, con ''p'' primo, che oggi sono chiamati in suo onore [[numero di Mersenne|primi di Mersenne]].
 
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
Altri risultati vennero ottenuti da Eulero nel corso del [[XVIII secolo|diciottesimo secolo]], tra cui la [[limite di una successione|divergenza]] della [[serie infinita]] <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>5</sub> + <sup>1</sup>/<sub>7</sub> + <sup>1</sup>/<sub>11</sub> + ..., in cui gli addendi sono gli inversi dei un numeri primi, e il cosiddetto [[formula prodotto di Eulero|prodotto di Eulero]], una formula che evidenzia il legame dei primi con la [[serie armonica]].<ref>Du Sautoy, ''[[L'enigma dei numeri primi]]'', p. 149.</ref> Nella corrispondenza di Eulero con [[Christian Goldbach]], quest'ultimo formulò inoltre la famosa [[congettura di Goldbach]], ancora oggi non dimostrata, che riguarda la rappresentazione dei numeri naturali pari come somma di numeri primi.
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
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!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
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!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
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|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata.png|20px]] '''[[Unione Sportiva Pontedecimo 1907|U.S. Pontedecimo]]'''
||'''47'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Arancione.png|20px]] [[Santa Margherita Ligure|A.C. Sammargheritese]]
||'''47'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Nero_e_Bianco_(Quadrati).png|20px]] [[Associazione Calcistica Rapallo Ruentes 1914|A.C. Rapallo Ruentes]]
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco Rosso e Nero (Strisce Orizzontali).png|20px]] [[Ginnastica Sampierdarenese|U.S. Sampierdarenese]]
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Arancione e Nero.png|20px]] [[Riva Trigoso|S.C. Riva Trigoso]]
||'''34'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Nero (Strisce).png|20px]] [[Associazione Sportiva Dilettantistica Sarzanese Calcio 1906|U.S. Sarzanese 1906]]
||'''34'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo.png|20px]] [[Castelnuovo Magra|U.S. Lunense Castelnovese]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Valdellora
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] G.S. Borgoratti
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px Verde.png|20px]] [[Fezzano|U.S. Fezzanese, Fezzano]]
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] A.C. Quarto
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] F.C. Molicciara
||'''25'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Busallese
||'''23'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Celeste (Strisce).png|20px]] [[Monterosso al Mare|C.S. Monterosso al Mare]]
||'''22'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Nero (Strisce).png|20px]] '''[[Unione Sportiva Dilettantistica Lavagnese 1919|U.S. Lavagnese]]'''
||'''20'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''A.C. Lerici'''
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|}
* Pontedecimo ammesso alla finale, dopo spareggio con la Sammargheritese.
* Pontedecimo promosso, dopo spareggio col Levante "C".
 
==Lombardia==
Dalla fine del Settecento, l'attenzione di molti matematici si rivolse allo studio della distribuzione [[stima asintotica|asintotica]] dei primi, ossia allo studio dell'andamento della funzione che conta i primi minori o uguali ad ''x''. [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] e [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] congetturarono indipendentemente che tale funzione [[limite di una funzione|tende]], al crescere di ''x'', a ''x'' / ln(''x''), dove ln(''x'') indica il [[logaritmo naturale]] di ''x''.<ref>Du Sautoy, op. cit., capitolo 2.</ref> Nel [[1859]] [[Bernhard Riemann]] collegò questa problema con il posizionamento degli zeri della [[funzione zeta di Riemann]]; questo approccio portò alla dimostrazione della congettura, compiuta in modo indipendente da [[Jacques Hadamard|Hadamard]] e [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] nel [[1896]]. Tale risultato è oggi noto col nome di [[teorema dei numeri primi]].
===Girone A===
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A Lombardia</span>
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| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Rovellasca'''
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| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||3.||style="text-align:left;"| {{Calcio Saronno}}
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| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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|}
 
===Girone B===
I numeri primi restarono confinati nell'ambito della matematica pura fino agli anni [[Settanta]], quando venne sviluppato il concetto di [[crittografia a chiave pubblica]]; il primo algoritmo di questo tipo, l'[[RSA]], sfrutta infatti la difficoltà di [[fattorizzazione|fattorizzare]] numeri grandi formati da due soli fattori primi. Per questo motivo, ha assunto una notevole importanza anche la ricerca di numeri primi sempre più grandi. A partire dal [[1951]], tale ricerca viene effettuata attraverso l'uso di [[computer]].
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B Lombardia</span>
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| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Casatese}}'''
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| ||2.||style="text-align:left;"| {{Calcio Leffe}}
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| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||14.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Ponte San Pietro}}'''
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| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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===Girone C===
== Prime proprietà ==
<br style="clear: both;" />
[[File:Animation_Sieve_of_Eratosth-2.gif|thumb|300px|right|Applicazione del [[crivello di Eratostene]] per trovare i numeri primi minori o uguali a 120.]]
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
Il più piccolo numero primo è 2; tutti gli altri sono [[dispari]], in quanto ogni numero pari è divisibile per 2. Nel passato 1 era a volte considerato un numero primo: ad esempio [[Derrick Norman Lehmer]] lo incluse nella sua tavola dei numeri primi pubblicata nel [[1914]].<ref>Conway e Guy, ''Il libro dei numeri'', p. 111.</ref> Oggi tuttavia si preferisce escluderlo, in quanto il suo inserimento tra i primi costringerebbe a riformulare in maniera più complessa diversi teoremi (come il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]]) per tenere conto di questo caso speciale.
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone C Lombardia</span>
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!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
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| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Soresinese}}'''
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| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| {{Calcio Codogno}}
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| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro e Bianco2.png|20px]] [[Associazione Calcio Palazzolo|Pro Palazzolo]]
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| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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===Girone D===
[[File:Prime rectangles.png|200px|thumb|left|Rappresentazione di 12 come rettangolo e tentativi di rappresentare 11 in questo modo.]]
<br style="clear: both;" />
Un metodo, che discende direttamente dalla definizione, per verificare se un numero ''n'' è primo è controllare che non sia diviso dai numeri primi minori di ''n''. Ad esempio, per provare che 11 è primo, basta osservare che non è diviso da 2, 3, 5 e 7 (che sono i primi minori di 11). Il [[crivello di Eratostene]] è un algoritmo per generare i numeri primi che si basa su tale metodo. Più precisamente, per determinare i primi nell'[[insieme]] dei numeri minori o uguali ad ''X'', basta togliere dall'insieme tutti i [[multiplo|multipli]] dei primi minori di ''X'' (esclusi i primi stessi);<ref>Si noti che se si considera che 1 sia primo anche il crivello di Eratostene andrebbe leggermente modificato, infatti se si cominciasse con l'eliminare tutti i multipli di 1 si sarebbe costretti ad eliminare qualsiasi altro numero.</ref> i numeri primi cercati saranno i numeri rimanenti al termine di queste esclusioni. In effetti, è possibile migliorare questo algoritmo fermandosi ad eliminare i multipli dei primi minori o uguali alla [[parte intera]] della [[radice quadrata|radice]] di ''X'': se infatti un numero composto ''c'' ha tutti i fattori maggiori della radice di ''X'', allora è maggiore di ''X'', in quanto, dovendo avere almeno due fattori,
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
:<math>c>\sqrt{X}\sqrt{X}=X.</math>
|- align=center bgcolor=#98A1B2
I numeri primi cercati saranno i numeri rimanenti al termine di queste esclusioni. La figura a destra mostra il funzionamento dell'algoritmo per ''X=120''.
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone D Lombardia</span>
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| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Vogherese}}'''
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| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] [[Società Ginnastica Stradellina|Portalberese]]
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| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Blu e Bianco.png|20px]] [[Società Ginnastica Stradellina|Stradellina Primavera]]
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| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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==Veneto==
Il concetto di numero primo ammette inoltre una semplice interpretazione geometrica: i numeri ''n'' che non sono primi sono esattamente quei numeri che possono essere rappresentati come rettangoli composti da ''n'' quadratini i cui lati sono maggiori di 1.
===Girone A===
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A</span>
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!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Rosso e Nero.png|20px]] [[Contarina|A.C. Contarina, Contarina]]'''
||'''45'''||30|| 18 || 9 || 3 || 49 || 14
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[File:600px Blu e Bianco (Strisce).png|20px]] [[Sommacampagna|A.S. Sommacampagna, Sommacampagna]]
||'''42'''||30|| 14 || 14 || 2 || 43 || 21
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Rosso.png|20px]] [[Lendinara|U.S. Lendinarese, Lendinara]]
||'''36'''||30|| 13 || 10 || 7 || 45 || 28
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[File:600px Nero con stella Bianca.png|20px]] [[Malo|U.S. Malo, Malo]]
||'''34'''||30|| 12 || 10 || 8 || 31 || 16
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Bardolino
||'''34'''||30|| 11 || 12 || 7 || 33 || 21
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] [[Rovigo Calcio|A.C. Rovigo, Rovigo]]
||'''33'''||30|| 8 || 17 || 5 || 36 || 29
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Rosso.png|20px]] [[Trissino|A.C. Trissino, Trissino]]
||'''32'''||30|| 10 || 12 || 8 || 33 || 30
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Granata.png|20px]] [[Cerea|U.S. Cerea, Cerea]]
||'''32'''||30|| 11 || 10 || 9 || 27 || 27
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Nero e Bianco (Bordato).png|20px]] [[Petrarca Padova Foot-Ball Club|U.S. Petrarca, Padova]]
||'''30'''||30|| 7 || 16 || 7 || 29 || 33
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px_Nero_e_Rosso_(Strisce).png|20px]] [[Thiene|A.C. Thiene, Thiene]]
||'''29'''||30|| 8 || 13 || 9 || 30 || 31
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] [[Castelnovo Bariano |U.S. Sampietrese, S.Pietro Polesine di Castelnovo Bariano]]
||'''25'''||30|| 6 || 13 || 11 || 30 || 36
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu.png|20px]] [[Cornedo Vicentino|A.C. Cornedo, Cornedo Vicentino]]
||'''25'''||30|| 6 || 13 || 11 || 35 || 45
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] [[Zanè|A.C. S.A.B.A. Zanè, Zanè]]
||'''25'''||30|| 6 || 13 || 11 || 20 || 36
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Rosso.png|20px]] '''[[Taglio di Po|U.S. Tagliolese, Taglio di Po]]'''
||'''24'''||30|| 5 || 14 || 11 || 21 || 35
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Nero.png|20px]] '''[[Ariano nel Polesine|A.S. Arianese, Ariano nel Polesine]]'''
||'''19'''||30|| 5 || 9 || 16 || 22 || 46
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''[[Trevenzuolo|U.S. Sivam Bagnolo, Trevenzuolo]]'''
||'''15'''||30|| 1 || 13 || 16 || 23 || 49
|}
 
===Girone B===
Ad esempio 12 non è primo, perché può essere rappresentato come un rettangolo di lati 3 e 4, mentre 11 è primo, perché non ammette nessuna rappresentazione di questo tipo.
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[File:600px Azzurro e Nero (Strisce).png|20px]] [[Associazione Calcio Jesolo|A.C. Jesolo, Jesolo]]'''
||'''41'''||30|| 14 || 13 || 3 || 42 || 25
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[File:600px_Bianco e Celeste (Strisce).png|20px]] [[Associazione Sportiva Dilettantistica Pro Mogliano|A.C. Pro Mogliano, Mogliano Veneto]]
||'''38'''||30|| 14 || 10 || 6 || 40 || 29
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[File:600px Granata.png|20px]] [[Calcio Portogruaro-Summaga|A.C. Portogruaro, Portogruaro]] ||'''36'''||30|| 14 || 8 || 8 || 37 || 29
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Blu3.png|20px]] [[Vittorio Veneto|U.S. Vittorio Veneto, Vittorio Veneto]]
||'''35'''||30|| 10 || 15 || 5 || 28 || 17
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Celeste (Strisce).png|20px]] [[Vedelago|A.C. Pellizzari, Vedelago]]
||'''31'''||30|| 10 || 11 || 9 || 34 || 30
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Verde.png|20px]] [[Fiesso d'Artico|A.C. Fiesso d'Artico, Fiesso d'Artico]]
||'''31'''||30|| 10 || 11 || 9 || 27 || 29
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco Rosso e Bianco.png|20px]] [[Unione Sportiva Opitergina|U.S. Opitergina, Oderzo]]
||'''30'''||30|| 9 || 12 || 9 || 18 || 25
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[File:600px Nero e Azzurro (Strisce).png|20px]] [[Murano|U.S. Muranese, Murano]]
||'''30'''||30|| 9 || 12 || 9 || 26 || 27
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Nero (Strisce).png|20px]] [[Mirano|U.S. Miranese, Mirano]]
||'''29'''||30|| 10 || 9 || 11 || 36 || 31
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] [[Caorle|A.C. Caorle, Caorle]]
||'''29'''||30|| 8 || 13 || 9 || 31 || 30
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Rosso (Strisce).png|20px]] [[Pievigina Calcio|A.S. Pievigina, Pieve di Soligo]]
||'''29'''||30|| 6 || 17 || 7 || 18 || 29
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Rosso (Bordato).png|20px]] [[Associazione Sportiva Dilettantistica Giorgione Calcio 2000|G.S. Giorgione, Castelfranco Veneto]]
||'''28'''||30|| 7 || 14 || 9 || 22 || 25
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu.png|20px]] [[Spinea|A.C. Spinea, Spinea]]
||'''27'''||30|| 6 || 15 || 9 || 19 || 25
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu.png|20px]] '''[[Mareno di Piave|A.C. La Marenese, Mareno di Piave]]'''
||'''27'''||30|| 7 || 13 || 10 || 38 || 43
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Rosso (Strisce).png|20px]] '''[[Bassano Virtus 55 Soccer Team|A.C. Bassano Virtus, Bassano del Grappa]]'''
||'''26'''||30|| 10 || 6 || 14 || 41 || 37
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosa e Nero.png|20px]] '''[[Castelfranco Veneto|G.S. Salvarosa, Salvarosa di Castelfranco Veneto]]'''
||'''13'''||30|| 2 || 9 || 19 || 18 || 44
|}
* La Marenese è retrocessa per peggior differenza reti nei confronti dello Spinea.
 
