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<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span><sup></sup></nowiki>
;Da creare
*[[Dominio di Krull]]
*[[Completamento di un anello]] (+redirect [[Completamento (teoria degli anelli)]])
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Primo minimale]]
*[[Anello di Cohen-Macaulay]] (+redirect [[Anello di Macaulay]] e/o [[Anello di Cohen]])
*[[AnelloPrimo di Gorensteinassociato]]
*[[Gruppo abeliano libero]]?
;Possibilità
*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
= [[Lemma di Hensel]] =
= [[Completamento di un anello]] (redirect [[Completamento (teoria degli anelli)]], [[Anello completo]]) =
In [[matematica]], '''lemma di Hensel''' è il nome dato ad alcuni [[teorema|teoremi]], equivalenti tra loro, dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria analitica dei numeri]], che legano i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un [[campo locale]] o in un [[anello (algebra)|anello]] [[anello completo|completo]] ai polinomi a coefficienti nel suo [[campo residuo]]. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del [[metodo di Newton]] per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]].
In [[matematica]], il '''completamento di un anello''' è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un [[anello (algebra)|anello]] ''A'', un altro anello <math>\hat{A}</math> con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno [[spazio metrico]] può essere [[spazio completo|completato]]; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di ''A'' rispetto alla [[topologia]] definita dalle potenze di un suo [[ideale (matematica)|ideale]] ''I'', detta '''topologia ''I''-adica'''.
Prende nome da [[Kurt Hensel]], che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]].
Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando ''A'' è un [[anello noetheriano]] [[anello locale|locale]], che possiede cioè un unico [[ideale massimale]] ''M'', e in cui la topologia è quella ''M''-adica.
== Enunciato ==
Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad ''I'' è detto '''''I''-completo''', o semplicemente '''completo''' se ''A'' è locale e ''I=M'' il suo ideale massimale. Esempi di anelli completi sono l'insieme <math>\mathbb{Z}_{(p)}</math> dei [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]] (completamento di <math>\mathbb{Z}</math> rispetto all'ideale <math>p\mathbb{Z}</math>) e l'[[anello delle serie formali]] <math>K[[x]]</math> su un [[campo (matematica)|campo]] ''K'' (completamento dell'[[anello dei polinomi]] <math>K[x]</math> rispetto all'ideale generato da ''x'').
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Introduzione sulle varie forme?</span>
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello locale|locale]], con [[ideale massimale]] <math>M</math>, che sia [[anello completo|completo]] rispetto alla topologia <math>M</math>-adica, e sia <math>K=A/M</math> il suo [[campo residuo]]; sia <math>f(X)</math> un polinomio monico a coefficienti in <math>A</math> e <math>\overline{f}(X)</math> la sua riduzione modulo <math>M</math>. Un caso particolare si ha quando <math>A</math> è un [[anello di valutazione discreta]] il cui [[campo dei quozienti]] è un [[campo locale]] [[campo non archimedeo|non archimedeo]].
== Costruzione ==
Vi sono due costruzioni del completamento <math>\hat{A}</math> di un anello ''A'': la prima topologica, la seconda algebrica.
A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: <span style="background:#ffffaa; color:#444444">(<math>f'</math> indica la [[derivata formale]] di <math>f</math>)</span><sup>[dove?]</sup>
La prima si fonda sul concetto di ''topologia I-adica'', dove ''I'' è un [[ideale (matematica)|ideale]] di ''A'': essa è la [[topologia]] generata dalle potenze <math>I^n</math> di ''I'' (il cui insieme è un [[base di intorni|sistema fondamentale di intorni]] di 0) e da tutti gli insiemi <math>a+I^n</math> (per <math>a\in A</math>), questi ultimi aggiunti in modo da rendere ''A'' un [[anello topologico]]. Su questa topologia si possono definire le [[successione di Cauchy|successioni di Cauchy]] (e la loro equivalenza) e quindi definire <math>\hat{A}</math> come l'insieme delle successione di Cauchy [[insieme quoziente|quozientato]] per equivalenza.
*se <math>\overline{f}(X)=\overline{g}(X)\overline{h}(X)</math>, dove <math>\overline{g}(X)</math> e <math>\overline{h}(X)</math> sono polinomi coprimi in <math>K[X]</math>, allora esistono polinomi <math>g(X),h(X)\in A[X]</math> tali che <math>g(X)\equiv \overline{g}(X)\bmod M</math>, <math>h(X)\equiv \overline{h}(X)\bmod M</math> e tali che <math>f(X)=g(X)h(X)</math>;
*dato un elemento <math>a\in A</math>, se <math>f(a)\equiv 0\bmod (f'(a))^2M</math> allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod f'(a)M</math>;
*se un elemento <math>a\in A</math> è una radice semplice di <math>\overline{f}</math> in <math>K</math> (ovvero <math>\overline{f}'(a)\neq 0</math>), allora esiste un elemento <math>b\in A</math> tale che <math>f(b)=0</math> e <math>b\equiv a\bmod M</math>.
