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__NOINDEX__
= <nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[Teoria della fattorizzazione]]</span><sup>[?!]</sup> =</nowiki>
;Da creare
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Primo minimale]]
*[[Primo associato]]
*[[Gruppo abeliano libero]]?
;Possibilità
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Commutativo, integro, unitario: esempio non commutativo (Bolker). (<u>Cercare fonti</u>, cercare meglio se è diffusa)</span>
*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])
*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?
*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
= [[Lemma di Hensel]] =
== Definizioni fondamentali ==
In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].
Alcune definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che ''a'' divide ''b'' se esiste un ''c'' tale che ''ab'' = ''c''. Un [[elemento invertibile]] di ''A'' è detto ''unità'' dell'anello; due elementi ''a'' e ''b'' sono detti ''associati'' se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se <math>a=ub</math>, dove ''u'' è un'unità dell'anello.
Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].
Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai [[numero primo|numeri primi]] tra gli interi; in questo caso esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:
* un elemento è ''irriducibile'' se non è invertibile e non può essere scritto come il prodotto di due elementi anch'essi non invertibili;
* un elemento è ''primo'' se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto ''ab'', allora divide ''a'' oppure ''b'' (equivalentemente, se l'[[ideale principale]] che genera è [[ideale primo|primo]]).
In generale queste due definizioni non sono equivalenti: tuttavia ogni elemento primo è irriducibile. Una ''fattorizzazione in irriducibili'' è la scrittura di un elemento ''x'' come prodotto di elementi irriducibili; analogamente si definisce una fattorizzazione in primi.
== Enunciato ==
== Fattorizzazione unica e proprietà più forti ==
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Introduzione sulle varie forme?</span>
Una volta stabilito in quali elementi fattorizzare, si può definire quando due fattorizzazioni sono da considerarsi "la stessa": ad esempio le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=yx</math> sono, a tutti gli effetti pratici, indistinguibili; ovvero una fattorizzazione non deve tener conto dell'ordine con cui si considerano i fattori. Un'altra ambiguità si ha a causa dell'eventuale presenza di unità diverse da 1: da esempio, se <math>uv=1</math>, allora le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=(ux)(vy)</math>, pur coinvolgendo elementi diversi, si comportano allo stesso modo riguardo, ad esempio, alla divisibilità: quindi si può ammettere anche che gli irriducibili (o i primi) siano uguali a meno di moltiplicazione per un'unità. Nell'insieme dei [[numero intero|numeri interi]], le unità sono 1 e -1, e quindi quest'ultima condizione può essere omessa imponendo che gli irriducibili siano positivi; in un anello generico, tuttavia, non è possibile operare in questo modo.
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].
Si dice quindi che due fattorizzazioni <math>a=x_1\cdots x_n</math> e <math>a=y_1\cdots y_m</math> sono uguali se ''n'' = ''m'' e se, a meno di riordinare i fattori, ''x<sub>k</sub>'' e ''y<sub>k</sub>'' sono associati per ogni ''k''.
A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[derivata formale]] di <math>f</math>)</span><sup>[dove?]</sup>
Mentre è possibile che esistano più fattorizzazioni in elementi irriducibili, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi primi garantisce la sua unicità: infatti, se
*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;
:<math>p_1\cdots p_n=q_1\cdots q_m</math>
*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;
sono due fattorizzazioni, ''p<sub>1</sub>'' divide il prodotto a destra, e quindi deve dividere uno dei ''q<sub>i</sub>''; poiché anche i fattori a destra sono primi, ''p<sub>1</sub>'' e ''q<sub>i</sub>'' sono associati, e quindi possono essere semplificati, iterando il ragionamento.
*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span><sup>[vero anche per completi generici o solo per DVR?]</sup> Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].<sup>[ref]</sup>
Un ''dominio a fattorizzazione unica'' (in breve UFD, dall'inglese ''unique factorization ___domain'') è un dominio in cui ogni elemento ha una fattorizzazione in irriducibili, e quest'ultima è unica. In questo caso, gli elementi irriducibili e i primi coincidono; in effetti, ''A'' è un UFD se e solo se ogni elemento può essere fattorizzato in irriducibili e ogni irriducibile è primo, e se e solo se ogni elemento ha una fattorizzazione in primi. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Un'altra caratterizzazione si ottiene per mezzo degli [[ideale primo|ideali primi]]: ''A'' è un UFD se e solo se ogni ideale primo contiene un elemento primo.</span><sup>[serve qui?]</sup>
Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span><sup>[manca a_0]</sup>
Ogni [[dominio ad ideali principali]] è a fattorizzazione unica; inoltre, un UFD di [[dimensione di Krull|dimensione]] 1 è ad ideali principali. Una proprietà ancora più forte è l'essere un [[dominio euclideo]], in cui può essere effettuata la [[divisione euclidea|divisione col resto]].
== EsistenzaConseguenze ==
Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.
I domini in cui è possibile effettuare la fattorizzazione in irriducibili di ogni elemento sono detti ''atomici''; una proprietà leggermente più forte è quella per cui gli [[ideale principale|ideali principali]] verificano la [[condizione della catena ascendente]]. Quest'ultima proprietà, benché meno generale, è però più stabile dell'essere un dominio atomico: ad esempio si conserva passando all'[[anello dei polinomi]] e a quello delle [[serie formale|serie formali]], al contrario dell'essere un dominio atomico.
Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.
I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i [[anello noetheriano|anelli noetheriani]] e i [[dominio di Krull|domini di Krull]], ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle [[funzione intera|funzioni olomorfe sull'intero piano complesso]] non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma <math>x-a</math>, e quindi una funzione ''f''(''x'') ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione [[seno (matematica)|seno]]) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche di passaggio al [[limite (matematica)|limite]]; tale risultato è noto come [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]]. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]] non noetheriani.
== Bibliografia ==
All'estremo opposto, esistono domini (che non siano [[campo (matematica)|campi]]) in cui non esiste alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli [[intero algebrico|interi algebrici]] non è un campo, ma ogni <math>\alpha</math> può essere fattorizzato come <math>\alpha=\sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\alpha}</math>, in quanto anche <math>\sqrt{\alpha}</math> è un intero algebrico.
*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma
*Lang - II forma
*Matsumura?
*Eisenbud?
*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf
{{portale|matematica}}
== MCD & co. ==
[[:d:Q1424496]]
Un ''[[massimo comun divisore]]'' tra ''a'' e ''b'' è un elemento ''d'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un [[minimo comune multiplo]] è un multiplo di ''a'' e ''b'' che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è vero che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''<sup>2</sup> e ''X''<sup>3</sup> hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzarli è attraverso gli ideali principali: ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di ''a'' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]]. Equivalentemente, un dominio di Bézout è un dominio in cui ogni ideale finitamente generato è principale.
Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due <span style="background:#ffffaa; color:#444444">caratteristiche</span><sup>[?]</sup> degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del [[lemma di Euclide]]; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).
== Miscellanea ==
In ideali primi: Dedekind; decomposizione primaria come forma più debole?
Fallisce in parte: HFD, gruppo di Picard
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