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<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span><sup></sup></nowiki>
;Da creare
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Radicale di Jacobson]] ([[:en:Jacobson radical]])
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Modulo proiettivo]] ([[:en:Projective module]])
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Primo minimale]]
;Ampliare
*[[Primo associato]]
*[[Localizzazione di un anello]]
*[[Gruppo abeliano libero]]?
**spostare a [[Localizzazione (matematica)]] dopo aver aggiunto moduli?
*[[Modulo iniettivo]] ([[:en:Injective module]])
;Possibilità
*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])
*aggiungere una sezione sui noeth. loc. in [[Dimensione di Krull]]?
*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?
*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
= [[ModuloLemma iniettivodi Hensel]] =
In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].
In [[matematica]], un '''modulo iniettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero ''Q'' è iniettivo se, per ogni modulo ''M'' che lo contiene, esiste un sottomodulo ''N'' di ''M'' tale che <math>M=N\oplus Q</math>.
Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].
Questo concetto è il duale di quello di [[modulo proiettivo]]; è stato introdotto da [[Reinold Baer]] nel 1940. Un esempio di modulo iniettivo è lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Q}</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]].
== Definizioni equivalentiEnunciato ==
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Introduzione sulle varie forme?</span>
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''Q'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro. La definizione precedente (''Q'' è iniettivo se è addendo di ogni modulo che lo contiene) può essere espressa in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se ogni successione esatta corta
:<math>0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0</math>
si spezza, ovvero se <math>M=Q\oplus g^{-1}(N)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''N'').
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].
È possibile caratterizzare i moduli iniettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: ''Q'' è un modulo iniettivo se e solo se per ogni omomorfismo iniettivo di ''A''-moduli sinistri ''f'' : ''X'' → ''Y'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''X'' → ''Q'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''Y'' → ''Q'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:
A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[derivata formale]] di <math>f</math>)</span><sup>[dove?]</sup>
:[[Immagine:diagrammadefinizionemoduloiniettivo.png|120px]]
*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;
*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;
*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span><sup>[vero anche per completi generici o solo per DVR?]</sup> Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].<sup>[ref]</sup>
Il ''criterio di Baer'' afferma inoltre che per verificare che ''Q'' sia iniettivo è sufficiente considerate il caso in cui ''Y'' = ''A'' è l'anello e ''X'' un suo [[ideale (matematica)|ideale]].
Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span><sup>[manca a_0]</sup>
Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(-,Q)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''Q'' è iniettivo se <math>Ext^1_A(M,Q)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.
== Esempi e proprietàConseguenze ==
Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.
Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.
== Risoluzioni iniettive ==
Una '''risoluzione iniettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]
:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow\cdots</math>
dove i ''Q<sub>i</sub>'' sono moduli iniettivi; poiché ogni modulo è contenuto in un modulo iniettivo, ogni ''M'' ha una risoluzione iniettiva. Se ''Q<sub>k</sub>'' è il modulo nullo per ''k'' > ''n'' in poi, la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui questo avviene - ovvero il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita
:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow 0</math>
è detto '''dimensione iniettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha una risoluzione finita, la sua dimensione iniettiva è infinito. L'[[estremo superiore]] delle dimensioni iniettive degli ''A''-moduli è detto [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.
{{Portale|matematica}}
== Bibliografia ==
*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma
*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN 0-521-43500-5|lingua=inglese}}
*Lang - II forma
*Matsumura?
== Collegamenti esterni ==
*Eisenbud?
*{{EncyMath|I/i051210|Injective module}}
*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf
<nowiki>[[Categoria:Teoria dei moduli|Iniettivo]]
[[en:Injective module]]
[[es:Módulo inyectivo]]
[[fr:Module injectif]]
[[he:מודול אינג'קטיבי]]
[[ru:Инъективный модуль]]
[[zh:內射模]]</nowiki>
= [[Modulo proiettivo]] =
In [[matematica]], un '''modulo proiettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un addendo diretto di un [[modulo libero]]: ovvero ''P'' è proiettivo se esiste un modulo libero ''F'' e un suo sottomodulo ''N'' tale che <math>F=P\oplus N</math>
Questo concetto è il duale di quello di [[modulo iniettivo]]; è stato introdotto da [[Henri Cartan]] e [[Samuel Eilenberg]] nel 1956.
