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= <nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[Teoria della fattorizzazione]], [[Fattorizzazione (teoria degli anelli)]]</span><sup>[?!]</sup> =</nowiki>
;Da creare
Nella [[teoria degli anelli]], la '''fattorizzazione''' è la scomposizione degli elementi di un [[anello (algebra)|anello]] in altri elementi considerati "basilari", analogamente alla [[fattorizzazione]] dei [[numero intero|numeri interi]] in [[numero primo|numeri primi]] o alla [[Scomposizione dei polinomi|scomposizione]] dei [[polinomio|polinomi]] in [[polinomio irriducibile|polinomi irriducibili]].
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Primo minimale]]
*[[Primo associato]]
*[[Gruppo abeliano libero]]?
;Possibilità
Per ottenere una "buona" teoria della fattorizzazione, si considerano in genere solo anelli [[anello commutativo|commutativi]], [[anello unitario|unitari]] e privi di divisori dello zero (ovvero [[dominio d'integrità|domini d'integrità]]). Queste ipotesi, in particolare la commutatività, non sono tuttavia assolute: ad esempio, [[Adolf Hurwitz]] usò una forma di fattorizzazione unica nell'anello non commutativo dei [[quaternioni]] a coefficienti interi o [[semidispari]] (detti [[Quaternione di Hurwitz|quaternioni di Hurwitz]]) per dimostrare il [[teorema dei quattro quadrati]] in modo analogo alla dimostrazione del [[teorema di Fermat sulle somme di due quadrati]] attraverso gli [[intero gaussiano|interi gaussiani]].<ref name=bolker>{{cita libro|autore=Ethan D. Bolker|titolo=Elementary Number Theory. An Algebraic Approach|editore=Dover Publications|città=Mineola|anno=2007|id=ISBN 0-486-45807-5|pagine=127-133}}</ref>
*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])
*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?
*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
= [[Lemma di Hensel]] =
== Origini ==
In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].
La prima dimostrazione esplicita del [[teorema fondamentale dell'aritmetica]], ovvero che l'insieme dei [[numero intero|numeri interi]] è a fattorizzazione unica, si deve a [[Carl Friederich Gauss]], che la inserì nelle ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'', pubblicate nel 1798.<ref>{{Cita libro| autore= [[Carl Benjamin Boyer]]|titolo=Storia della matematica|anno=1990 |editore=Mondadori |città= Milano | id=ISBN 978-88-04-33431-6|cid=Boyer|pagine=582}}</ref> Questa proprietà era però già nota ai matematici precedenti: [[Euclide]] dimostra negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' che ogni numero può essere scritto come prodotto di numeri primi e quello che oggi è noto come [[lemma di Euclide]] (Libro VII, proposizioni 30 e 31), risultati dai quali si ricava facilmente la proprietà di fattorizzazione unica.
Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].
Nel Settecento, per dimostrare l'[[ultimo teorema di Fermat]] (che afferma che l'[[equazione diofantea]] <math>x^n+y^n=z^n</math> non ha soluzioni intere per ''x'', ''y'' e ''z'' diversi da 0 e ''n'' > 2), [[Eulero]] usò alcune proprietà che, viste retrospettivamente, si basano sul fatto che alcuni anelli di [[intero algebrico|interi algebrici]] possiedono la proprietà di fattorizzazione unica; i suoi metodi furono ampliati e generalizzati nell'Ottocento. Nel 1847, [[Gabriel Lamé]] annunciò di star lavorando su una dimostrazione generale, che si basava sulla scomposizione (valida per ''n'' dispari)
:<math>x^n+y^n=(x+y)(x+\xi y)(x+\xi^2 y)\cdots(x+\xi^{n-1}y)</math>
dove <math>\xi</math> è una [[radice dell'unità]] ''n''-esima primitiva. Supponendo che esista una soluzione dell'equazione, poiché ''z<sup>n</sup>'' è una potenza ''n''-esima e i fattori a destra sono tutti coprimi, ne deduceva che ognuno era una potenza ''n''-esima. [[Joseph Liouville]] fece tuttavia notare che questo risultato dipendeva dal fatto che l'anello <math>\mathbb{Z}[\xi_n]</math> era a fattorizzazione unica, mentre già tre anni prima [[Ernst Kummer]] aveva fatto notare che questa proprietà falliva per ''n'' = 23.<ref>{{cita|Stewartall|Sterwart, Tall|p.183-186}}</ref> Kummer stesso sviluppò nuovi metodi, che permettevano di aggirare il problema per molti esponenti (quelli che chiamò [[primo regolare|primi regolari]]); le sue idee, nella forma che poi le diede [[Richard Dedekind]], formarono la base del concetto di [[ideale (matematica)|ideale]] e dello studio degli [[anello (algebra)|anelli]].