==Friuli Venezia Giulia==
== Scomposizione in fattori primi ==
===Classifica finale===
{{vedi anche|Teorema fondamentale dell'aritmetica}}
 
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
L'importanza dei numeri primi in matematica è enorme e deriva essenzialmente dal [[teorema fondamentale dell'aritmetica]], il quale asserisce che qualsiasi numero naturale diverso da uno può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone unico</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Amaranto.png|20px]] '''[[Associazione Calcio Palmanova |A.C. Palmanova]]'''
||'''42'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro e Bianco (Strisce).png|20px]] [[Pro Gorizia|A.S. Pro Gorizia]]
||'''42'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Nero.png|20px]] [[Fontanafredda|A.S. Fontanafredda]]
||'''41'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Giallo e Blu.png‎|20px]] [[Unione Calcistica Pro Cervignano|U.C. Pro Cervignano]]
||'''37'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Bianco e Rosso.png‎|20px]] [[Associazione Sportiva Cormonese|A.S. Cormonese]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu.png|20px]] [[Tarcento|U.S. Tarcentina]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Nero e Azzurro (Strisce).png|20px]] [[Società Sportiva Dilettantistica Sacilese Calcio|S.S. Sacilese]]
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Nero (Strisce).png|20px]] [[Trieste|S.S. San Giovanni, Trieste]]
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Verde.png|20px]] [[Maniago|A.S. Maniago]]
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] [[Turriaco|U.S. Isonzo, Turriaco]]
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu.png|20px]] [[Lignano|U.S. Lignano]]
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Bianco.png|20px]] [[Grado|U.S. Gradese]]
||'''25'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[File:600px Cremisi e Bianco (Bordato).png|20px]] [[San Giorgio di Nogaro|S.S. Sangiorgina]]
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''U.S. Brugnera'''
||'''23'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Bianco e Azzurro.png‎|20px]] '''[[Associazione Sportiva S.A.I.C.I. Torviscosa|A.S. Torviscosa]]'''
||'''21'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''U.S. Medea'''
||'''20'''||30|| || || || ||
|}
 
Il '''Palmanova''' è promosso in [[Serie D]].<br>
Ad esempio, 23244 si fattorizza come
Brugnera, Torviscosa e Medea retrocedono in [[Prima Categoria]].
 
'''Spareggio per il 1°posto''':<br>
:<math>23244 = 2^2 \times 3 \times 13 \times 149 </math>
Domenica [[4 giugno]] [[1978]] Stadio Friuli, [[Udine]]
Palmanova - Pro Gorizia 1-1 d.t.s.
Marcatori : Zucco (PAL) al 16' e Bartussi(PRO) al 26'.
Promosso il PALMANOVA dopo il lancio della monetina.
Formazioni :
'''PALMANOVA''' : Visentin, Tortolo, Mansutti, Milocco, Lirussi, Furlani; Di Blas, Zoff, Zucco,
Mattiussi, Pontel (Minin dal 73'). 12 Zorzin 13 Marangon 14 Snidaro 15 Venturini.
'''PRO GORIZIA''' : Pontel, Ranocchi, Zanetti, Chiarvesio, Acquavita, Cirello; Martelossi,
(Urizzi dal 53'), Bartussi, Zuttion, Blasig, Omizzolo. 12 Zupicchini 13 Bertogna.
 
'''Classifica marcatori :'''
e ogni altra sua fattorizzazione in numeri primi è ottenuta da questa [[permutazione|permutando]] i fattori. Ad esempio, l'"ulteriore" fattorizzazione
DI BLAS Claudio (Palmanova) 18 reti
:<math>23244=13\times 3\times 2\times 149\times 2</math>
FRUCCO Enrico (Tarcentina) 14 reti
non è altro che quella precedente con i fattori scritti in un ordine diverso. A causa di questa proprietà, ci si riferisce a volte ai numeri primi come agli "[[atomo|atomi]] dell'aritmetica".<ref>Ad esempio in du Sautoy, ''L'enigma dei numeri primi''.</ref>
TARLAO (Pro Cervignano) 11 reti
ULCIGRAI (Fontanafredda) 10 reti
[[Gaetano Troja|TROJA Gaetano]] (Lignano) 10 reti
PONTEL Felice (Palmanova) 8 reti
BLASON (Turriaco) 7 reti
BARTUSSI (Pro Gorizia) 7 reti
 
==Trentino Alto Adige==
Questa è tra l'altro la ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei primi. Infatti, se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per uno, un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di partenza, creando così fattorizzazioni distinte.
===Girone Unico===
{| table width=100%
| width=49% valign="top" |
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica Girone Unico</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Passirio Merano}}'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| {{Calcio Merano}}
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Salorno
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
==Emilia Romagna==
Una proprietà strettamente collegata alla fattorizzazione unica è il [[lemma di Euclide]]: se un primo ''p'' divide il prodotto ''ab'', allora divide ''a'' o ''b''. Questa è considerata la definizione stessa di ''elemento primo'' in un [[dominio d'integrità]],<ref>vedi [[#Generalizzazioni|il paragrafo sulle generalizzazioni]].</ref> ed è ovvia a partire dal teorema fondamentale dell'aritmetica: la fattorizzazione di ''ab'' dovrà infatti contenere il primo ''p'', e visto che ''p'' non può essere "spezzato" in due fattori, deve necessariamente essere nella fattorizzazione di almeno uno dei due numeri.
 
===Girone Infinità A===
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
{{Vedi anche|Teorema dell'infinità dei numeri primi}}
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A Emilia Romagna</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Forlimpopoli}}'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| {{Calcio Ravenna}}
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| {{Calcio Faenza}}
||'''38'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] San Lazzaro
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
===Girone B===
I numeri primi sono infiniti. La più antica dimostrazione pervenutaci è quella di [[Euclide]], che la presenta nel IX libro degli ''Elementi'', come proposizione 20, con le parole:
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B Emilia Romagna</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Blu.png|20px]] '''Viadana'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| {{Calcio Finale Emilia}}
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| {{Calcio Centese}}
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
==Toscana==
{{quote|I numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi.|[[Euclide]], IX libro degli ''Elementi''.}}
 
===Girone A===
La dimostrazione procede [[per assurdo]]. Supponendo infatti che esistano solo un numero finito di numeri primi <math>p_1,~p_2,~...,~p_n</math>, si può considerare il numero <math>q=p_1p_2\cdots p_n+1</math>: questo numero è ovviamente maggiore di 1 e diverso da tutti i numeri primi <math>p_i</math>. Ora, vi sono due possibilità per ''q'': può essere primo o composto. Se fosse primo avremmo però una contraddizione, perché abbiamo assunto che i <math>p_i</math> siano tutti i numeri primi; se fosse invece composto, dovrebbe avere una fattore primo ''d'', che deve essere uno dei numeri primi <math>p_i</math>. Ma allora ''d'' divide sia ''q'' che il prodotto <math>p_1p_2\cdots p_n</math> (essendo uno dei numeri primi), e quindi deve dividere la loro differenza <math>q-p_1p_2\cdots p_n=1</math>, il che è impossibile. Quindi ''q'' non può essere né primo né composto: ma questo è assurdo, e i numeri primi sono infiniti.
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Celeste.png|20px]] '''[[Cuoiopelli Cappiano Romaiano|A.S. Cuoiopelli]]'''
||'''44'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu.png|20px]] [[Associazione Sportiva Cecina|A.S. Cecina]]
||'''43'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Pescia
||'''36'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Viola.png|20px]] A.C. Volterrana
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] G.S. Rosignano
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Bianco_e_Celeste.png|20px]] A.S. Venturina
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Nero e Azzurro (Strisce).png|20px]] [[Unione Sportiva Forte dei Marmi|U.S. Forte dei Marmi]]
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"|
[[Immagine:600px Bianco e Nero.png|20px]] [[Associazione Calcio Fucecchio|U.S. Fucecchio]]
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Blu.png|20px]] [[Unione Sportiva Castelnuovo Garfagnana|U.S. Castelnuovo]]
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Ponte Buggianese
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Image:600px Blu e Rosso2.png|20px]] [[Mobilieri Ponsacco Calcio|A.C. Mobilieri, Ponsacco]]
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Viola.png|20px]] U.S. Larcianese Plasticfibre
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Celeste.png|20px]] Pol. Follonica
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Celeste e Blu.png|20px]] U.S. Querceta
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''S.S. Audace, Portoferraio'''
||'''20'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro.png|20px]] '''U.S. Borgo a Buggiano'''
||'''14'''||30|| || || || ||
|}
 
Il Cuoiopelli è promosso in [[Serie D]].<br>
Una questione che sorge dalla dimostrazione è se i numeri nella forma <math>p_1\cdots p_n+1</math>, cioè il prodotto dei primi ''n'' primi più 1 (detti [[numero di Euclide|numeri di Euclide]]), siano o meno primi. Questo avviene nei primi casi (2·3+1=7 è primo, così come 2·3·5+1=31), ma è falso in generale: il più piccolo di tali numeri ad essere composto è
Il Querceta, retrocesso sul campo, fu riammesso all'inizio della stagione 1978-79.<br>
:<math>2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30 031=59\cdot 509.</math>
L'Audace di Portoferraio e il Borgo a Buggiano retrocedono in [[Prima Categoria]].
Non è noto se in questa successione esistano infiniti numeri primi, anche se è stato [[congettura]]to che sia così.<ref>{{cita web|url=http://mathworld.wolfram.com/EuclidNumber.html||autore= Eric W. Weisstein |titolo=Euclid Number|accesso=23 febbraio 2009|lingua=en}}</ref>
 
===Girone B===
Altre dimostrazioni sono state create nel corso dei secoli: [[Eulero]] dimostrò questo teorema a partire dalla [[divergenza]] della [[serie armonica]], [[Christian Goldbach|Goldbach]] attraverso i [[numero di Fermat|numeri di Fermat]], mentre [[Harry Furstenberg]] ne ideò una usando metodi di [[topologia]].<ref>{{en}}{{cita pubblicazione|autore=Furstenberg, Harry|url=http://www.jstor.org/view/00029890/di991392/99p17762/0|titolo=On the infinitude of primes|rivista=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|volume=62|numero=5|anno=1955|pagine=353|doi=10.2307/2307043}}</ref>
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Amaranto.png|20px]] '''Pol. Foiano'''
||'''43'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Image:600px_Arancione_e_Blu.png|20px]] [[Associazione Calcio Sansovino|U.S. Sansovino]]
||'''40'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Rosso (Strisce).png|20px]] [[Unione Sportiva Poggibonsi|U.S. Poggibonsi]]
||'''38'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo.png|20px]] U.S. Castiglionese
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Image:600px_Arancione e Bianco.png|20px]] U.S. Cortona Camucia
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Giallo.png|20px]] A.C. Quarrata
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Verde e Bianco (Strisce)2.png|20px]] [[Associazione Sportiva Dilettantistica Fortis Juventus 1909|A.S. Fortis Juventus 1909]]
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Nero (Strisce).png|20px]] S.P. Audax, Rufina
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Celeste.png|20px]] U.S. Antella
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Azzurro.png|20px]] U.S. Lampo
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Blu.png|20px]] S.S. Le Signe
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Bianco (strisce).png|20px]] [[Valdelsa Football Colligiana|U.S. Colligiana]]
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Blu (Strisce).png|20px]] [[Associazione Sportiva Figline|A.S. Figline]]
||'''25'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Bianco.png|20px]] '''A.S. Terranuovese'''
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px_Viola.png|20px]] '''A.S. Certaldo'''
||'''23'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''U.S. Sancascianese'''
||'''16'''||30|| || || || ||
|}
 
Il '''Foiano''' è promosso in [[Serie D]].<br>
Un teorema più forte, da cui si ricava facilmente l'infinità dei numeri primi, è quello che stabilisce che la [[serie (matematica)|serie]] <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>5</sub> + <sup>1</sup>/<sub>7</sub> + <sup>1</sup>/<sub>11</sub> + ..., formata dalla somma degli inversi dei numeri primi, [[serie divergente|diverge]],<ref>Vedi la [[dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi|dimostrazione]].</ref> ed in particolare, usando la notazione [[O-grande]]:
Terranuovese, Certaldo e Sancascianese retrocedono in [[Prima Categoria]].
 
==Marche==
:<math>\sum_{p\leq n} \frac{1}{p}=\ln \ln n+O(1).</math><ref>Vedi ad esempio in Moser, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', p. 24.</ref>
===Girone Unico===
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone Unico</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Verde.png|20px]] '''[[Falconara Marittima|A.S. Falconarese]]'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| {{Calcio Tolentino}}
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
==Lazio==
Questo teorema è dovuto a Eulero, che lo dimostrò nel diciottesimo secolo.
 
