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<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span><sup></sup></nowiki>
;Da creare
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Lemma di Nakayama]] ([[:en:Nakayama's lemma]])
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Radicale di Jacobson]] ([[:en:Jacobson radical]])
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Anello regolare]] ([[:en:Regular ring]])
*[[Primo minimale]]
*[[Modulo libero]] ([[:en:Free module]])
*[[Primo associato]]
*[[Modulo piatto]] ([[:en:Flat module]])
*[[Gruppo abeliano libero]]?
*[[Modulo proiettivo]] ([[:en:Projective module]])
*[[Teorema dell'ideale principale]] ([[:en:Krull's principal ideal theorem]])
;Ampliare
*[[Localizzazione di un anello]]
**spostare a [[Localizzazione (matematica)]] dopo aver aggiunto moduli?
*[[Modulo iniettivo]] ([[:en:Injective module]])
;Possibilità
*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])
*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?
*aggiungere una sezione sui noeth. loc. in [[Dimensione di Krull]]?
*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
= [[ModuloLemma liberodi Hensel]] =
In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].
In [[matematica]], un '''modulo libero''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] che <span style="background:#ffffaa; color:#444444">si comporta in maniera "simile" ad uno [[spazio vettoriale]]</span>; più precisamente, se ''A'' è un [[anello (algebra)|anello]], un ''A''-modulo è ''libero'' se è la [[somma diretta]] di più copie di ''A'', o equivalentemente se ha una [[base (algebra lineare)|base]], cioè se esiste un insieme di elementi [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] che genera il modulo.
Nel linguaggio della [[teoria delle categorie]], i moduli liberi sono gli <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[oggetto libero|oggetti liberi]]</span><sup>[esiste?]</sup> della categoria degli ''A''-moduli.
== Definizione e basi ==
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''M'' un [[modulo (algebra)|modulo]] su ''A''. ''M'' è libero se esiste un insieme ''E'' di elementi di ''M'' tali che:
*''E'' genera ''M'': ogni elemento di ''M'' può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di ''E'', ovvero per ogni ''m'' in ''M'' esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>m=a_1e_1+\cdots+a_ne_n</math>;
*''E'' è [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]]: se esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>a_1e_1+\cdots+a_ne_n=0</math> allora tutti gli <math>a_i</math> sono uguali a 0.
Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio di può prendere ''E''=''M'' stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Z}_n</math> delle [[aritmetica modulare|classi di resto]] modulo ''n''.
Se ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], gli ''A''-moduli sono gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli ''A''-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, ed ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], allora ''A'' è un campo; <span style="background:#ffffaa; color:#444444">lasciando cadere l'ipotesi di commutatività ''A'' deve essere un [[corpo (matematica)|corpo]].</span><sup>[controlla]</sup>
Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento ''m'' come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la [[somma diretta]] di copie di ''A''.
Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].
Se ''M'' è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la [[cardinalità]] della base è univocamente determinata. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi e per tutti gli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]];</span><sup>[citazione]</sup> in particolare si ottiene che la [[Dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli spazi vettoriali è ben definita.
== Enunciato ==
== <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Proprietà</span><sup>[ancheIntroduzione nonsulle commvarie forme?]</supspan> ==
Tutti i moduli sono <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[modulo quoziente|quozienti]]</span><sup>[link?]</span> di moduli liberi: dato infatti un insieme di generatori ''E'' per ''M'', si può formare il modulo <math>L=\bigoplus_{e\in E} eR</math> (che è libero) e considerare il sottomodulo ''N'' generato dalle relazioni tra elementi di ''M'' (ad esempio, se ''e''+''f''=0, allora ''e''+''f'' sarà contenuto in ''N''). Il quoziente ''L''/''N'' risulta isomorfo ad ''M''.
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].
Tutti i moduli liberi sono [[modulo proiettivo|proiettivi]] e [[modulo piatto|piatti]]; unito al risultato precedente, questo dimostra che ogni modulo ha una <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[risoluzione proiettiva]]</span><sup>[traduzione?]</sup>. Inoltre il [[prodotto tensoriale]] di due moduli liberi è ancora libero.
=A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[Moduloderivata piattoformale]] di <math>f</math>)</span><sup>[non commdove?]</sup> =
*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;
In [[algebra]], un '''modulo piatto''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] che "si comporta bene" rispetto al [[prodotto tensoriale]]; più precisamente, dato un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello unitario|unitario]] ''A'', un modulo ''M'' è piatto se per ogni [[successione esatta]] corta di ''A''-moduli
*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;
:<math>0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0</math>
*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.
la successione
:<math>0\longrightarrow N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0</math>
(dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identià su ''M'') è ancora esatta; in altri termini, se il [[funtore (matematica)|funtore]] <math>M\otimes -</math> è [[funtore esatto|esatto]].
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span><sup>[vero anche per completi generici o solo per DVR?]</sup> Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].<sup>[ref]</sup>
== Definizioni equivalenti ==
La definizione dei moduli piatti in termini di successioni esatte è in qualche modo ridondante, perché, se
:<math>0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0</math>
è una successione esatta, allora
:<math>N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0</math>
è sempre esatta; di conseguenza è sufficiente richiedere che, se <math>f:N'\longrightarrow N</math> è iniettiva, allora <math>f\otimes 1:N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M</math> è ancora iniettiva. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Raffinando ulteriormente, ''M'' è piatto se e solo se questo avviene quando ''N<nowiki>'</nowiki>'' e ''N'' sono finitamente generati.</span><sup>[cita Atiyah]</sup>
Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span><sup>[manca a_0]</sup>
Equivalentemente, si possono definire i moduli piatti in termini del [[funtore Tor]]: ''M'' è piatto se e solo se <math>Tor_A^i(M,N)=0</math> per ogni ''i'' >0 e per ogni ''A''-modulo ''N''. Anche questa condizione può essere raffinata, richiedendo solo che <math>Tor_A^1(M,N)=0</math>.
== ProprietàConseguenze ==
Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.
Il [[prodotto tensoriale]] di due moduli piatti è ancora piatto.
Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.
Ogni [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math> di ''A'' è un ''A''-modulo piatto; di conseguenza, ogni localizzazione di un modulo piatto è ancora un modulo piatto.
== Bibliografia ==
Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; <span style="background:#ffffaa; color:#444444">il viceversa non è vero in generale, sebbene le tre condizioni siano equivalenti per moduli finitamente generati su [[anello locale|anelli locali]] [[anello noetheriano|noetheriani]].</span><sup>[citazione]</sup>
*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma
*Lang - II forma
*Matsumura?
*Eisenbud?
*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf
{{portale|matematica}}
= [[Lemma di Nakayama]] =
[[:d:Q1424496]]
Il '''lemma di Nakayama''' è un [[teorema]] di grande importanza nello studio degli [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativi]] [[anello unitario|unitari]]. Afferma che, se ''I'' è un [[ideale (matematica)|ideale]] di ''A'' contenuto nel suo [[radicale di Jacobson]], ed ''M'' è un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] finitamente generato tale che ''IM'' = ''M'', allora ''M'' è il modulo nullo.
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