== Enunciato ==
== Definizioni fondamentali ==
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Introduzione sulle varie forme?</span>
Tutti gli anelli considerati, a meno di specificazioni, sono [[dominio d'integrità|domini d'integrità]].
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].
Le definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che ''a'' divide ''b'' se esiste un ''c'' tale che ''ab'' = ''c''; in tal caso si scrive ''a''|''b''. Le proprietà fondamentali della divisibilità in <math>\mathbb{Z}</math> continuano a valere:
* se ''a''|''b'' e ''b''|''c'', allora ''a''|''c'';
* se ''a'' divide ''b'', allora ''a'' divide ogni multiplo di ''b'';
* se ''a'' divide due elementi, allora ''a'' divide anche la loro somma e la loro differenza.
A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[derivata formale]] di <math>f</math>)</span><sup>[dove?]</sup>
Un [[elemento invertibile]] di ''A'' (ovvero un divisore di 1) è detto ''unità'' dell'anello; due elementi ''a'' e ''b'' sono detti ''associati'' se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se <math>a=ub</math>, dove ''u'' è un'unità dell'anello.
*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;
*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;
*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span><sup>[vero anche per completi generici o solo per DVR?]</sup> Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].<sup>[ref]</sup>
Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai [[numero primo|numeri primi]] tra gli interi; esistono due modi diversi di estendere la definizione:
* un elemento è ''irriducibile'' se non è invertibile e non può essere scritto come il prodotto di due elementi anch'essi non invertibili;
* un elemento è ''primo'' se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto ''ab'', allora divide ''a'' oppure ''b''.
In generale queste due definizioni non sono equivalenti, ma ogni elemento primo è irriducibile. Una ''fattorizzazione in irriducibili'' è la scrittura di un elemento ''x'' come prodotto di elementi irriducibili; analogamente si definisce una fattorizzazione in primi.
Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span><sup>[manca a_0]</sup>
Un ''[[massimo comun divisore]]'' tra ''a'' e ''b'' è un elemento ''d'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un [[minimo comune multiplo]] è un multiplo di ''a'' e ''b'' che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è detto che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo ma, se esistono, sono unici a meno di associati; se hanno quest'ultimo, hanno però anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''<sup>2</sup> e ''X''<sup>3</sup> hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Quando il massimo comun divisore di ''a'' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]].
== Conseguenze ==
Queste proprietà possono essere tradotte in termini di [[ideale principale|ideali principali]]: ''a'' divide ''b'' se e solo se l'ideale (''a'') contiene l'ideale (''b''), mentre ''a'' e ''b'' sono associati se generano lo stesso ideale; un elemento è invertibile se l'ideale generato è l'intero anello. Un elemento è primo se e solo se l'ideale che genera è un [[ideale primo]], mentre è irriducibile se non è contenuto propriamente in alcun ideale principale non banale. Due elementi ''a'' e ''b'' hanno un minimo comune multiplo se l'intersezione <math>(a)\cap(b)</math> è principale, e, in tal caso, il suo generatore è un minimo comune multiplo; di conseguenza, ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali qualsiasi è ancora principale. Due elementi hanno un'identità di Bézout se e solo se l'ideale da loro generato è principale; in questo caso il suo generatore è un massimo comun divisore. L'esistenza di un MCD tra ''a'' e''b'' non è però sufficiente a far sì che l'ideale (''a'',''b'') sia principale: ad esempio, nell'anello <math>K[X,Y]</math>, dove ''K'' è un campo, ''X'' e ''Y'' hanno un MCD (1) ma l'ideale (''X'',''Y'') non è principale.
Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.
Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.