===Girone A===
Dalla dimostrazione di Euclide segue anche che
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A Lazio</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
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| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Bianco Rosso e Verde.png|20px]] [[Casalotti|A.S. Casalotti]]'''
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Rosso (Bordato).png|20px]] [[ASD Lodigiani|A.S. Lodigiani]]
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Rosso.png|20px]] [[Guidonia Montecelio|Pol. Villalba]]
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
===Girone B===
:<math>p_{n+1}<p_1p_2\cdots p_n.</math>
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
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|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''[[Immagine:600px Bianco e Nero (Strisce).png|20px]] [[Associazione Sportiva Sora|U.S. Sora]]'''
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Nero.png|20px]] [[VJS Velletri|V.J.S. Velletri]]
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Bianco.png|20px]] [[Grottaferrata|S.S. Vivace]]
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
==Umbria==
Tale disuguaglianza può essere migliorata: H. Bonse dimostrò nel 1907 ([[disuguaglianza di Bonse]]) che<ref>{{cita pubblicazione | autore = H. Bonse | anno = 1907 | titolo = "Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung" | rivista = Arch. Math. Phys | volume = 12 | pagine = 292-295 }}</ref>
===Girone Unico===
:<math>p_{n+1}^2 < p_1 p_2 ... p_n \,</math>
<br style="clear: both;" />
per ''n'' > 3. Su questa strada, è stato dimostrato che la disuguaglianza
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
:<math>p_{n+1}^k < p_1 p_2 ... p_n \,</math>
|- align=center bgcolor=#98A1B2
è verificata per ogni ''n'' > 2''k''.<ref>{{cita pubblicazione | autore = L. Panaitopol | anno = 2000 | titolo = "An inequality involving prime numbers" | rivista = Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. | volume = 11 | pagine = 3-35 }}</ref>
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone Unico</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu2.png|20px]] ''' [[Associazione Sportiva Gubbio 1910|A.S. Gubbio]]'''
||'''43'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Orte Filesi
||'''42'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu2.png|20px]] [[Assisi|A.S. Assisi]]
||'''36'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Bevagna
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] [[Foligno Calcio|A.S. Foligno]]
||'''32'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Arancio e Nero.png|20px]] [[Narni|G.S. Elettrocarbonium]]
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Bianco.png|20px]] [[Associazione Sportiva Gualdo Calcio|S.S. Gualdo]]
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Grifo Cannara
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Blu e Rosso (Strisce).png|20px]] [[Associazione Sportiva Dilettantistica Narnese Calcio|U.P. Narnese]]
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Blu2.png|20px]] [[Nocera Umbra|A.S. Nocera Umbra]]
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Cangi Arredi
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Rosso.png|20px]] [[Todi|S.S. Todi]]
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] [[Umbertide|S.S. Tiberis]]
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''G.S. Lama'''
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''S.P. Tavernelle'''
||'''23'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Pol. Julia Spello'''
||'''19'''||30|| || || || ||
|}
 
==Molise==
== Distribuzione dei numeri primi ==
Società aggregate al Comitato Regionale Campano.
{{vedi anche|Teorema dei numeri primi}}
[[File:PrimeNumberTheorem.png|thumb|300px|Comparazione tra le funzioni π(''x'') (blu), ''x'' / ln ''x'' (verde) e Li(''x'') (rosso), si può notare che l'approssimazione di π(''x'') con Li(''x'') è molto migliore di quella con ''x'' / ln ''x'']]
 
==Abruzzo==
Una volta dimostrato che i numeri primi sono infiniti, sorge spontaneo chiedersi come si distribuiscono all'interno della sequenza dei numeri naturali, cioè quanto sono frequenti e quando ci si può aspettare di trovare l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo numero primo. Questo studio fu iniziato verso la fine del [[XVIII secolo]] indipendentemente da [[Gauss]] e da [[Legendre]], che introdussero la funzione <math>\pi(x)</math> (detta [[funzione enumerativa dei primi]]) e congetturarono che essa fosse approssimativamente
===Girone Unico===
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone unico</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Rosso.png|20px]] '''[[Società Sportiva Sulmona|S.S. Sulmona]]'''
||'''46'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pennese
||'''44'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Rosso.png|20px]] [[Santegidiese Calcio 1948|Santegidiese S.S.]]
||'''39'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Carsoli
||'''35'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Rosso (Strisce).png|20px]] [[Unione Sportiva Termoli|U.S. Termoli]]
||'''35'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] A.S. Pro Lido, [[Tortoreto Lido]]
||'''33'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Angolana, [[Città Sant’Angelo]]
||'''30'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Ate-Tixa, [[Atessa]]
||'''26'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Chieti Scalo
||'''26'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] S.S.C. Silvi
||'''26'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] San Salvo
||'''25'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] A.C. Notaresco
||'''25'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Sagittario, [[Pratola Peligna]]
||'''25'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Raiano'''
||'''24'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFE0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''A.S. Montorio'''
||'''16'''||28|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''A.S. Cliternum, [[Celano]]'''
||'''0'''|| || || || || ||
|}
 
* Cliternum escluso
:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.</math><ref>Con questa espressione si intende che il [[limite (matematica)|limite]] del rapporto tra queste due espressioni tende a 1 quando ''x'' tende a infinito.</ref>
 
==Campania==
Il tentativo di dimostrare questa congettura attraversò tutto l'Ottocento; i primi risultati furono ottenuti tra il [[1848]] e il [[1859]] da [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]], che dimostrò usando metodi puramente [[aritmetica|aritmetici]] che esistevano due costanti ''A'' e ''B'' tali che
:<math>A\leq \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln x}} \leq B</math>
per ''x'' sufficientemente grande. Riuscì anche a provare che, se il [[limite (matematica)|limite]] del rapporto esiste, allora esso deve essere 1.
 
===Girone A===
Una dimostrazione fu invece trovata nel [[1896]] da [[Jacques Hadamard|Hadamard]] e da [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée-Poussin]], che, pur lavorando indipendentemente l'uno dall'altro, usarono metodi simili, basati sull'uso della [[funzione zeta di Riemann]], la quale era stata introdotta da [[Bernhard Riemann]] nel [[1859]]. Per una dimostrazione che usasse soltanto metodi elementari (cioè senza usare metodi di [[analisi complessa]]) si dovette attendere invece fino al [[1949]], quando essa fu ideata da [[Atle Selberg|Selberg]] e [[Paul Erdős|Erdős]]. Il teorema è oggi noto come [[teorema dei numeri primi]].
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
[[File:Primi-nlnn.svg|thumb|left|250px|Confronto tra l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo numero primo (in blu) e ''n'' &middot;ln''n'' (in rosso), per ''n'' tra 0 e 10000.]]
|- align=center bgcolor=#98A1B2
[[Gauss]] aveva introdotto anche una stima più precisa, utilizzando la funzione [[logaritmo integrale]]:
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A Campania</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Frattese}}'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
===Girone B===
:<math>\pi(x)\sim\frac{}{}\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x.</math>
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B Campania</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Ercolanese}}'''
||'''52'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[File:600px Azzurro e Bianco.png|20px]] Arzanese
||'''50'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Ponticelli C.
||'''38'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| {{Calcio Portici}}
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Trecase
||'''31'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Soccavo
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Secondigliano
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Sanità
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Forio
||'''29'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Nuova Vomero
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[File:600px Azzurro Bianco e Azzurro.png|20px]] Sibilla Bacoli
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Boschese
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] B. Marano
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[File:600px Nero con stella Bianca.png|20px]] '''[[Ilva Bagnolese|Virtus Bagnolese]]'''
||'''20'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''Pro San Giorgio'''
||'''18'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''Colombo Olimpic'''
||'''17'''||30|| || || || ||
|}
 
===Girone C===
Nel [[1899]] de la Vallée-Poussin dimostrò che l'errore che si commette approssimando <math>\pi(x)</math> in questo modo è
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone C Campania</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#FFF050;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu.png|20px]] '''Sangiuseppese'''
||'''43'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Poseidon
||'''39'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| {{Calcio Angri}}
||'''39'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| {{Calcio Sapri}}
||'''36'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Celeste e Bianco (Strisce).png|20px]] Agropoli
||'''35'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Bianco e Azzurro.png|20px]] Ariano Irpino
||'''33'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Vietriraito
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| {{Calcio Battipagliese}}
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Pro Poggiomarino
||'''30'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| {{Calcio Ebolitana}}
||'''28'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Montecorvino
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Sarnese
||'''27'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] Pontecagnano
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''Scandone Montella'''
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[File:Flag of None.svg|20px]] '''Agerolamalfi'''
||'''24'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Gragnano}}'''
||'''6'''||30|| || || || ||
|}
 
==Puglia==
:<math> \pi(x)-\mathrm{Li}(x) = O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right)=O\left(\frac{x}{(\log x)^m}\right)</math>
===Girone A===
{| table width=100%
| width=49% valign="top" |
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Girone A Puglia</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Trani}}'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
per una costante positiva ''a'' e ogni intero ''m''; tale risultato è stato leggermente migliorato nel corso degli anni.<ref>Ingham, op. cit., p. xi.</ref> Inoltre, nel [[1901]] [[Helge von Koch|von Koch]] mostrò che se l'[[ipotesi di Riemann]] è vera, allora si ha la stima molto più precisa:
 
===Girone B===
:<math> \pi(x) - \mathrm{Li}(x) = O\left(\sqrt x \ln x\right). </math>
{| table width=100%
| width=49% valign="top" |
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Girone B Puglia</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Grottaglie}}'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Ginosa
||'''26'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
==Basilicata==
Una forma equivalente al teorema dei numeri primi è che ''p<sub>n</sub>'', l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo numero primo, è ben approssimato da ''n'' ln(''n''). In effetti, ''p<sub>n</sub>'' è strettamente maggiore di questo valore, come è stato dimostrato da [[J. Barkley Rosser]] nel [[1938]];<ref>{{cita pubblicazione | autore = J. B. Rosser | anno = 1938 | titolo = "The nth Prime is Greater than n ln n" | rivista = Proceedings of the London Mathematical Society | volume = 45 | pagine = 21-44 }}</ref> questa disuguaglianza è stata migliorata fino ad arrivare, nel 1995, a
===Girone Unico===
:<math>p_n>n(\ln n+\ln~\ln n -1),</math>
<br style="clear: both;" />
per ''n'' ≥ 2.<ref>{{cita pubblicazione | autore = P. Dusart | anno = 1999 | titolo = "The k^(th) Prime is Greater than k(lnk+lnlnk-1) for k>=2." | rivista = Math. Comput | volume = 68 | pagine = 411-415 }}</ref>
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone unico</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Avigliano}}'''
||'''49'''||30||21||7||2||65||19
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Vaglio
||'''41'''||30||16||9||5||60||28
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pro Matera
||'''41'''||30||17||7||6||55||24
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Policoro
||'''38'''||30||16||6||8||48||30
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Tolve
||'''37'''||30||16||5||9||41||26
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Carlo Fortunato, [[Senise]]
||'''36'''||30||14||8||8||52||29
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Moliterno
||'''32'''||30||11||10||9||44||39
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Lagonegro
||'''31'''||30||10||11||9||43||32
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] C.S. Vultur, [[Rionero]]
||'''30'''||30||12||7||11||42||42
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[File:600px Giallo e Blu (Strisce).png|20px]] U.S. Pisticci
||'''26'''||30||9||8||13||36||59
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Virtus, [[Ferrandina]]
||'''25'''||30||10||5||15||28||38
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Libertas Invicta, [[Potenza]]
||'''22'''||30||8||6||16||40||54
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Irsinese
||'''22'''||30||8||12||10||40||34
|- align=center style="background:#FFFFFF;;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] G.S. Indipendente, [[Bernalda]]
||'''19'''||30||7||5||18||22||57
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] S.C. Ferrandina
||'''16'''||30||3||10||17||18||54
|- align=center style="background:#FFD0E0;;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ''' U.S. Bernalda '''
||'''8'''||30||2||4||24||17||92
|}
 
* Vultur Rionero 1 punto di penalizzazione.
=== Intervalli tra i numeri primi ===
* Irsinese 6 punti di penalizzazione.
[[ File:Anzahl_Primzahl-Zwillingspaare.png |230px|thumb|La distibuzione dei primi gemelli per ''n''≤1000]]
Legato alla distribuzione dei numeri primi è lo studio degli intervalli tra due primi consecutivi. Questo, a parte la coppia formata da 2 e 3, deve essere necessariamente maggiore o uguale a 2, perché tra due numeri consecutivi almeno uno è pari e quindi non primo. Se due numeri primi hanno come differenza 2, sono detti [[numeri primi gemelli|''gemelli'']]: ad eccezione della "tripletta" formata da 3, 5 e 7, i numeri primi gemelli si presentano a coppie, ed è semplice verificare che, tranne nel caso 3 e 5, il numero posto tra di loro è sempre un multiplo di 6. Le più piccole coppie di primi gemelli sono (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) e (29, 31).
È stato [[congettura]]to che esistano infinite coppie di numeri primi gemelli, sebbene nessuno sia ancora riuscito a dimostrarlo; un'estensione di questa idea è chiedersi se, dato un numero pari ''k'', la differenza tra due primi consecutivi sia pari a ''k'' infinite volte. Quest'ultimo problema prende il nome di [[congettura di Polignac]] ed è anch'essa indimostrata.
 
