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= [[Estensione intera]] (redirect [[Elemento intero]]) =

<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span></nowiki>

In [[algebra]], un'''estensione intera''' di un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello unitario|unitario]] è un'[[estensione di anelli]] <math>A\subseteq B</math> tale che ogni elemento di ''B'' è '''intero''' su ''A'', ovvero tale che ogni elemento di ''B'' è radice di un [[polinomio]] monico a coefficienti in ''A''.

;Da creare

*[[Modulo semplice]] (serve?)

*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)

*[[Dominio di Bézout]] (poco...)

*[[Primo minimale]]

*[[Primo associato]]

*[[Gruppo abeliano libero]]?

;Possibilità

Rappresenta una generalizzazione del concetto di [[estensione algebrica]] di [[campo (matematica)|campi]]: se ''A'' è un campo, le estensioni intere sono infatti le estensione algebriche (dal momento che ogni polinomio può essere reso monico).

*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])

*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?

*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])

= [[Lemma di Hensel]] =

== Definizioni ==

In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].

Data un'estensione di anelli <math>A\subseteq B</math>, un elemento ''b'' di ''B'' è detto '''intero''' se esiste un polinomio monico <math>P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> se <math>P(b)=0</math>. Condizioni equivalenti a questa sono:

*''A''[''b''] è un ''A''-[[modulo (struttura)|modulo]] finitamente generato;

*''A''[''b''] è contenuto in un sottoanello ''C'' di ''B'' che è un ''A''-modulo finitamente generato;

*esiste un ''A''[''b'']-modulo [[modulo fedele|fedele]] che è finitamente generato come ''A''-modulo.

Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].

In particolare, se ''A'' è un campo, gli ''A''-moduli finitamente generati sono gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] di dimensione finita: e gli elementi che generano spazi vettoriali di dimensione finita sono esattamente gli [[elemento algebrico|elementi algebrici]] su ''A''.

== Enunciato ==

L'insieme degli elementi di ''B'' interi su ''A'' forma un [[anello (algebra)|anello]], detto [[chiusura integrale]] di ''A'' in ''B''; se questa coincide con ''B'', ovvero se tutti gli elementi di ''B'' sono interi su ''A'', l'estensione è detta '''intera'''.

= <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[TeoremiIntroduzione disulle Cohen-Seidenberg]]</span><sup>[Ripensarevarie nomeforme?]</supspan> =

Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].

== Proprietà basilari ==

Come le [[estensioni algebriche]], le estensioni intere sono transitive: ovvero, se <math>A\subseteq B</math> e <math>B\subseteq C</math> sono estensioni intere, allora anche <math>A\subseteq C</math> è intera; in particolare, la chiusura integrale di ''A'' in ''B'' è il più grande sottoanello di ''B'' che è intero su ''A''.

A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[derivata formale]] di <math>f</math>)</span>^[dove?]

Le estensioni intere inoltre si conservano attraverso quozienti e localizzazioni: più precisamente

*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;

*se <math>A\subseteq B</math> è intera, ''J'' un [[ideale (matematica)|ideale]] di ''B'' e <math>I=J\cap A</math> (che è un ideale di ''A''), allora l'estensione <math>\frac{A}{I}\subseteq \frac{B}{J}</math> è intera;

*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;

*se ''S'' è una [[parte moltiplicativa]] di ''A'' allora l'estensione <math>S^{-1}A\subseteq S^{-1}B</math> è intera.

*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span>^{[vero anche per completi generici o solo per DVR?]} Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].^[ref]

== Ideali primi ==

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le estensioni intere si "comportano bene" nel trasferire [[ideale primo|ideali primi]] da ''A'' a ''B''.</span>^[mah]

Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span>^{[manca a_0]}

La prima proprietà riguarda gli [[ideale massimale|ideali massimali]]: un ideale primo ''Q'' di ''B'' è massimale se e solo se <math>Q\subseteq A</math> è un ideale massimale di ''A''. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Questo deriva dal fatto che un'estensione intera preserva i campi...</span>^{[prima, dopo, durante...]}

== Conseguenze ==

Vi sono tre teoremi generali che riguardano il comportamento degli ideali primi in un'estensione intera <mat>A\subseteq B</math>.

Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.

Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.

Il primo è il ''teorema del lying-over'': per ogni ideale primo ''P'' di ''A'' esiste un ideale primo ''Q'' di ''B'' tale che <math>Q\cap A=P</math>; su questa base si innesta il ''teorema del going-up'' (o ''primo teorema di Cohen-Seidenberg''), il quale afferma che, se ''P''₁ e ''P''₂ sono ideali primi di ''A'', l'uno contenuto nell'altro, e ''Q''₁ è un'ideale primo di ''B'' che si contrae a ''P''₁, allora esiste un ideale primo ''Q''₂, che contiene ''Q''₁, che si contrae a ''P''₂: ovvero è sempre possibile "sollevare" una catena ascendente di ideali primi di ''A'' ad una catena di ideali primi di ''B''.

== Bibliografia ==

Il ''teorema di incomparabilità'' afferma che questo sollevamento è, in un certo senso, unico: due ideali primi di ''B'' che si contraggono allo stesso ideale primo di ''A'' non possono essere contenuti l'uno nell'altro. Insieme al teorema del going-up, questo permette di affermare che le estensioni intere preservano la [[dimensione di Krull]], ovvero che ''A'' e ''B'' hanno la stessa dimensione.

*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma

*Lang - II forma

*Matsumura?

*Eisenbud?

*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf

{{portale|matematica}}

Simile al teorema del going-up è il ''teorema del going-down'' (o ''secondo teorema di Cohen-Seidenerg''), che riguarda le catene discendenti anziché quelle ascendenti: se <math>P_1\subseteq P_2</math> sono ideali primi di ''A'' e ''Q''₂ è un ideale primo di ''B'' che si contrae a ''P''₂, allora esiste un ideale primo ''Q''₁, contenuto in ''Q''₂, che si contrae a ''P''₁. Questo è tuttavia meno generale del precedente, in quanto richiede che ''A'' sia un [[dominio d'integrità]] e che sia integralmente chiuso nel suo [[campo dei quozienti]].

[[:d:Q1424496]]

<span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span>

= <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[Teoremi di Cohen-Seidenberg]]</span>^{[Ripensare nome?]} =

In [[algebra]], i due '''teoremi di Cohen-Seidenberg''', noti anche come '''teorema del going-up''' (il primo) e '''teorema del going-down''' (il secondo) sono due [[teorema|teoremi]] <span style="background:#ffffaa; color:#444444">che esprimono alcune proprietà del comportamento degli [[ideale primo|ideali primi]] in un'[[estensione intera]] di [[anello (algebra)|anelli]] [[anello commutativo|commutativi]].</span>^[mah...]

Sono stati dimostrati da [[Irving S. Cohen]] e [[Abraham Seidenberg]].

[[:en:Going up and going down]]

<nowiki>[[Categoria:Algebra commutativa]]</nowiki>