== Definizioni equivalenti ==
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''P'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro. La definizione precedente (''P'' è proiettivo se è addendo di un modulo libero) può essere generalizzata: ''P'' è proiettivo se è un addendo di ogni modulo che si proietta su di esso; in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''P'' è proiettivo se e solo se ogni successione esatta corta
:<math>0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow P\longrightarrow 0</math>
si spezza, ovvero se <math>M=N\oplus g^{-1}(P)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''P'').
È possibile caratterizzare i moduli proiettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: ''P'' è un modulo proiettivo se e solo se per ogni omomorfismo suriettivo di ''A''-moduli sinistri ''f'' : ''N'' → ''M'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''P'' → ''M'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''P'' → ''N'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:
:[[Immagine:Projective module.png|120px]]
Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''P'' è proiettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(P,-)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''P'' è proiettivo se <math>Ext^1_A(P,M)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.
== Esempi e proprietà ==
Tutti i [[modulo libero|moduli liberi]] sono proiettivi; il viceversa non è in generale vero, sebbene valga per i [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]], per gli [[anello locale|anelli locali]] e per gli [[anello di polinomi|anelli di polinomi]] in più variabili su un [[campo (matematica)|campo]]. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi sono gli [[ideale (matematica)|ideali]] non principali di un [[dominio di Dedekind]], o gli ideali nella forma ''eA'', dove ''e'' è un [[elemento idempotente|idempotente]] di ''A'': ad esempio, se <math>A=A_1\times A_2</math>, allora <math>A_1\times 0</math> e <math>0\times A_2</math> sono ''A''-moduli proiettivi (in quanto <math>A=A_1\oplus A_2</math>) ma non liberi.
Su un [[campo (matematica)|campo]] o su un [[corpo (matematica)|corpo]], tutti i moduli sono proiettivi; in generale, se tutti gli ''A''-moduli sono proiettivi, l'anello è detto [[anello semisemplice|semisemplice]]. Questo avviene, inoltre, se e solo se tutti gli ''A''-moduli sono [[modulo iniettivo|iniettivi]], e se e solo se la sua [[dimensione globale]] è 0.
Una [[somma diretta]] <math>P=\bigoplus P_i</math> di moduli è proiettiva se e solo se lo è ogni addendo; il [[prodotto tensoriale]] di due moduli proiettivi è ancora proiettivo.
Un ideale di ''A'' è un ''A''-modulo proiettivo se e solo se è [[ideale invertibile|invertibile]].
Tutti i moduli proiettivi sono [[modulo piatto|piatti]]; anche in questo caso, il viceversa non è vero. Tuttavia, tutti i moduli piatti [[finitamente presentato|finitamente presentati]] sono proiettivi.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}</ref>
== Risoluzioni proiettive ==
Una '''risoluzione proiettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]
:<math>\cdots\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>
in cui ogni ''P<sub>i</sub>'' è proiettivo; poiché ogni modulo è il quoziente di un modulo libero, ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Se ''P<sub>k</sub>'' è il modulo nullo per ogni ''k'' maggiore di un ''n'', la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita
:<math>0\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>
è detto '''dimensione proiettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha alcuna risoluzione finita, la sua dimensione proiettiva è infinito. L'[[estremo superiore]] della dimensioni proiettive degli ''A''-moduli è detta [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN 0-521-43500-5|lingua=inglese}}
== Collegamenti esterni ==
*{{EncyMath|p/p075280|Projective module}}
{{Portale|matematica}}
<nowiki>[[Categoria:Teoria dei moduli|Proiettivo]]
{{portale|matematica}}
[[en:Projective module]]</nowiki>
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