==Calabria==
È facile invece mostrare che questa differenza può essere grande a piacere: dato un intero ''N'', ed indicando con ''N!'' il suo [[fattoriale]] (cioè il prodotto di tutti i numeri compresi tra 1 ed ''N''), i numeri
===Girone Unico===
{| table width=100%
| width=49% valign="top" |
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Girone Unico Calabria</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Trebisacce'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|}
 
==Sicilia==
:<math>(N+1)!+2,~(N+1)!+3,\cdots,(N+1)!+N+1</math>
 
===Girone A===
sono tutti composti: infatti, se ''m'' è minore di ''N'', allora (''N''+1)!+''m'' è divisibile per ''m'', e quindi non è primo. La sequenza, che comprende ''N'' numeri consecutivi, è quindi priva di numeri primi. Ad esempio, se ''N''=5, questi valori corrispondono a
<br style="clear: both;" />
:<math>6!+2=722=2\times 361</math>
:<math>6!+3=723=3\times 241</math>
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
:<math>6!+4=724=4\times 181</math>
|- align=center bgcolor=#98A1B2
:<math>6!+5=725=5\times 145</math>
!width=20|
:<math>6!+6=726=6\times 121</math>
!width=40|
mentre il valore successivo, 6!+7=727, è primo.<ref>Si noti tuttavia che in generale non è vero che il numero successivo è primo, ad esempio se ''n'' è dispari, allora N!+(''N''+1) è divisibile per 2.</ref>
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone A</span>
Dal teorema dei numeri primi discende facilmente che l'intervallo [[Valore atteso|atteso]] tra due numeri primi consecutivi ha lunghezza log(''n''). Tuttavia ci si aspetta che questi intervalli siano talvolta molto più grandi e talvolta molto più piccoli. Ad esempio, la congettura dei primi gemelli, dice esattamente che questo intervallo è il minimo possibile infinite volte. Seppure questa congettura sia ancora aperta, recentemente si sono fatti grossi passi avanti in questa direzione. Nel 2007 infatti Goldston, Pintz e Yildirim hanno provato che
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}=0,</math><ref>{{cita pubblicazione | autore = D.A. Goldston, J. Pintz, Y. Yilidrim| titolo = "Primes in tuples. II." | rivista = Acta. Math. | anno = to appear |url = http://www.renyi.hu/~pintz/0710.2728.pdf}}</ref>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Akragas}}'''
||'''43'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] A.C. Ravanusa
||'''40'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] A.S. Favara
||'''38'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Giallo e Rosso con Croce Bianca.png|20px]] Nissa Sport Club
||'''38'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Empedoclina
||'''38'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Rosso e Nero (Strisce).png|20px]] G.S. Folgore Castelvetrano
||'''34'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. A.M.A.T. Palermo
||'''31'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] A.S. Juventina Alcamo
||'''30'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Juve Bagheria
||'''29'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Salemi
||'''28'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Verde e Giallo.png|20px]] [[Associazione Sportiva Calcio Enna|A.S. Enna]]
||'''28'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:600px Verde e Amaranto (Strisce).png|20px]] Sancataldese
||'''27'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Castellammare
||'''27'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Pol. Campobello di Mazara'''
||'''20'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Partinicaudace'''
||'''18'''||30||?||?||?||?||?
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''La Fattoria'''
||'''10'''||30||?||?||?||?||?
|}
 
===Girone B===
restando comunque molto lontani dalla dimostrazione della congettura. Anche sul problema opposto, ossia quello sugli intervalli inusualmente lunghi, i risultati dimostrati sono nettamente inferiori a quelli comunemente ritenuti veri. Ci si aspetta infatti che
<br style="clear: both;" />
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
!width=40|
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica - Girone B</span>
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#CCFF99;"
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Paternò}}'''
||'''45'''||30|| 19 || 7 || 4 || 48 || 14
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] S.S. Provinciale Messina
||'''44'''||30|| 16 || 12 || 2 || 44 || 17
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Pozzallo
||'''40'''||30|| 14 || 12 || 4 || 38 || 22
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Adrano
||'''34'''||30|| 10 || 14 || 6 || 30 || 22
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Gruppo Tiger Brolo
||'''34'''||30|| 12 || 10 || 8 || 35 || 28
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||6.||style="text-align:left;"| {{Calcio Caltagirone}}
||'''32'''||30|| 10 || 12 || 8 || 31 || 22
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Francavilla
||'''32'''||30|| 11 || 10 || 9 || 40 || 32
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] S.S. Mobilburgio Solarino
||'''30'''||30|| 10 || 10 || 10 || 31 || 34
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] U.S. Pattese
||'''28'''||30|| 9 || 10 || 11 || 29 || 32
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] Pol. Bronte
||'''28'''||30|| 9 || 10 || 11 || 24 || 31
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
| ||11.||style="text-align:left;"| {{Calcio Giarre}}
||'''26'''||30|| 6 || 14 || 10 || 23 || 31
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] S.S. Adernò
||'''25'''||30|| 10 || 5 || 15 || 31 || 36
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''U.S. Rosolini'''
||'''25'''||30|| 7 || 11 || 12 || 21 || 28
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''Pachino'''
||'''25'''||30|| 6 || 13 || 11 || 27 || 35
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''A.S. Canicattini'''
||'''22'''||30|| 6 || 10 || 14 || 27 || 44
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''U.S. Borgata Augusta'''
||'''10'''||30|| 3 || 4 || 23 || 17 || 68
|}
 
==Sardegna==
:<math>0<\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\log^2n}\ll1.</math><ref name = Pintz>{{citaweb | autore = J. Pintz| titolo = "Landau's problems on primes." | url = http://www.renyi.hu/~pintz/pjapr.pdf}}</ref>
===Girone Nord===
In questo caso, i migliori risultati provati sono
{| table width=100%
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{(p_{n+1}-p_{n})(\log\log\log p_n)^2}{\log p_n(\log\log p_n)(\log\log\log\log p_n)}</math><ref name = Pintz />
| width=49% valign="top" |
e
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
:<math>p_{n+1}-p_n=O\left(p_n^{\frac{21}{40}}\right),</math><ref name = Pintz />
|- align=center bgcolor=#98A1B2
!width=20|
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!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica Girone Nord</span>
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!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
|- align=center style="background:#FFF050;"
| ||1.||style="text-align:left;"| [[File:600px Rosso e Blu3.png|20px]] '''[[Porto Torres]]'''
||'''??'''||30|| || || || ||
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
| ||2.||style="text-align:left;"| [[File:600px Bianco e Celeste.png|20px]] [[La Maddalena|Ilvarsenal]]
||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||3.||style="text-align:left;"| {{Calcio Tharros}}
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| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
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| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
||'''??'''||30|| || || || ||
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||'''??'''||30|| || || || ||
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| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
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|}
 
===Girone Sud===
dovuti entrambi a Pintz.
{| table width=100%
 
| width=49% valign="top" |
Un altro risultato classico, seppur più debole di quelli appena riportati, è il [[postulato di Bertrand]] (dimostrato nel [[1850]] da [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]]), che afferma che, per ogni ''n'', esiste sempre un primo tra ''n'' e 2''n''. Un'interessante conseguenza di questo risultato è che è che <math>p_{n+1}<2p_n</math>; considerando inoltre che ''p''<sub>1</sub>=2 si deduce facilmente che per ogni ''n'' vale la disuguaglianza
{| align=center style="font-size: 85%; border-collapse:collapse" border=0 cellspacing=0 cellpadding=2
 
|- align=center bgcolor=#98A1B2
:<math>p_n<2^n.</math>
!width=20|
 
!width=40|
Nel corso dei secoli, sono state proposte molte congetture sugli intervalli tra primi consecutivi. Le più famose sono la [[congettura di Legendre]], che afferma che tra due quadrati consecutivi vi è sempre un primo, la [[congettura di Brocard]] che asserisce che tra i quadrati di due primi dispari consecutivi esistono sempre quattro numeri primi, e la [[congettura di Andrica]] che ipotizza che
!width=220|<span style="color:#FFFFFF">Classifica Girone Sud</span>
 
!width=55|<span style="color:#FFFFFF">Pt</span>
:<math>\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.</math>
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">G</span>
 
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">V</span>
Queste congetture sono tutte molto più deboli di quanto ritenuto comunemente vero, ma sono tuttora indimostrate. I migliori risultati in questa direzione sono la dimostrazione che tra ''n''<sup>2</sup> e (''n''+1)<sup>2</sup> giace sempre almeno un primo o un [[semiprimo]], dovuta a [[Chen Jingrun]],<ref>{{cita pubblicazione | autore = J. R. Chen | anno = 1975 | titolo = "On the Distribution of Almost Primes in an Interval." | rivista = Sci. Sinica | volume = 18 | pagine = 611-627 }}</ref> e il risultato di Pintz riportato sopra.
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">N</span>
 
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">P</span>
== Rapporti con gli altri campi della matematica ==
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GF</span>
 
!width=40|<span style="color:#FFFFFF">GS</span>
Essendo alle basi dell'[[aritmetica]], i numeri primi sono ingredienti fondamentali in un gran numero di settori della matematica.
|- align=center style="background:#CCFF99;"
 
| ||1.||style="text-align:left;"| '''{{Calcio Carbonia}}'''
=== Funzioni aritmetiche ===
||'''??'''||30|| || || || ||
 
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
Le funzioni aritmetiche, ossia le funzione definite sugli interi e a valori nei [[numero complesso|numeri complessi]], rivestono un ruolo cruciale nella [[teoria dei numeri]]. In modo particolare, tra queste le più importanti sono le funzioni moltiplicative, ovvero quelle funzioni ''f'' in cui, per ogni coppia (''a'',''b'') di numeri [[Interi coprimi|coprimi]], si ha
| ||2.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
 
||'''??'''||30|| || || || ||
:<math>f(ab)=f(a)f(b).\!</math>
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
 
| ||3.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
Esempi di funzioni moltiplicative sono la [[funzione phi di Eulero]], che ad ''n'' associa il numero degli interi che sono al contempo minori e coprimi con ''n'', e le funzioni [[Funzione tau sui positivi|divisore]] e [[funzione sigma|sigma]], che ad ''n'' associano rispettivamente il numero dei suoi divisori e la loro somma. Il valore di tali funzioni nelle potenze dei primi è
||'''??'''||30|| || || || ||
 
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
*[[funzione phi di Eulero]]: <math>\operatorname{\varphi}(p^m)=p^n-p^{n-1},</math>
| ||4.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
*[[Funzione tau sui positivi|funzione divisore]]: <math>\operatorname{d}(p^m)=m+1,</math>
||'''??'''||30|| || || || ||
*[[funzione sigma]]: <math>\operatorname{\sigma}(p^m)=1+p^2+p^3+\cdots+p^m.</math>
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
 
| ||5.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
Grazie alla proprietà che le definisce, le funzioni aritmetiche si possono facilmente calcolare conoscendo il valore che esse assumono nelle [[Potenza (matematica)|potenze]] dei primi. Infatti, dato un intero ''n'' di fattorizzazione
||'''??'''||30|| || || || ||
 
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:<math>n=p_1^{q_1}\cdots p_a^{q_a},</math>
| ||6.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
 
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si ha che
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| ||7.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
:<math>f(n)=f(p_1^{q_1})\cdots f(p_a^{q_a})</math>
||'''??'''||30|| || || || ||
 
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
e dunque si è ricondotto il problema di calcolare ''f''(''n'') a quello di calcolare ''f'' sulle potenze dei primi che dividono ''n'', valori che sono in genere più semplici da ricavare rispetto ad una formula generale. Ad esempio, per conoscere il valore della funzione phi di Eulero su ''n'' = 450 = 2×3<sup>2</sup>×5<sup>2</sup> è sufficiente calcolare
| ||8.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
 
||'''??'''||30|| || || || ||
:<math>\operatorname{\sigma}(450)=\operatorname{\sigma}(2)\cdot\operatorname{\sigma}(3^2)\cdot\operatorname{\sigma}(5^2)=(2-1)\cdot(9-3)\cdot(25-5)=120.</math>
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
 
| ||9.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
Il fatto che una funzione moltiplicativa sia individuata dai valori assunti in corrispondenza delle potenze dei numeri primi è all'origine dell'uso delle [[serie di Bell]], che sono delle particolari [[serie formale di potenze|serie formali di potenze]]. Data una funzione moltiplicativa ''f'' e un primo ''p'', la serie di Bell di ''f'' rispetto a ''p'' è:
||'''??'''||30|| || || || ||
 
|- align=center style="background:#FFFFFF;"
:<math>f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.</math>
| ||10.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
 
||'''??'''||30|| || || || ||
In particolare, se ''f'' è ''completamente'' moltiplicativa (cioè se ''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b'') per ogni ''a'' e ''b''), allora ''f'' è individuata dai valori di ''f''(''p''), per ''p'' primo, e la sua serie di Bell è:
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
 
| ||11.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
:<math>f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p)^n x^n=\frac{1}{1-f(p)x}.</math>
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|- align=center style="background:#FFFFFF;"
=== Numeri ''p''-adici ===
| ||12.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
{{vedi anche|Numero p-adico}}
||'''??'''||30|| || || || ||
 
|- align=center style="background:#F5F5F5;"
Un altro degli argomenti principali della [[teoria dei numeri]] è costituito dallo studio dei numeri ''p''-adici e delle loro proprietà. Tali numeri sono definiti nel modo seguente: per ogni primo ''p'' si considera una [[norma (matematica)|norma]] sui [[numero razionale|numeri razionali]] <math>\mathbb{Q}</math> che, valutata su un numero razionale ''q'', assume valori che si avvicinano allo 0 al crescere della massima potenza di ''p'' che divide ''q''. Tale norma è detta "norma ''p''-adica". [[spazio completo|Completando]] il campo dei numeri razionali rispetto alla [[metrica (matematica)|metrica]] indotta da tale norma, si ottiene un campo, indicato con <math>\mathbb{Q}_p</math>, che "estende" i [[numero razionale|numeri razionali]] in un modo diverso dai [[numero reale|numeri reali]]. Gli elementi di tale campo sono detti '''numeri ''p''-adici'''. Tali numeri si possono anche costruire come [[limite proiettivo]] degli anelli <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},~\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},~ \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}\ldots</math>.
| ||13.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] ???
 