Nel caso non commutativo, è necessario distinguere tra divisori ''destri'' e divisori ''sinistri'': ''a'' è un divisore sinistro di ''b'' se ''a'' = ''bc'' per un ''c'', mentre è un divisore destro se ''a'' = ''cb''; queste due proprietà non sono equivalenti (ovvero ''a'' può essere un divisore sinistro di ''b'' senza essere un divisore destro, e viceversa). Analogamente, si deve distinguere tra elementi irriducibili a sinistra ed elementi irriducibili a destra (ovvero, rispettivamente, che non hanno divisori sinistri o divisori destri) e tra un MCD a sinistra e un MCD a destra.<ref name=bolker/>
== Esistenza ==
I domini in cui è possibile effettuare la fattorizzazione in irriducibili di ogni elemento sono detti ''atomici''; una proprietà leggermente più forte è quella per cui gli [[ideale principale|ideali principali]] verificano la [[condizione della catena ascendente]] (si parla in questo caso di ''dominio ACCP''). Quest'ultima proprietà, benché meno generale, è però più stabile dell'essere un dominio atomico: ad esempio si conserva passando all'[[anello dei polinomi]] e a quello delle [[serie formale|serie formali]], al contrario dell'essere un dominio atomico.<ref>{{cita|Clark|teorema 17, pagina 8|fact2010}}</ref> Il primo esempio di dominio atomico che non verifica la condizione della catena ascendente sugli ideali principali fu dato da Anne Grams nel 1974.<ref>{{cita pubblicazione|autore=Anne Grams|titolo=Atomic rings and the ascending chain condition for principal ideals|rivista=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|anno=1974|volume=75|pagine=321-329|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract;jsessionid=7648B48BE6503E4EDF74AF69A0250EB6.tomcat1?fromPage=online&aid=2074048}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore=Dan Anderson, David Anderson e Muhammad Zafrullah|titolo=Factorization in Integral Domains|rivista=Journal of Pure and Applied Algebra|anno=1990|volume=69|pagine=1-19|url=http://www.lohar.com/researchpdf/Factorization_in_integral_domains.pdf}}</ref>
I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i domini [[anello noetheriano|noetheriani]] e i [[dominio di Krull|domini di Krull]], ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle [[funzione intera|funzioni olomorfe sull'intero piano complesso]] non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma <math>x-a</math>, e quindi una funzione ''f''(''x'') ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione [[seno (matematica)|seno]]) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche: tale risultato è noto come [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]]. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]] non noetheriani.
All'estremo opposto, esistono domini che, pur possedendo elemento non invertibili (ovvero non essendo [[campo (matematica)|campi]]), non hanno alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli [[intero algebrico|interi algebrici]] non è un campo, ma ogni <math>\alpha</math> può essere fattorizzato come <math>\alpha=\sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\alpha}</math>, in quanto anche <math>\sqrt{\alpha}</math> è un intero algebrico.
== Unicità ==
Una volta stabilito in quali elementi fattorizzare, si può definire quando due fattorizzazioni sono da considerarsi equivalenti: ad esempio le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=yx</math> sono indistinguibili, e quindi l'"unicità" non deve tener conto dell'ordine con cui si considerano i fattori. Un'altra ambiguità si ha a causa dell'eventuale presenza di unità diverse da 1: ad esempio, se <math>uv=1</math>, allora le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=(ux)(vy)</math>, pur coinvolgendo elementi diversi, si comportano allo stesso modo riguardo, ad esempio, alla divisibilità: quindi si può ammettere anche che gli irriducibili (o i primi) siano uguali a meno di moltiplicazione per un'unità. Nell'insieme dei [[numero intero|numeri interi]], le unità sono 1 e -1, e quindi quest'ultima condizione può essere omessa imponendo che gli irriducibili siano positivi; in un anello generico, tuttavia, non è possibile operare una scelta "canonica".
Si dice quindi che due fattorizzazioni <math>a=x_1\cdots x_n</math> e <math>a=y_1\cdots y_m</math> sono uguali se ''n'' = ''m'' e se, a meno di riordinare i fattori, ''x<sub>k</sub>'' e ''y<sub>k</sub>'' sono associati per ogni ''k''.
Mentre è possibile che esistano più fattorizzazioni in elementi irriducibili, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi primi garantisce la sua unicità: infatti, se
:<math>p_1\cdots p_n=q_1\cdots q_m</math>
sono due fattorizzazioni, ''p<sub>1</sub>'' divide il prodotto a destra, e quindi deve dividere uno dei ''q<sub>i</sub>''; poiché anche i fattori a destra sono primi, ''p<sub>1</sub>'' e ''q<sub>i</sub>'' sono associati, e quindi possono essere semplificati, iterando il ragionamento.
