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<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span></nowiki>

;Da creare

*[[Modulo semplice]] (serve?)

*[[Lemma di Nakayama]] ([[:en:Nakayama's lemma]])

*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)

*[[Radicale di Jacobson]] ([[:en:Jacobson radical]])

*[[Dominio di Bézout]] (poco...)

*[[Anello regolare]] ([[:en:Regular ring]])

*[[Primo minimale]]

*[[Modulo proiettivo]] ([[:en:Projective module]])

*[[Primo associato]]

*[[Teorema dell'ideale principale]] ([[:en:Krull's principal ideal theorem]])

*[[Gruppo abeliano libero]]?

;Ampliare

*[[Localizzazione di un anello]]

**spostare a [[Localizzazione (matematica)]] dopo aver aggiunto moduli?

*[[Modulo iniettivo]] ([[:en:Injective module]])

;Possibilità

*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])

*aggiungere una sezione sui noeth. loc. in [[Dimensione di Krull]]?

*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?

*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])

= [[Lemma di NakayamaHensel]] =

In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].

Il '''lemma di Nakayama''' è un [[teorema]] di grande importanza nello studio degli [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativi]] [[anello unitario|unitari]], in particolare degli [[anello locale|anelli locali]]; esso dà informazioni sul rapporto tra il [[radicale di Jacobson]] di un anello e i suoi [[modulo (algebra)|moduli]] finitamente generati.

Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].

Prende il nome dal matematico giapponese [[Tadashi Nakayama]].

== Enunciato ==

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Introduzione sulle varie forme?</span>

Il lemma di Nakayama afferma che, se ''I'' è un ideale contenuto nel [[radicale di Jacobson]] di ''A'' e ''M'' è un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] finitamente generato tale che ''IM'' = ''M'', allora ''M'' è il modulo nullo.

Da questo seguono due importanti conseguenze (''I'' è sempre un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di A e ''M'' un modulo finitamente generato):

*se ''N'' è un sottomodulo di ''M'' tale che <math>N+IM=M</math>, allora ''N'' = ''M'';

*se ''m''₁,...,''m''_''n'' sono elementi di ''M'' le cui immagini generano ''M'' / ''IM'', allora ''m''₁,...,''m''_''n'' generano ''M''.

Il primo di questi due risultati si ottiene applicando il lemma di Nakayama a ''M'' / ''N'', mentre il secondo si ottiene applicando il precedente ad ''M'' e al sottomodulo ''N'' generato dagli ''m_i''.

Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].

Un enunciato più generale, a volte chiamato lemma di Nakayama, afferma che, se ''I'' è un (qualsiasi) ideale di ''A'' e ''M'' un ''A''-modulo finitamente generato tale che ''IM'' = ''M'', allora esiste un ''r'' tale che <math>r-1\in A</math> e ''rM'' = 0. Questo è sufficiente a dimostrare la formulazione data in precedenza: infatti, se ''I'' è contenuto nel radicale di Jacobson ed <math>i\in I</math>, allora 1 + ''i'' è un'[[elemento invertibile]] dell'anello; in particolare, trovato un ''r'' tale che ''rM'' = 0, ''r'' sarà invertibile, e dunque anche ''M'' dovrà essere il modulo nullo.

A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[derivata formale]] di <math>f</math>)</span>^[dove?]

== Dimostrazione ==

*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;

La dimostrazione del lemma di Nakayama è spesso effettuata a partire dal [[teorema di Cayley-Hamilton]], che afferma che se <math>\phi:M\longrightarrow M</math> è un [[endomorfismo]] tale che <math>\phi(M)\subseteq IM</math>, allora esistono degli elementi <math>m_j\in I</math> tali che l'endomorfismo

*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;

<math>\phi^n+m_{n-1}\phi^{n-1}+\cdots+m_1\phi+m_0</math>

*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.

è nullo (qui <math>\phi^k</math> indica la composizione &phi; con sé stesso ''k'' volte).

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span>^{[vero anche per completi generici o solo per DVR?]} Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].^[ref]

Se ora ''IM'' = ''M'', si può prendere come &phi; l'identità su ''M'': questo implica che l'elemento <math>1+m_{n-1}+\cdots+m_1+m_0</math> è l<nowiki>'</nowiki>''r'' cercato, perché la moltiplicazione per ''r'' diventa l'endomorfismo nullo, ovvero ''rM'' = 0.

Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span>^{[manca a_0]}

== Anelli locali ==

Il lemma è particolarmente utile quando l'anello ''A'' è [[anello locale|locale]], in quanto in questo caso il radicale di Jacobson coincide col suo ideale massimale <math>\mathfrak{m}</math>.

== Conseguenze ==

Se l'anello è anche [[anello noetheriano|noetheriano]], <math>\mathfrak{m}</math> stesso può essere visto come un ''A''-modulo finitamente generato: se ''A'' non è un [[campo (matematica)|campo]] (ovvero <math>\mathfrak{m}\neq 0</math>) il lemma di Nakayama implica che <math>\mathfrak{m}^2\neq\mathfrak{m}</math>, e che la sua [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] (come [[spazio vettoriale]] sul [[campo residuo]] <math>k=A/\mathfrak{m}</math>) è uguale al numero minimo di elementi necessari per generare <math>\mathfrak{m}</math>. Grazie al [[teorema dell'ideale principale]], questa dimensione è sempre maggiore o uguale della [[dimensione di Krull]] di ''A''; quando si ha l'uguaglianza, l'anello è detto ''[[anello regolare locale|regolare]]''.

Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.

Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.

Un'ulteriore conseguenza della lemma di Nakayama è che, su anelli locali, tutti i [[modulo proiettivo|moduli proiettivi]] sono [[modulo libero|liberi]].

== Bibliografia ==

<nowiki>[[Categoria:Algebra commutativa]]

*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma

[[Categoria:Lemmi|Nakayama]]

*Lang - II forma

*Matsumura?

*Eisenbud?

*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf

{{portale|matematica}}

[[als:Lemma von Nakayama]]

[[:d:Q1424496]]

[[de:Lemma von Nakayama]]

[[en:Nakayama lemma]]

[[fr:Lemme de Nakayama]]

[[he:הלמה של נקאימה]]

[[nl:Lemma van Nakayama]]

[[ru:Лемма Накаямы]]

[[fi:Nakajaman lemma]]

[[zh:中山引理]]</nowiki>