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=== Teoria dei gruppi ===
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| ||14.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
I numeri primi hanno un ruolo centrale anche nell'[[algebra astratta|algebra]]. Nella [[teoria dei gruppi]], un [[gruppo (matematica)|gruppo]] in cui ogni elemento ha [[Glossario di teoria dei gruppi#Definizioni di base|ordine]] la potenza di un primo ''p'' è detto ''[[p-gruppo]]''. Se invece l'ordine di ogni elemento è solamente multiplo di ''p'', il gruppo è detto ''primario''. Se il gruppo è [[gruppo finito|finito]], questo avviene per tutti e soli i gruppi la cui [[cardinalità]] è la potenza di un primo; nel caso infinito, invece, per ogni primo ''p'' vi è un unico gruppo di tal tipo (a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]]): il [[gruppo di Prüfer|''p''-gruppo di Prüfer]].
||'''??'''||30|| || || || ||
 
|- align=center style="background:#FFC0E0;"
È noto che i ''p''-gruppi hanno un [[centro di un gruppo|centro]] non banale, e di conseguenza non possono essere [[gruppo semplice|semplici]] (a parte il gruppo con ''p'' elementi); se il gruppo è finito, inoltre, tutti i [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]] intersecano il centro in modo non banale.
| ||15.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
 
||'''??'''||30|| || || || ||
Tutti i gruppi con un numero primo di elementi sono [[gruppo ciclico|ciclici]] e dunque [[gruppo abeliano|abeliani]]; anche ogni gruppo di ordine ''p''<sup>2</sup> è abeliano. Inoltre, ogni gruppo abeliano finito è isomorfo al [[prodotto diretto]] di un numero finito di ''p''-gruppi ciclici.
|- align=center style="background:#FFD0E0;"
 
| ||16.||style="text-align:left;"| [[Immagine:Flag of None.svg|20px]] '''???'''
Il [[teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)|teorema di Cauchy]] afferma che, dato un gruppo di ordine ''n'' e un primo ''p'' che lo divide, esiste un elemento di ordine ''p'', e quindi un [[sottogruppo]] con ''p'' elementi. Tale teorema è generalizzato dai [[teoremi di Sylow]], che garantiscono che in ogni gruppo di ordine ''n'' esiste almeno un sottogruppo di ordine ''p<sup>m</sup>'', per ogni ''p<sup>m</sup>'' che divide ''n''.
||'''??'''||30|| || || || ||
 
=== Teoria degli anelli e teoria dei campi ===
 
Nella [[teoria degli anelli]], la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] di un [[dominio d'integrità]] ''D'' è 0 oppure un numero primo. Per un [[Campo (matematica)|campo]] ''F'', che è un particolare tipo di dominio di integrità, la caratteristica determina il [[Campo (matematica)#Sottocampi e estensione di campi|sottocampo fondamentale]] di ''F'': se essa è diversa da 0, e dunque è un numero primo, allora tale sottocampo è isomorfo al campo delle classi di resto <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>.
 
Si mostra poi che tutti i [[campo finito|campi finiti]] formano uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>, e di conseguenza hanno un numero di elementi che è primo o è una potenza di un primo. Inoltre, due campi con lo stesso numero di elementi sono [[isomorfismo|isomorfi]]; in particolare, ogni campo con un numero primo ''p'' di elementi coincide con <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>, mentre ogni campo con ''p<sup>n</sup>'' elementi è un'[[estensione di Galois]] di un campo con ''p'' elementi.
 
Tra le estensioni dei numeri razionali, un ruolo importante è svolto dalle [[estensione ciclotomica|estensioni ciclotomiche]], ossia da quei campi che si possono ottenere aggiungendo a <math>\mathbb{Q}</math> le [[Radice dell'unità|radici ''n''-esime dell'unità]], per un qualche numero naturale ''n''. Il [[Grado (matematica)|grado]] di queste estensioni è strettamente legato alla primalità di ''n''. Infatti esso è ''n''-1 se e solo se ''n'' è primo. Questo proprietà si dimostra essere equivalente al fatto che il [[polinomio]]
 
:<math>P(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1</math>
 
è [[polinomio irriducibile|irriducibile]] tra i polinomi a coefficienti [[numero razionale|razionali]] se e solo se ''n'' è primo. Per una dimostrazione si può procedere come segue: se ''n'' è composto (ad esempio ''n'' = ''ab'', con ''a'' e ''b'' interi maggiori di 1), lo si può dividere in ''a'' gruppi di ''b'' addendi, arrivando ad una scomposizione. Ad esempio, se ''n''=10, prendendo ''a'' = 2 e ''b'' = 5, ''P''(''x'') si può scomporre come
 
:<math>x^9+x^8+\cdots+x^2+x+1=x^8(x+1)+x^6(x+1)+x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x^8+x^6+x^4+x^2+1)(x+1).</math>
 
Per dimostrare l'inverso, si può usare l'invece il [[criterio di Eisenstein]]. Grazie a questa proprietà risulta inoltre che se ''n'' è primo, allora questo polinomio coincide con l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo [[polinomio ciclotomico]].
 
=== Aritmetica modulare ===
 
Anche nell'[[aritmetica modulare]] i numeri primi svolgono un ruolo molto importante: l'[[anello (algebra)|anello]] <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> delle classi di resto è infatti un [[campo (matematica)|campo]] se e solo se ''n'' è primo. In questo caso lo studio delle classi di resto è più semplice del caso generale, e fornisce un'utile base di partenza per l'analisi delle classi di resto con ''n'' qualunque.
 
Anche l'esistenza di una [[radice primitiva]] dell'anello <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> è legata ai numeri primi: questa infatti esiste solamente se ''n'' è un numero primo, 1, 2, 4 oppure un numero nella forma <math>p^n</math> o <math>2p^n</math>, dove ''p'' è un primo dispari.<ref>Apostol, op. cit., capitolo 10.</ref>
 
Uno dei teoremi più importanti dell'aritmetica modulare è costituito dal [[piccolo teorema di Fermat]]. Tale teorema afferma che, per ogni primo ''p'' e ogni numero naturale ''a'' si ha
 
:<math>a^p\equiv a\mod p.</math>
 
Equivalentemente, per ogni primo ''p'' e ogni intero ''a'' [[interi coprimi|coprimo]] con ''p'', si ha:
 
:<math>a^{p-1}\equiv 1\mod p.</math>
 
Questa proprietà può essere usata per verificare se un numero ''non'' è primo, infatti se ''n'' è tale che
 
:<math>a^{n}\not\equiv a\mod n</math>
 
per qualche intero ''a'', allora ''n'' non può essere primo. Tuttavia questa proprietà non può essere usata per controllare se un numero è primo: esistono infatti alcuni numeri, detti [[numero di Carmichael|numeri di Carmichael]] (il più piccolo dei quali è 561), che verificano questa proprietà per ogni ''a'' pur non essendo primi . Recentemente, nel [[1994]], [[William Robert Alford]], [[Andrew Granville]] e [[Carl Pomerance]] hanno dimostrato che vi sono infiniti numeri di tale tipo.<ref>{{cita pubblicazione | autore = W. R. Alford, A. Granville e C. Pomerance | anno = 1994 | titolo = "There are Infinitely Many Carmichael Numbers." | rivista = Annals of Mathematics | volume = 139 | pagine = 703-722 }}</ref>
 
== Polinomi e progressioni aritmetiche ==
È stato dimostrato da [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] alla fine del [[Settecento]]<ref>Boyer, ''Storia della matematica'', p. 565.</ref> che nessun [[polinomio]] a coefficienti interi può assumere valori soltanto primi: infatti, se esistesse un polinomio ''P''(''n'') di questo tipo, si avrebbe ''P''(1) = p per qualche primo ''p'' e quindi ''P''(1) ≡ 0 mod ''p''. Ma ''P''(1) ≡ ''P''(1+''kp'') mod ''p'' per ogni intero ''k'', e quindi ''P''(1+''kp'') dovrebbe assumere infinite volte il valore ''p'' (perché i multipli di ''p'' non possono essere primi). Tuttavia questo è assurdo, perché nessun polinomio può assumere uno stesso valore un numero di volte maggiore del proprio grado.<ref>{{cita libro|cognome=Stark|nome=Harold|titolo=An introduction to number theory|editore=The MIT Press|città=Cambridge| edizione=10|anno=1998|id=ISBN 0-262-69060-8}}</ref>
 
Alcuni polinomi sembrano assumere valori primi "più spesso" degli altri: ad esempio [[Eulero]] notò che il polinomio di secondo grado <math>n^2+n+41</math> produce numeri primi per ogni valore di ''n'' compreso tra 0 e 39; tuttavia, sebbene circa un terzo dei valori che questa funzione assume nei primi 10 milioni siano primi,<ref>Devlin, ''Dove va la matematica'', p. 73.</ref> non è stato ancora dimostrato che ne esistano infiniti. Più in generale, non c'è alcun polinomio in una sola variabile e di grado maggiore di uno di cui sia stato dimostrato che assume infiniti valori primi. Diversa è la situazione per i polinomi in due variabili: Dirichlet dimostrò che questo avviene per ogni [[forma quadratica]] <math>ax^2+bxy+cy^2</math> (a patto che ''a'', ''b'' e ''c'' siano coprimi e che la forma non sia il quadrato di un polinomio di primo grado),<ref>[[Harold Davenport]], ''Aritmetica superiore'', p. 33.</ref> mentre nel [[1998]] [[John Friedlander]] e [[Henryk Iwaniec]] lo provarono per il polinomio di quarto grado <math>x^2+y^4</math>.<ref>{{en}}{{cita pubblicazione|autore = [[John Friedlander]] e [[Henryk Iwaniec]]|titolo = The polynomial ''X''<sup>2</sup> + ''Y''<sup>4</sup> captures its primes|rivista = Annals of Mathematics|volume = 148|data = 1998|pagine = 945–1040|url = http://www.emis.ams.org/journals/Annals/148_3/fried1.pdf|doi = 10.2307/121034}}</ref>
[[File:Primi=3mod4.svg|thumb|300px|Frazione dei numeri primi [[aritmetica modulare|congrui]] a 3 modulo 4.]]
A differenza di quanto accade per i polinomi di grado più alto, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] dimostrò nel [[1837]] che ogni polinomio di primo grado ''ax''+''b'' assume infiniti valori primi se e solo se ''a'' e ''b'' sono numeri naturali coprimi. Equivalentemente, ogni [[progressione aritmetica]] contiene infiniti numeri primi se e solo se la sua ''ragione'' e il suo primo valore sono coprimi. La prima dimostrazione di questo teorema, detto [[teorema di Dirichlet]], viene considerata la nascita della [[teoria analitica dei numeri]].<ref>Apostol, ''Introduction to Analytic Number Theory'', p. 7.</ref>
 
È noto inoltre che, se ''n'' e ''k'' sono coprimi, il rapporto tra ''M'' e i primi minori di ''M'' che sono congrui a ''k'' [[aritmetica modulare|modulo]] ''n'' tende a <math>1/\phi(n)</math> per ''M'' che tende all'infinito, ovvero i primi tendono a dividersi equamente tra le <math>\phi(n)</math> progressioni di ragione ''n'' che contengono più di un primo.<ref>Apostol, ''Introduction to Analytic Number Theory'', p. 149.</ref>
 
Sebbene non esistano progressioni aritmetiche i cui valori siano soltanto numeri primi, nel [[2004]] è stato dimostrato che esistono progressioni che contengono un numero arbitrariamente grande di termini consecutivi che sono primi ([[teorema di Green-Tao]]).<ref>{{cita pubblicazione | autore = [[Ben Green]] e [[Terence Tao]] | anno = 2008 | titolo = The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions | rivista = [[Annals of Mathematics]] | volume = 167 | pagine = 481-547 | url = http://annals.math.princeton.edu/issues/2008/March2008/GreenTao.pdf | accesso = 23 febbraio 2009}}</ref> Tale risultato è stato migliorato nel [[2006]] per includere anche le progressioni polinomiali; più precisamente è stato dimostrato che, dati e dei polinomi ''P''<sub>1</sub>, ...,''P''<sub>''m''</sub> a coefficienti interi, esistono infiniti interi ''a'' e ''m'' tali che ''a''+''P''<sub>1</sub>(''n''), ..., ''a''+''P''<sub>''m''</sub>(''n'') sono contemporanemanente primi per 1 ≤ ''n'' ≤ ''m''.<ref>{{cita web|autore=[[Terence Tao]] e [[Tamar Ziegler]]|url=http://arXiv.org/abs/math.NT/0610050|titolo=The primes contain arbitrarily long polynomial progressions|accesso=23 febbraio 2009|lingua=en}}</ref>
 
Tali teoremi non sono tuttavia ''costruttivi'', ovvero non permettono di determinare esplicitamente delle progressioni arbitrariamente lunghe. La più lunga sequenza di primi (attualmente conosciuta) che sono termini consecutivi di una progressione aritmetica è composta da 25 numeri.<ref>{{cita web|autore=[[Jens Kruse Andersen]]|url=http://hjem.get2net.dk/jka/math/aprecords.htm|titolo=Primes in Arithmetic Progression Records|accesso=15 agosto 2008|lingua=en}}</ref> È stato anche congetturato che esistano sequenze arbitrariamente lunghe di questo tipo tali che tra due termini della progressione non ci siano altri numeri primi. La più lunga sequenza di primi di questo tipo finora trovata comprende 10 termini.<ref>{{cita pubblicazione | autore = H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann | anno = 2002 | titolo = "Ten consecutive primes in arithmetic progression" | rivista = [[Mathematics of Computation]] | volume = 71 | pagine = 1323-1328 | url = http://www.ams.org/mcom/2002-71-239/S0025-5718-01-01374-6/home.html | accesso = 11 gennaio 2009 }}</ref>
 
Una progressione aritmetica di interesse particolare per la teoria dei numeri primi è quella di ragione 4: si possono infatti separare i primi (a parte 2) in due gruppi, quelli nella forma 4''k''+1 e quelli nella forma 4''k''+3. Il [[teorema di Fermat sulle somme di due quadrati]] asserisce che i primi che possono essere scritti come somma di due [[numero quadrato|quadrati]] sono tutti e soli quelli del primo gruppo. Un'importante riformulazione di questo teorema è che un primo è scomponibile nell'[[anello (algebra)|anello]] degli [[interi di Gauss]] se e solo se è della forma 4''k''+1.
 
