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--[[Utente:Unit|Unit]] ([[Discussioni utente:Unit|msg]])In [[analisi funzionale]], un '''operatore unitario''' è un [[operatore lineare]] ''U'' su uno [[spazio di Hilbert]] che soddisfa le seguenti richieste:
L' '''operatore densità''', o '''matrice densità''', è utilizzato in [[Meccanica quantistica]] per descrivere lo stato statistico di un [[sistema quantistico]]. Il formalismo venne introdotto da [[John von Neumann]] (altre fonti sostengono che venne introdotto indipendentemente anche da [[Lev Landau]] e [[Felix Bloch]] ) nel 1927.
E' l'analogo quantistico della [[distribuzione di probabilità]] nello [[spazio delle fasi]] in [[meccanica classica]].
La necessità di una descrizione statistica emerge perchè non è possibile descrivere un sistema quantistico che sia sottoposto ad una generica [[operazione quantistica]], come ad esempio una [[misura]], usando esclusivamente stati rappresentati da [[notazione bra-ket|vettori ket]].
:''U*U=UU*=I''
Un sistema in generale è detto essere in uno [[stato misto]], eccetto nel caso lo stato non sia riducibile ad una [[combinazione convessa]] di altri stati. In questo caso lo stato è detto [[stato puro]].
:Il dominio di U coincide con l'intero spazio di Hilbert
La proprietà è euqivalente a una qualunque delle seguenti:
Situazioni tipiche in cui un operatore densità è richiesto includono: uno stato quantistico in equilibrio termico ( a temperature finite) e nel caso di [[entanglement quantistico| entanglement]] tra due sistemi, in tal caso ogni sistema è in uno stato misto anche se lo stato del sistema complessivo può essere puro. Si veda [[meccanica statistica quantistica]].
* ''U'' è una [[isometria]] [[suriettiva]]
== Formalismo ==
* ''U'' è [[suriettiva]] e preserva il [[prodotto interno]] sullo spazio di Hilbert, così che per tutti i [[Vettore (matematica)|vettori]] ''x'' e ''y'' dello spazio di hilbert vale
L'operatore densità, comunemente chiamato ρ, è un operatore sullo [[Spazio di Hilbert]] del sistema in questione. Nel caso speciale di uno stato puro è dato dall'[[operatore di proiezione]] dello stato. Per uno stato misto , dove il sistema è nello stato <math> |\psi_j \rang </math> con probabilità p<sub>j</sub>, l'operatore densità è la somma dei proiettori, pesata con le appropriate probabilità:
:<math> \rholangle =Ux, Uy \sum_jrangle p_j= |\psi_jlangle \rangx, \langy \psi_j| rangle.</math>
== Esempi ==
L'operatore densità è utilizzato per calcolare i [[valore di aspettazione|valori di aspettazione]] di ogni osservabile A del sistema, mediato su tutti i differenti stati <math> |\psi_j \rang </math>. Come si può vedere l'operazione è equivalente a prendere la traccia del prodotto tra ρ e A:
''Ogni matrice unitaria è un operatore unitario ''
:<math> \operatorname{tr}[\rho A]=\sum_j p_j \lang \psi_j|A|\psi_j \rang </math>
Le probabilità p<sub>j</sub> sono non-negative e normalizzate. Per l'operatore densità questo significa che ρ è un [[operatore positivo]] e che la traccia di ρ è uguale a uno.
In [[functional analysis]], a '''unitary operator''' is a [[bounded linear operator]] ''U'' on a [[Hilbert space]] satisfying
== Formulazione in termini di algebre C* ==
:''U*U=UU*=I''
E' ora in generale accettato che la descrizione della meccanica quantistica in cui tutti gli [[operatore autoaggiunto | operatori autoaggiunti]] rappresentino osservabili non è mantenibile.
Gli osservabili sono oggi identificati con elementi di un'astratta [[algebra C*]] ''A'' e gli stati vengono rappresentati da [[funzionale| funzionali]] positivi su ''A''. In questo formalismo gli stati puri sono gli [[estremale| estremali]] dell'insieme confvesso degli stati. Si noti che attraverso la [[costruzione GNS]] è possibile recuperare lo spazio di Hilbert che realizza ''A'' come un'algebra di operatori.
where ''I'' is the [[identity]] operator. This property is equivalent to any of the following:
[[de:Dichtematrix]]
[[en:Density matrix]]
* ''U'' is a [[surjective]] [[isometry]]
* ''U'' is [[surjective]] and preserves the [[inner product]] on the Hilbert space, so that for all [[vector]]s ''x'' and ''y'' in the Hilbert space,
:<math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle. t= p \cdot x'</math>
[[Unitary matrix|Unitary matrices]] are precisely the unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces, so the notion of a unitary operator is a generalisation of the notion of a unitary matrix.
Unitary operators implement [[isomorphism]]s between [[operator algebra]]s.
--[[Utente:Unit|Unit]] ([[Discussioni utente:Unit|msg]]) --[[Utente:Unit|Unit]] ([[Discussioni utente:Unit|msg]]) 22:21, 8 gen 2012 (CET) --22:21, 8 gen 2012 (CET)
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