Un ''dominio a fattorizzazione unica'' (in breve UFD, dall'inglese ''unique factorization ___domain'') è un dominio in cui ogni elemento ha una fattorizzazione in irriducibili (ovvero un dominio atomico), e quest'ultima è unica. In questo caso, gli elementi irriducibili e i primi coincidono; in effetti, ''A'' è un UFD se e solo se è atomico e ogni irriducibile è primo, e se e solo se ogni elemento ha una fattorizzazione in primi. Gli UFD, inoltre, verificano la condizione della catena ascendente sugli ideali principali, in quanto ogni elemento ha un numero finito di divisori (a meno di associati). Se invece tutte le fattorizzazioni di ogni elemento hanno lo stesso numero di fattori, ma non sono necessariamente tutte equivalenti, il dominio è detto ''metà fattoriale''.
Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Negli MCD-domini, inoltre, ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del [[lemma di Euclide]]; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).
Ogni [[dominio ad ideali principali]] è a fattorizzazione unica; inoltre, un UFD di [[dimensione di Krull|dimensione]] 1 è ad ideali principali. Una proprietà ancora più forte è l'essere un [[dominio euclideo]], in cui può essere effettuata la [[divisione euclidea|divisione col resto]].
=== Fattorizzazione in ideali ===
Una fattorizzazione in irriducibili, o in primi, può essere "tradotta" nel linguaggio degli ideali: se infatti <math>a=x_1\cdots x_k</math>, allora, a livello di ideali <math>(a)=(x_1)\cdots(x_k)</math>: questo punto di vista permette di eliminare l'ambiguità relativa ai fattori tra loro associati, in quanto questi generano lo stesso ideale. Se la fattorizzazione è unica, ovvero se gli ''x<sub>i</sub>'' sono primi, allora gli ideali (''x<sub>i</sub>'') sono primi; quindi se ''A'' è un dominio a fattorizzazione unica allora ogni ideale principale può essere espresso come prodotto di ideali primi principali.
In quest'ordine di idee, si possono considerare gli anelli in cui gli ideali possono essere espressi come prodotto di ideali primi: essi sono detti [[dominio di Dedekind|domini di Dedekind]]. Qui, sebbene gli ideali principali sono prodotto di ideali primi, non è detto che questi ultimi siano principali; un dominio è contemporaneamente un UFD e di Dedekind se e solo se è [[dominio ad ideali principali|ad ideali principali]]. In caso contrario, si può "misurare" quando ''A'' è lontano dall'essere a fattorizzazione unica mediante un [[gruppo (matematica)|gruppo]] ad esso associato, detto [[gruppo delle classi]].
Queste nozioni permettono di riparafrasare in linguaggio moderno la dimostrazione di Kummer riguardante l'ultimo teorema di Fermat: in questo caso, infatti, si considera la fattorizzazione in ideali
:<math>(z)^n=(z^n)=(x^n+y^n)=(x+y)(x+\xi y)(x+\xi^2 y)\cdots(x+\xi^{n-1}y)</math>
e si arriva alla conclusione che ogni ideale principale <math>(x+\xi^i y)</math> è uguale ad ''I<sub>i</sub><sup>n</sup>'' per un ideale ''I<sub>i</sub>''. Se ''n'' è un [[primo regolare]], ovvero se non divide la cardinalità del gruppo delle classi di <math>\mathbb{Z}[\xi_n]</math> (che in questo caso è finito) allora anche ''I'' dovrebbe essere principale; da questo poi si arriva ad una contraddizione.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma
*{{cita libro|autore=Pete L. Clark|url=http://www.math.uga.edu/~pete/factorization2010.pdf|titolo=Factorization in Integral Domains|cid=fact2010}}
*Lang - II forma
* {{Cita libro| autore= [[Ian Stewart (matematico)|Ian Stewart]] e David Tall|titolo=Algebraic number theory and Fermat's last theorem| anno=2002 | editore= A K Peters| città=Natick, Massachusetts|lingua=en| lingua=inglese|ed=3|id=ISBN 1-56881-119-5 |cid=Stewartall}}
*Matsumura?
*{{cita libro | cognome= Gabelli | nome= Stefania | titolo= Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois | editore= Springer| città= Milano| anno= 2008 | id= ISBN 9788847006188|pagine=capitolo 1.4}}
*Eisenbud?
*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf
{{portale|matematica}}
[[:d:Q1424496]]
<nowiki>[[Categoria:Teoria degli anelli?]]</nowiki>
+REDIRECT [[Elemento primo]], [[Elemento invertibile]], [[Dominio atomico]]
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