== Problemi additivi ==
[[ File:Goldbach-1000000.png |270px|thumb|Il numero di modi con cui un numero ''n'' si può scrivere come somma di due primi per ''n''≤1 000 000]]
Per la loro definizione, i numeri primi sono intrinsecamente legati all'[[Operazione binaria|operazione]] di moltiplicazione. Tuttavia, sono di grande interesse anche alcuni problemi riguardanti loro proprietà [[Addizione|additive]].
 
Il più famoso di questi è senza dubbio la [[congettura di Goldbach|congettura]] proposta da [[Christian Goldbach]] nel [[Settecento]], che afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due primi. La congettura è tuttora indimostrata, ma è facilmente verificabile per gli interi “piccoli”, come ad esempio
:&nbsp; 4 = 2 + 2
:&nbsp; 6 = 3 + 3
:&nbsp; 8 = 3 + 5
:10 = 3 + 7 = 5 + 5
:12 = 5 + 7
:14 = 3 + 11 = 7 + 7,
 
e tramite l'uso di computer è stata controllata anche per tutti gli ''n'' minori di 10<sup>18</sup>.<ref>{{cita web|autore=Tomás Oliveira e Silva|url=http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html|titolo=Goldbach conjecture verification|accesso=23 febbraio 2009|lingua=en}}</ref>
 
Alla congettura di Goldbach ne è legata un'[[congettura debole di Goldbach|altra]], più debole ma anch'essa indimostrata, che afferma che ogni numero dispari è la somma di tre numeri primi.
 
Seppure entrambi i problemi sembrino lontani dall'essere risolti, dalla loro formulazione sono stati fatti molti passi avanti verso una loro dimostrazione. Il primo risultato importante in tale direzione è dovuto a [[Ivan Vinogradov]], che nel [[1939]] dimostrò che la seconda congettura è vera per ogni numero abbastanza grande, mentre [[Olivier Ramaré]] ha provato nel [[1995]] che ogni intero pari è somma di al più sei numeri primi.<ref>O. Ramaré, "On Schnirelmann's constant," ''Ann. Sc. Norm. Super. Pisa'', 22:4 (1995) 645-706.</ref> Due anni dopo, Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev hanno evidenziato un sorprendente legame con l'[[ipotesi di Riemann generalizzata]], provando che essa implica la congettura debole di Goldabach.<ref>{{cita pubblicazione | autore = Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev | anno = 1997 | titolo = "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis" | rivista = Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume = 3 | pagine = 99-104 | url = http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf | accesso = 11 gennaio 2009 }}</ref>
 
Sono noti anche altri risultati, sebbene molto più deboli. Usando il [[postulato di Bertrand]] si può dimostrare che ogni intero maggiore di 6 può essere scritto come somma di primi distinti. Inoltre, se ''p<sub>n</sub>'' è l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo numero primo, allora almeno uno tra ''p<sub>n</sub>'', ''p<sub>n</sub>''-1 e ''p<sub>n</sub>''+1 può essere scritto come
 
:<math>\pm 2\pm 3\pm 5\cdots\pm p_{n-1}</math>
 
scegliendo opportunamente i segni "più" e "meno".
 
Problemi additivi sono considerati anche i già citati [[teorema di Green-Tao]] sulle progressioni aritmetiche e la [[congettura dei primi gemelli]] e la [[congettura di Levy]] che afferma che ogni intero dispari è la somma di un primo e di un [[semiprimo]] pari.
 
== Principali problemi aperti ==
 
Molte congetture riguardanti i numeri primi non sono ancora state dimostrate. La più importante tra queste è senza dubbio l'[[ipotesi di Riemann]], uno dei problemi aperti più importanti di tutta la matematica: era uno dei ventitré [[problemi di Hilbert]], enunciati nel [[1900]], ed essendo ancora insoluto è stato riproposto fra i sette [[problemi per il millennio]] nel [[2000]]. Nella sua formulazione originale, tale ipotesi riguarda il posizionamento degli zeri [[numero complesso|complessi]] della [[funzione zeta di Riemann]], e quindi non è immediatamente chiaro il suo legame con i numeri primi; tuttavia è stato dimostrato che la verità dell'ipotesi di Riemann avrebbe come conseguenza un notevole miglioramento della comprensione della distribuzione asintotica dei numeri primi.
 
Altri due problemi aperti molto famosi sono le già citate congetture di [[congettura di Goldbach|Goldbach]], dei [[congettura dei primi gemelli|primi gemelli]] e di [[congettura di Legendre|Legendre]].
 
Altre congetture riguardano l'esistenza o meno di infiniti numeri primi in una certa forma. Ad esempio si pensa che esistano infiniti numeri primi nelle sequenze ''n<sup>2</sup>''+1{{OEIS|A002496}}, 2<sup>''n''</sup>-1 ([[numero primo di Mersenne|primi di Mersenne]], [[OEIS:000043]]), ''n''!+1 e ''n''!-1 ([[primo fattoriale|primi fattoriali]], sequenze [[OEIS:002981]] e [[OEIS:117141]]), o che esistano infiniti primi nella [[successione di Fibonacci]].<ref>{{cita web|autore=Chris Caldwell|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=FibonacciPrime|titolo=Fibonacci prime |lingua=en}}.</ref> Si congettura invece che gli unici [[numero primo di Fermat|primi di Fermat]], i numeri primi nella forma 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup>+1 siano in corrispondenza di ''n''=0, 1, 2, 3 e 4.
 
== Formule per i numeri primi ==
{{vedi anche|Formula per i numeri primi}}
Una formula per i numeri primi è un'espressione che genera solamente numeri primi. Non sono note formule chiuse (che cioè non fanno ricorso né a [[limite (matematica)|limiti]] né a [[serie (matematica)|serie]] né a sommatorie la cui lunghezza dipenda dal dato iniziale) per trovare tutti i numeri primi fino a ''n'', o anche solo l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo primo; sono state invece trovate alcune formule che generano solo numeri primi, seppure fondamentalmente inutili dal punto di vista pratico. Un esempio è dato dal [[teorema di Mills]] che afferma che esiste una [[costante di Mills|costante θ]] tale che
 
:<math>\lfloor \theta^{3^n}\rfloor</math>
 
è sempre un numero primo. Tuttavia non si conosce nessuna formula chiusa per calcolare la costante di Mills: le approssimazioni attualmente utilizzate si basano sulla sequenza dei cosiddetti primi di Mills (i numeri primi generati tramite questa formula), che non possono essere ricavati rigorosamente, ma solamente in maniera probabilistica, assumendo per vera l'[[ipotesi di Riemann]].<ref>{{cita pubblicazione|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.pdf|titolo=Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem|autore=Chris Caldwell e Yuanyou Cheng|rivista=Journal of Integer Sequences|volume=8|anno=2005|accesso=2009.06.23}}</ref>
 
A seguito della dimostrazione del [[teorema di Matijasevič]], sono stati trovati vari polinomi i cui valori positivi sono sempre numeri primi. Matijasevič dimostrò l'esistenza di un polinomio di 37° grado in 24 incognite, ma senza esplicitarlo; in seguito alcuni di questi sono stati determinati, ma rimangono poco utili per la ricerca di nuovi primi perché hanno diverse variabili e un grado molto elevato, ed inoltre assumono spesso valori negativi.<ref name=littlebook>{{cita libro|url=http://books.google.it/books?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA115&lpg=PA115&dq=matijasevic+primes&&ots=c_pvnaCbjW&sig=QVkBsPv3kVZksNBng-rDu08-qOo&hl=en&ei=zmBASsv9L5mwsgbd5tnMDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1|titolo=The little book of big primes|autore=Paulo Ribenboim|anno=1996|id= ISBN 3-540-97042-8|pagine=116}}</ref>
 
Altre formule si possono costruire attraverso il [[teorema di Wilson]] con l'uso della funzione [[parte intera]], ma anche queste sono sostanzialmente inutilizzabili a causa della loro elevata complessità computazionale.
 
== Aspetti computazionali ==
 
=== Test di primalità ===
{{Vedi anche|Test di primalità}}
 
Un ''test di primalità'' è un [[algoritmo]] che permette di stabilire se un dato numero è primo oppure no. Nella [[teoria della complessità computazionale]], questo problema è a volte denotato come PRIMES, ed è stato dimostarto che appartiene alla [[classe di complessità]] [[P (complessità)|P]].<ref>{{cita web|lingua =en|titolo=PRIMES is in P little FAQ|url=http://www.instantlogic.net/publications/PRIMES%20is%20in%20P%20little%20FAQ.htm|data=22 settembre 2008|accesso=9 dicembre 2008}}</ref>
 
Il più antico e semplice test di primalità è quello di "divisione per tentativi", che consiste nell'applicare direttamente la definizione di numero primo: si prova a dividere il numero ''N'' per tutti i numeri minori di ''N'': se nessuno di questi lo divide, allora il numero è primo. Un semplice miglioramento di questo metodo si ottiene limitando i tentativi di divisione ai numeri primi minori di <math>\sqrt{N}</math>. Sebbene molto semplice da descrivere e da implementare su un calcolatore, tale metodo è poco usato nella pratica, perché richiede tempi di calcolo che aumentano [[Funzione esponenziale|esponenzialmente]] rispetto al numero delle cifre di ''N''. Esso tuttavia fornisce anche i suoi fattori primi (ed è quindi un algoritmo di [[fattorizzazione]]): questo non succede nel caso di algoritmi più sofisticati, che riescono a stabilire se un numero non è primo anche non determinando alcun divisore non banale.
 
Altri algoritmi di primalità piuttosto semplici ma poco utili dal punto di vista pratico sono il test che si può ricavare dal [[crivello di Eratostene]] e i test [[test di Fermat|di Fermat]] e [[test di Wilson|di Wilson]], che si basano rispettivamente sul [[piccolo teorema di Fermat]] e sul [[teorema di Wilson]].
 
Diversi altri algoritmi sono stati sviluppati nel corso del tempo: alcuni di essi si applicano solo a classi particolari di numeri, come ad esempio i [[test di Lucas-Lehmer]] e [[teorema di Proth|di Proth]], che si applicano solo ai [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] e [[numero di Proth|di Proth]] rispettivamente. Altri, come il [[test di Miller-Rabin]], sono [[probabilità|probabilistici]], ovvero danno una risposta certa solo se affermano che il numero ''non'' è primo, mentre se si ottiene come risultato che il numero è primo, allora c'è solo un'''alta'' probabilità che il numero effettivamente lo sia. I numeri che passano uno di questi test, pur senza essere primi, sono detti "[[pseudoprimo|pseudoprimi]]". La classe più famosa di pseudoprimi è quella dei [[numero di Carmichael|numeri di Carmichael]], che verificano il [[piccolo teorema di Fermat]] pur essendo composti.
 
Tra i test di primalità di uso generale, il più usato attualmente è l'[[Algoritmo ECPP|ECPP]], basato sulle [[curva ellittica|curve ellittiche]]; sebbene la sua [[complessità computazionale]] non sia nota, sperimentalmente si osserva che esso è un [[P (complessità)|algoritmo polinomiale]] nel numero delle cifre di ''n''.<ref>{{cita web|lingua=en |url=http://primes.utm.edu/prove/prove4_2.html |editore=The Prime Pages|accesso=9 dicembre 2008|titolo=Elliptic curves and ECPP test}}, da {{cita libro|autore= Lenstra Jr. K., Lenstra, Jr. H. W.|capitolo= Algorithms in number theory. |titolo=Handbook of Theoretical Computer Science Vol A: Algorithms and Complexity|editore= The MIT Press|città= Amsterdam and New York|pagine= 673-715|anno=1990|id= MR 1 127 178}}.</ref> Nel [[2002]], i tre matematici indiani Manindra Agrawal, Neeraj Kayal e Nitin Saxena hanno sviluppato l'[[algoritmo AKS]], il primo test di primalità deterministico con complessità polinomiale, provando dunque che il problema di stabilire se un numero è primo o no sta nella [[classe di complessità]] [[P (complessità)|P]].<ref>{{cita web|lingua=en|url=http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf|autore=Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena|titolo=PRIMES is in P|accesso=23 febbraio 2009}}</ref>
 
=== Algoritmi di fattorizzazione ===
Un programma che ha lo scopo di individuare i fattori primi di un numero è detto ''algoritmo di fattorizzazione''; gli algoritmi di questo tipo possono funzionare anche da test di primalità, ma sono quasi sempre più lenti da eseguire. Dopo il metodo di divisione per tentativi, i più antichi algoritmi di questo tipo sono il [[metodo di fattorizzazione di Fermat|metodo di Fermat]], che si basa sulle differenze tra il numero e dei quadrati, efficace in particolare quando ''N'' è il prodotto di due numeri primi vicini tra loro, e il [[metodo di fattorizzazione di Eulero|metodo di Eulero]], che si basa invece sulla rappresentazione di ''N'' come [[Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati|somma di due quadrati]] in due modi diversi.
 
Più recentemente, gli algoritmi per la fattorizzazione sono stati basati su una gran varietà di tecniche diverse, come le [[frazione continua|frazioni continue]] o le [[curva ellittica|curve ellittiche]], mentre altri, come ad esempio il [[crivello quadratico]], sono basati su miglioramenti del metodo di Fermat. Altri, come il [[metodo rho di Pollard]], sono ''probabilistici'', e non offrono la garanzia che, dato un numero non primo, ne trovino i divisori.
 
Ad oggi il più veloce algoritmo deterministico di impiego generale, ovvero senza necessità di numeri in forma particolare, è il ''[[general number field sieve]]'', che ha complessità esponenziale sul numero di cifre di ''N'';<ref>{{cita web|lingua=en|url=http://mathworld.wolfram.com/NumberFieldSieve.html|autore=Eric W. Weisstein|titolo=Number Field Sieve|accesso=23 febbraio 2009}}</ref> è stato proposto un algoritmo che ha tempo di esecuzione polinomiale nel numero di cifre di ''N'' ([[algoritmo di fattorizzazione di Shor|algoritmo di Shor]]), ma esso richiede di essere eseguito su un [[computer quantistico]], la cui simulazione su un normale calcolatore richiede un tempo esponenziale.
 
==== Impiego nella crittografia ====
{{vedi anche|RSA}}
 
Proprio la difficoltà di fattorizzare grandi numeri ha portato allo sviluppo del primo metodo efficace di [[crittografia a chiave pubblica]], l'[[RSA]]. In questo sistema crittografico, la persona che deve ricevere un messaggio cifrato genera una chiave formata da tre numeri: uno (''n'') è il prodotto di due numeri primi di grandi dimensioni (generalmente si usano numeri dell'ordine di 10<sup>50</sup>), mentre gli altri due (''e'' ed ''f'') verificano la relazione <math>ef\equiv 1\mod \phi(n)</math>, dove <math>\phi</math> è la [[funzione di Eulero]]. Uno tra questi ultimi due numeri deve essere tenuto segreto (e dunque prende il nome di ''chiave privata''), mentre l'altro deve essere reso noto insieme al numero ''n'' (andando a formare la "chiave pubblica").
 
Dopo aver trasformato il messaggio in un numero ''m'' (secondo un codice stabilito in precedenza), la procedura di criptazione e decriptazione consiste nell'elevamento a potenza di ''m'' per il numero tra ''e'' ed ''f'' reso pubblico, prendendone poi il resto nella [[divisione euclidea|divisione]] per ''n''; il [[piccolo teorema di Fermat]] garantisce che dopo quest'operazione si possa ritornare allo stesso numero di partenza conoscendo sia ''e'' che ''f''.
 
Bisogna notare che è possibile, in teoria, ricavare la chiave privata dalle informazioni pubbliche: questo richiede la fattorizzazione del numero ''n'', ed essendo questa un'operazione che richiede molto tempo di calcolo, la trasmissione del messaggio si può considerare sicura se i due primi scelti sono "sufficientemente" grandi.
 
Nel [[1991]] la [[RSA Laboratories]] (l'azienda che ha sfruttato commercialmente l'RSA) ha pubblicato una lista di [[semiprimo|semiprimi]], offrendo dei premi in denaro per la fattorizzazione di alcuni di essi, con lo scopo di provare la sicurezza del metodo e di incoraggiare la ricerca in questo ambito: l'iniziativa è stata chiamata [[RSA Factoring Challenge]]. Nel corso degli anni, diversi di questi numeri sono stati fattorizzati, ma il concorso è terminato nel [[2007]].<ref>{{cita web|lingua=en|url=http://groups.google.com/group/sci.crypt/msg/a20e42af47ec4a12|titolo=Announcement of "RSA Factoring Challenge"|autore=Burt Kaliski|data=18 marzo 1991|accesso=23 febbraio 2009}}</ref><ref>{{en}}[http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2094 RSA Challenge - FAQ].</ref><ref>{{cita web|lingua=en|url=http://mathworld.wolfram.com/RSANumber.html|autore=Eric W. Weisstein|titolo=RSA Number|accesso=23 febbraio 2009}}</ref>
 
=== Numeri primi grandi ===
[[File:Largest known prime number by year.svg|thumb|300px|Il numero di cifre decimali del più grande numero primo conosciuto, dal [[1900]] al [[2008]].]]
 
Già da molti secoli la ricerca di numeri primi "grandi" ha destato l'interesse dei matematici; tuttavia questa ricerca ha assunto una particolare importanza negli ultimi decenni, a causa del bisogno di tali numeri che caratterizza algoritmi quali l'RSA.
 
Il metodo più efficace per ottenere numeri primi grandi risale al diciassettesimo secolo, di tale secolo è infatti la congettura di [[Marin Mersenne]], che affermava che <math>M_n=2^n-1</math> sarebbe stato primo (quando ''n''<257) solo per ''n'' uguale a 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127 e 257.<ref>Du Sautoy, op. cit., p. 78.</ref> La verifica della primalità di tali numeri era molto al di là delle possibilità dell'epoca, ed infatti soltanto nel [[Novecento]] si scoprì che la congettura era falsa e probabilmente fatta "alla cieca", in quanto Mersenne tralasciò tre casi (per ''n'' = 61, 89 e 107) e non si accorse che i numeri corrispondenti a ''n'' = 67 e ''n'' = 257 erano in realtà composti.
 
''M''<sub>127</sub> (un numero di 39 cifre) fu dimostrato essere primo da [[Édouard Lucas]] nel 1876, e rimase il numero primo più grande conosciuto fino al [[1951]], quando usando un calcolatore elettronico fu trovato il primo 180·(2<sup>127</sup>-1)+1, di 79 cifre. Da allora tutti i successivi primi più grandi sono stati scoperti con l'aiuto del computer: dal [[1952]] (quando lo [[SWAC]] dimostrò che ''M''<sub>521</sub> è primo) al [[1996]] essi sono stati trovati da [[supercomputer]], e furono tutti [[primo di Mersenne|primi di Mersenne]] (trovati usando il [[test di Lucas-Lehmer]], un algoritmo specifico per questi numeri) ad eccezione di 391581·2<sup>216193</sup>-1, che detenne il record tra il [[1989]] e il [[1992]].<ref>{{cita web|lingua=en|url=http://primes.utm.edu/notes/by_year.html|autore=Chris Caldwell|titolo=The Largest Known Prime by Year: A Brief History|accesso=23 febbraio 2009}}</ref><ref>Du Sautoy, op. cit., capitolo 9.</ref>
 
In seguito, i dodici nuovi numeri primi più grandi sono stati scoperti attraverso il [[GIMPS]], un progetto di [[calcolo distribuito]] basato anch'esso sul test di Lucas-Lehmer. Il più grande numero primo confermato, scoperto nell'[[agosto]] del [[2008]], è 2<sup>43.112.609</sup>-1, un numero di quasi tredici milioni di cifre.<ref>{{cita web|lingua=en|url=http://mersenne.org/m45and46.htm|titolo=Titanic Primes Raced to Win $100,000 Research Award|accesso=23 febbraio 2009}}</ref> I numeri primi noti più grandi sono numeri primi di Mersenne o altri numeri primi particolari, per i quali si dispone di un test molto efficiente in termini computazionali.
 
La [[Electronic Frontier Foundation]] ha offerto dei premi in denaro per la prima scoperta di numeri primi oltre un certo numero di cifre. I primi due di questi premi, di 50.000 e 100.000 dollari, sono stati assegnati nel [[2000]] e nel [[2008]] per il raggiungimento, rispettivamente, di un milione e di dieci milioni di cifre; il più alto premio attualmente in palio è di 250.000 dollari, per l'arrivo al miliardo di cifre.<ref>{{cita web|lingua=en|url=http://www.eff.org/awards/coop|titolo=EFF Cooperative Computing Awards|accesso=23 febbraio 2009}}</ref><ref>{{cita web|lingua=en|url=http://www.tgdaily.com/content/view/39527/113|titolo=Scoperto un primo di oltre 13 milioni di cifre|accesso=23 febbraio 2009}}</ref>
 
== Generalizzazioni ==
[[File:Gaussian primes.png|thumb|250px|Rappresentazione dei primi di Gauss di norma minore o uguale a 500. I primi di Gauss sono, per definizione, gli elementi tra gli [[intero gaussiano|interi di Gauss]] che sono primi.]]
 
Il concetto di numero primo viene esteso anche in altri campi della matematica.
 
=== Teoria degli anelli ===
 
La definizione di numero primo può essere estesa a qualunque [[dominio d'integrità]]; vi sono generalmente due modi di estendere la definizione, in generale non equivalenti fra loro:
* un elemento è ''irriducibile'' se è un elemento non [[Elemento inverso|invertibile]] che non può essere scritto come il prodotto di due elementi non invertibili;<ref>definizione corrispondente a quella data sopra.</ref>
* un elemento è ''primo'' se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto <math>ab</math>, allora divide <math>a</math> oppure <math>b</math>.<ref>Ad esempio 5 divide <math>45 = 15 \times 3</math> e divide 15, mentre 4, che non è primo, divide <math>84 = 14 \times 6</math>, ma non divide né 14 né 6.</ref>
 
Nell'anello degli [[numero intero|interi]] le due definizioni sono equivalenti, e più in generale sono equivalenti in tutti gli [[anello a fattorizzazione unica|anelli a fattorizzazione unica]].
 
Inoltre, dato un [[anello (algebra)|anello]] ''A'', un [[ideale (matematica)|ideale]] ''I'' di ''A'' è detto "primo" se per ogni coppia ''a'',''b'' di elementi di A tali che <math>ab\in I</math> almeno uno tra ''a'' e ''b'' appartiene a ''I''.
 
Questa definizione è molto vicina a quella degli ordinari numeri primi, tanto che nell'anello <math>\mathbb{Z}</math> gli interi gli ideali primi non nulli sono esattamente (2), (3), (5)..., ovvero quelli generati dai numeri primi (e più in generale, ciò avviene in ogni [[dominio ad ideali principali]]). Lo studio degli ideali primi è un punto centrale nella [[geometria algebrica]] e nella [[teoria dei numeri algebrica]]. Un'importante analogia tra numeri primi e ideali primi è dato dal fatto che nei [[anello di Dedekind|domini di Dedekind]] per gli ideali vale l'analogo del [[teorema fondamentale dell'aritmetica]].<ref>Nei domini di Dedekind ogni ideale proprio non nullo si può scrivere come prodotto di ideali primi e tale scrittura è unica a meno del riordino dei fattori.</ref>
 
=== Teoria dei gruppi ===
Nella [[teoria dei gruppi]], i [[gruppi sporadici]] sono considerati l'equivalente dei numeri primi: si dimostra che ogni gruppo semplice finito può essere [[gruppo ciclico|ciclico]], alternato, uno dei 16 tipi di [[gruppo di Lie|gruppi semplici finiti di Lie]] o uno dei 26 [[gruppi sporadici]].
 
=== Teoria dei nodi ===
{|class="wikitable" style="margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;" align="right"
|[[File:TrefoilKnot-01.png|Trefoil|50 px]] || [[File:PrimeKnot-4-1.png|Figure-8 knot]] || [[File:Knot-cinquefoil-sm.png|Cinquefoil]] || [[File:PrimeKnot-5-2.png]]
|-
| colspan="4" |Alcuni nodi primi
|}
In [[teoria dei nodi]], un [[nodo primo]] è un [[nodo (matematica)|nodo]] non banale che non può essere "scomposto" in due nodi più piccoli. In maniera più precisa, è un nodo che non può essere scritto come [[somma connessa]] di due nodi non banali.
 
Nel [[1949]] [[Horst Schubert]] dimostrò un teorema di fattorizzazione analogo al teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni nodo è ottenibile in modo unico come somma connessa di alcuni nodi primi.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/PrimeKnot.html Su Mathworld].</ref> Per questo motivo, i nodi primi hanno un ruolo centrale nella teoria dei nodi: una loro classificazione è stato da sempre il tema centrale della teoria fin dalla fine del [[XIX secolo]].
 
== Numeri primi in natura ==
 
[[File:530937661 c29fba0c57 b.jpg|thumb| Una ''Magicicada'' con periodo di 17 anni]]
 
Molti numeri compaiono in natura, e quindi è inevitabile che alcuni di essi siano primi. Ci sono tuttavia relativamente pochi esempi di numeri che appaiono in natura perché sono primi: ad esempio, la maggior parte delle [[Asteroidea|stelle marine]] hanno 5 braccia, e 5 è un numero primo; tuttavia non è stato trovato alcun motivo evidente per supporre che questo numero di braccia sia in qualche modo legato alla primalità di 5.<ref>Alcune stelle marine hanno un numero differente di braccia: ad esempio, l<nowiki>'</nowiki>''[[Echinaster luzonicus]]'' ha normalmente sei braccia, mentre la ''[[Luidia senegalensis]]'' ha nove braccia e la ''[[Solaster endeca]]'' può avere anche 20 braccia.</ref> Il motivo per cui la maggior parte delle stelle marine, così come molti altri [[Echinodermata|echinodermi]], hanno una simmetria a 5 braccia rimane un mistero.
 
In [[entomologia]] si trova uno dei casi in cui si suppone che un numero compare proprio perché è primo. È stato infatti notato che alcune specie di [[cicala (insetto)|cicale]] del genere ''[[Magicicada]]'',<ref>{{en}}Goles, E., Schulz, O. e M. Markus (2001). "Prime number selection of cycles in a predator-prey model", Complexity 6(4): 33-38.</ref> che trascorrono la maggior parte delle loro vite come [[larva|larve]], emergono come pupe solo a intervalli di 13 o 17 anni, dopo i quali si riproducono e muoiono dopo poche settimane. Si pensa che il motivo per cui l'intervallo di tempo sia un numero primo di anni è la difficoltà per un predatore di evolversi specializzandosi come predatori delle ''Magicicada'':<ref>{{en}}{{cite journal | author = Paulo R. A. Campos, Viviane M. de Oliveira, Ronaldo Giro e Douglas S. Galvão. | url = http://link.aps.org/abstract/PRL/v93/e098107 | title = Emergence of Prime Numbers as the Result of Evolutionary Strategy | journal = [[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] | volume = 93 | doi = 10.1103/PhysRevLett.93.098107 | year = 2004 | accessdate = 23 febbraio 2009 }}</ref> se infatti questi insetti apparissero dopo un numero non primo di anni, allora tutti i predatori il cui ciclo vitale è un divisore di quel numero sarebbero sicuri di trovare le ''Magicicada''. Se i periodi di questi insetti fossero invece di 14 o 15 anni si stima che dopo due secoli ci sarebbe una popolazione di predatori del 2% più alta.<ref>{{en}}{{cite web |work=[[The Economist]]| url=http://economist.com/PrinterFriendly.cfm?Story_ID=2647052 |title=Invasion of the Brood |date=[[6 maggio]] [[2004]]|accessdate=23 febbraio 2009 }}</ref> Sebbene esile, questo vantaggio evolutivo sembra essere stato sufficiente a selezionare cicale il cui periodo è 13 o 17 anni.
 
== Numeri primi nell'arte e nella letteratura ==
 
I numeri primi hanno influenzato molti artisti e scrittori. Il compositore francese [[Olivier Messiaen]] era ossessionato da tali numeri <ref name= Du_Sautoy > {{cita libro|cognome= Du Sautoy|nome= Marcus|wkautore= Marcus du Sautoy|coautori= |curatore= Michael Emmer|altri= |titolo= Un ''divertissement in prima serata'', in ''Matematica e cultura 2006''|url= http://books.google.it/books?id=GUW8v0u56dYC&printsec=frontcover&source=gbs_summary_r&cad=0|formato= |datadiaccesso= 27 aprile 2008|anno= 2006|editore= Springer|città= |lingua= |id= ISBN 9788847004641|pagine= 201-207 }} </ref> e li utilizzò per creare musica non metrica: in opere come ''[[La Nativité du Seigneur]]'' (1935) o ''[[Quatre études de rythme]]'' (1949-50) impiegò simultaneamente motivi la cui lunghezza è un numero primo per creare ritmi imprevedibili. Secondo Messiaen questo modo di comporre era "ispirato dai movimenti dalla natura, movimenti di durate libere e disuguali".<ref>{{cita libro|titolo=The Messiaen companion|autore=Peter Hill|editore=Amadeus Press|anno=1994|ISBN=ISBN 0-931340-95-0}}.</ref> Anche nel movimento di apertura di un'altra composizione, ''[[Quatuor pour la fin du temps]]'', Messiaen utilizzò i numeri primi. Con l'obbiettivo di dare l'idea dell'eternità, accostò infatti un tema di 17 note ad un tema di 29 note. Essendo primi entrambi i numeri, i temi si ripetono insieme solo dopo 17·29=493 note. La stessa idea è stata utilizzata da [[Jem Finer]] che ha ideato un'installazione sonora che sino al 31 dicembre 2999 suonerà motivi sempre diversi.<ref name= Du_Sautoy />
 
I numeri primi svolgono un ruolo anche in alcuni libri. Ad esempio, nel romanzo di fantascienza ''[[Contact (romanzo)|Contact]]'' di [[Carl Sagan]] (così come nella sua [[Contact (film)|versione cinematografica]]), i numeri primi vengono utilizzati dagli alieni per comunicare; un caso reale di uso dei primi come mezzo di comunicazione è presente nel saggio ''[[L'uomo che scambiò sua moglie per un cappello]]'', del neurologo [[Oliver Sacks]], dove sono descritti due gemelli [[autismo|autistici]] che per parlarsi si scambiano primi molto elevati. Vi sono riferimenti ai numeri primi anche nel romanzo di [[Mark Haddon]] ''[[Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte]]'', in cui la numerazione dei capitoli segue la successione dei primi, e nel romanzo di [[Paolo Giordano (scrittore)|Paolo Giordano]] ''[[La solitudine dei numeri primi]]'', vincitore del [[premio Strega]] nel 2008.
 
Molti film riflettono la fascinazione popolare verso i misteri dei numeri primi e della crittografia, come ad esempio ''[[Cube - Il cubo]]'', ''[[I signori della truffa]]'', ''[[L'amore ha due facce]]'' e ''[[A beautiful mind]]''.
 
== Note ==
{{references|2}}
 
== Bibliografia ==
* {{en}} {{Cita libro| Tom M. | Apostol |wkautore=Tom M. Apostol| Introduction to Analytic Number Theory| 1976 | Apringer-Verlag | New York | id=ISBN 0-387-90163-9|ed=2}}
* {{Cita libro| Carl B. | Boyer | |wkautore = Carl Benjamin Boyer|Storia della matematica|1990 | Mondadori | Milano | id=ISBN 978-88-04-33431-6}}
* {{Cita libro| John H. | Conway |wkautore=John H. Conway | coautori=[[Richard K. Guy]] | Il libro dei numeri| 1999 | Hoepli | Milano | id=ISBN 88-203-2519-5}}
* {{Cita libro| Harold | Davenport | wkautore=Harold Davenport | Aritmetica superiore| 1994 | Zanichelli | Bologna | id=ISBN 88-08-09154-6}}
* {{Cita libro| Keith | Devlin | Dove va la matematica| |wkautore = Keith Devlin| 1994 | Bollati Boringhieri | Torino | id=ISBN 88-339-1182-9}}
* {{Cita libro| Marcus | du Sautoy | wkautore=Marcus du Sautoy| [[L'enigma dei numeri primi]]| 2004 | Rizzoli | Milano | id=ISBN 88-17-00843-5}}
* {{en}} {{Cita libro| Albert Edward | Ingham | wkautore=Albert Edward Ingham|The Distribution of Prime Numbers| 1932 | Cambridge Mathematical Library | New York | id=ISBN 0-521-39789-8}}
* {{en}} {{Cita libro| Leo | Moser | An Introduction to the Theory of Numbers| 2004 | The Trillia Group | West Lafayette (Indiana, USA) | id=ISBN 978-1-931705-01-1 | url=http://www.trillia.com/moser-number.html |formato=PDF |datadiaccesso = 2009-01-29}}
* {{Cita libro| Giulia Maria | Piacentini Cattaneo | Algebra - un approccio algoritmico| 1996 | Decibel-Zanichelli | Padova | id=ISBN 978-88-08-16270-0}}
 
== Voci correlate ==
{{MultiCol}}
;Principali teoremi e congetture sui numeri primi
* [[Congettura dei numeri primi gemelli]]
* [[Congettura di Goldbach]]
* [[Congettura di Opperman]]
* [[Ipotesi di Riemann]]
* [[Reciprocità quadratica|Legge di reciprocità quadratica]]
* [[Numero primo di Mersenne]]
* [[Piccolo teorema di Fermat]]
* [[Postulato di Bertrand]]
* [[Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati|Teorema di Fermat sui primi rappresentabili come somma di due quadrati]]
* [[Teorema dei numeri primi]]
* [[Teorema dell'infinità dei numeri primi]]
* [[Teorema di Mills]]
* [[Teorema di Wilson]]
* [[Test di Fermat]]
* [[Test di Lucas - Lehmer]]
* [[Test di Miller - Rabin]]
{{ColBreak}}
;Numeri primi
* [[Numero omirp]]
* [[Numeri primi cugini]]
* [[Numero primo di Eisenstein]]
* [[Numero primo di Fermat]]
* [[Numero primo di Mersenne]]
* [[Numero primo di Sophie Germain]]
* [[Numeri primi gemelli]]
* [[Numeri primi illegali]]
* [[Numeri primi sexy]]
* [[Primo circolare]]
* [[Primo cubano]]
* [[Primo repunit]]
;Altre
* [[Algoritmi per la generazione dei numeri primi]]
* [[Costante di Copeland-Erdos]]
* [[Criteri di divisibilità]]
* [[Crivello di Eratostene]]
* [[Funzione enumerativa dei primi]]
* [[Intero gaussiano]]
* [[Ipotesi di Riemann]]
* [[Spirale di Ulam]]
{{EndMultiCol}}
 
== Altri progetti ==
{{interprogetto|q|q_preposizione=sui|etichetta=numeri primi|commons=Category:Prime numbers}}
{{interprogetto/notizia|Scoperti i due nuovi numeri primi più grandi a distanza di pochi giorni|data=18 settembre 2008}}
{{Interprogetto/notizia|Intervista a Marcus du Sautoy|data=4 ottobre 2007}}
 
== Collegamenti esterni ==
* {{mathworld|PrimeNumber|Articolo sui numeri primi}}
* {{it}} [http://matematica.uni-bocconi.it/LangZac/primi.htm Cosa sono i numeri primi (spiega perché 1 non viene considerato primo)]
* {{it}} [http://ulisse.sissa.it/biblioteca/saggio/2006/Ubib060301s001/at_download/file/Ubib060301s001.pdf Il mistero dei numeri primi e la sicurezza informatica]
* {{en}} [http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Test interattivo di primalità e fattorizzazione di grandi numeri col metodo delle curve ellittiche]
* {{en}} [http://www.utm.edu/research/primes/ The Prime Pages]
* {{en}} [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ Istituto Clay di matematica - premio per l'ipotesi di Riemann]
* {{en}} [http://ardoino.com/7-maths-openssl-primes-random/ Generatore di numeri primi random di grandi dimensioni (programma in C basato sul OpenSSL)]
* {{en}} [http://alumnus.caltech.edu/~chamness/prime.html Generatore di numeri primi online.]
 
==Fonti e bibliografia==
{{algebra}}
*Annuario [[1977]]-[[1978|78]] della [[FIGC|F.I.G.C.]] conservato presso:<br>
{{Portale|matematica}}
1 - [http://scuoladellosport.coni.it/index.php?id=20 C.O.N.I. Biblioteca dello Sport];<br>
2 -[http://www.bncrm.librari.beniculturali.it/ita/online/fsopac.htm Biblioteca Nazionale Centrale di Roma];<br>
3 - tutti i Comitati Regionali della [[FIGC|F.I.G.C.]] Lega Nazionale Dilettanti;<br>
4 - [[Lega Calcio|Lega Professionisti]] a Milano.
 
* [http://www.sspachinocalcio.it/Home/almanacco/classifiche/stagione_77-78.jpg Classifica Pachino 1977-78]
[[Categoria:Numeri primi]]
[[Categoria:Matematica di base]]
 
{{LinkPromozione AdQ|rustorico}}
{{Portale|calcio|Italia}}
{{Link AdQ|lmo}}
 
[[Categoria:Campionato di calcio italiano Promozione]]
[[af:Priemgetal]]
[[an:Numero primero]]
[[ang:Frumtæl]]
[[ar:عدد أولي]]
[[arz:عدد أولي]]
[[az:Sadə ədəd]]
[[bat-smg:Pėrmėnis skaitlios]]
[[be-x-old:Просты лік]]
[[bg:Просто число]]
[[bn:মৌলিক সংখ্যা]]
[[br:Niveroù kentael]]
[[bs:Prost broj]]
[[ca:Nombre primer]]
[[cs:Prvočíslo]]
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[[de:Primzahl]]
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[[en:Prime number]]
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[[es:Número primo]]
[[et:Algarv]]
[[eu:Zenbaki lehen]]
[[fa:عدد اول]]
[[fi:Alkuluku]]
[[fr:Nombre premier]]
[[ga:Uimhir phríomha]]
[[gl:Número primo]]
[[haw:Helu kumu]]
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[[hr:Prost broj]]
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[[id:Bilangan prima]]
[[is:Frumtala (stærðfræði)]]
[[ja:素数]]
[[ka:მარტივი რიცხვი]]
[[ko:소수 (수론)]]
[[la:Numerus primus]]
[[lb:Primzuel]]
[[lmo:Nümar primm]]
[[lt:Pirminis skaičius]]
[[lv:Pirmskaitlis]]
[[ml:അഭാജ്യസംഖ്യ]]
[[mn:Энгийн тоо]]
[[ms:Nombor perdana]]
[[nds:Primtall]]
[[nl:Priemgetal]]
[[nn:Primtal]]
[[no:Primtall]]
[[pl:Liczby pierwsze]]
[[pms:Nùmer prim]]
[[pt:Número primo]]
[[ro:Număr prim]]
[[ru:Простое число]]
[[scn:Nùmmuru primu]]
[[si:ප්‍රථමික සංඛ්‍යා]]
[[simple:Prime number]]
[[sk:Prvočíslo]]
[[sl:Praštevilo]]
[[sq:Numri i thjeshtë]]
[[sr:Прост број]]
[[sv:Primtal]]
[[sw:Namba tasa]]
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[[ta:பகா எண்]]
[[th:จำนวนเฉพาะ]]
[[tr:Asal sayılar]]
[[uk:Просте число]]
[[ur:اولی عدد]]
[[uz:Tub son]]
[[vi:Số nguyên tố]]
[[vls:Priemgetal]]
[[war:Primo nga ihap]]
[[yi:פרימצאל]]
[[yo:Nọ́mbà àkọ́kọ́]]
[[zh:素数]]
[[zh-min-nan:Sò͘-sò͘]]
[[zh-yue:質數]]