<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.</span><sup>[vero anche per completi generici o solo per DVR?]</sup> Un anello in cui questo succede è detto ''henseliano''. Per ogni anello locale <math>A</math>, esiste un anello <math>A^h</math> (chiamato ''henselianizzazione'' di <math>A</math>) che è il più piccolo anello contenente <math>A</math> ed henseliano rispetto alla topologia <math>M</math>-adica; in particolare, <math>A^h</math> è sempre contenuto nel completamento di <math>A</math>. L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere [[anello noetheriano|noetheriano]], [[anello ridotto|ridotto]], o [[anello regolare|regolare]].<sup>[ref]</sup>
La seconda fa uso della nozione di [[limite inverso]]: dal momento che <math>I^{n+1}\subseteq I^n</math>, è sempre possibile definire degli [[omomorfismo di anelli|omomorfismi di anelli]] canonici <math>\theta_n:A/I^{n+1}\longrightarrow A/I^n</math>; all'interno del [[prodotto diretto]] <math>\Pi_n A/I^n</math>, <math>\hat{A}</math> è identificato come l'insieme delle ''<span style="background:#ffffaa; color:#444444">successioni coerenti</span><sup>[?]</sup>'', ovvero delle successioni <math>(x_n)</math> tali che <math>\theta_{n+1}(x_{n+1})=x_n</math>.
Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di [[aritmetica modulare]]: essa afferma che, se <math>f</math> è un polinomio a coefficienti in <math>\mathbb{Z}</math> che ammette una radice semplice <math>a</math> modulo <math>p^n</math> (cioè se <math>f(a)\equiv 0\bmod p^n</math> e <math>f'(a)\neq 0\bmod p^n</math>) allora esiste un unico <math>b</math> modulo <math>p^{n+1}</math> tale che <math>f(b)\equiv 0\bmod p^{n+1}</math> e <math>b\equiv a\bmod p^n</math>. Di fatto, questa non è altro che un caso particolare della terza forma del lemma di Hensel, in cui <math>A</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]]: a partire da una soluzione di <math>f(X)\equiv 0\bmod p</math>, il lemma permette di trovare una successione <math>\{a_n\}</math> tale che <math>f(a_n)\equiv 0\bmod p^n</math>; la serie <math>\sum_{n\geq 1}a_np^n</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">definisce un numero ''p''-adico che è soluzione di <math>f(X)</math>.</span><sup>[manca a_0]</sup>
Rispetto alla prima definizione, la seconda ha il vantaggio di poter dedurre alcune proprietà (ad esempio quelle [[algebra omologica|omologiche]]) a partire da quelle dei quozienti <math>A/I^n</math>; tuttavia, rende più complesso capire quando due ideali ''I'' e ''J'' danno origine allo stesso <math>\hat{A}</math> (ovvero quando il completamento ''I''-adico e quello ''J''-adico sono isomorfi). La soluzione di questo problema è invece implicita nella definizione topologica, in quanto ''I'' e ''J'' determinano lo stesso completamento se e solo se definiscono la stessa topologia.
== Conseguenze ==
Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai [[modulo (algebra)|moduli]] su ''A'': il completamento ''I''-adico di un modulo ''E'' può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli <math>I^nE</math> (e <math>m+I^nE</math>) oppure come il limite inverso della successione <math>(E/I^n)</math>.
Un primo polinomio a cui è possibile applicare il lemma di Hensel è <math>f(X)=X^m-1</math>, le cui radici (in una [[chiusura algebrica]] di <math>A</math>) sono le radici dell'unità. Se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo residuo <math>K</math> non divide <math>m</math>, allora tutte le eventuali radici di <math>f</math> sono semplici; tuttavia, essendo la caratteristica un [[numero primo]] <math>p</math>, le ipotesi garantiscono che <math>m</math> e <math>p</math> sono [[numeri coprimi|coprimi]], e dunque <math>K</math> contiene le radici <math>m</math>-esime dell'unità. Per il lemma di Hensel, dunque, anche <math>A</math> le contiene.
Considerazioni simili valgono per i polinomi <math>X^m-a</math>: questa ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se ha soluzioni in <math>K</math>. Ad esempio, se <math>A=\mathbb{Z}_p</math> è l'anello degli [[numeri p-adici|interi ''p''-adici]], l'equazione <math>X^2-a=0</math> ha soluzioni in <math>A</math> se e solo se l'equazione <math>X^2\equiv a\bmod p</math> è risolubile, cioè se e solo se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>.
== Rapporti tra un anello e il suo completamento ==
Per ogni anello ''A'' esiste un omomorfismo canonico <math>\phi:A\longrightarrow\hat{A}</math> che manda ogni elemento ''a'' nella successione costantemente ''a'' o, nella definizione algebrica, nell'elemento <math>(a+I,a+I^2,\ldots,a+I^n,\ldots)</math>. Tuttavia, tale omomorfismo non è sempre [[funzione iniettiva|iniettivo]], ovvero non sempre un anello è contenuto nel suo completamento: il [[nucleo di un omomorfismo|nucleo]] di <math>\phi</math> è esattamente l'intersezione <math>\bigcap_{n=1}^\infty I^n</math>, ovvero se e solo se la topologia ''I''-adica è [[spazio di Hausdorff|di Hausdorff]]. Analogamente, se ''E'' è un ''A''-modulo, si può definire una mappa <math>\phi_E:E\longrightarrow\hat{E}</math>, il cui nucleo è <math>\bigcap_{n=1}^\infty I^nE</math>. Queste mappe sono sempre [[funzione continua|continue]].
Nel caso [[anello noetheriano|noetheriano]], tale nucleo è caratterizzato dal [[teorema dell'intersezione di Krull]]: il nucleo <math>\bigcap_{n=1}^\infty I^nE</math> è costituito da tutti gli elementi <math>e\in E</math> per cui esiste un <math>i\in I</math> tale che <math>(1+i)e=0</math>. In questo caso, il nucleo coincide anche con il nucleo dell'omomorfismo di [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>M\longrigtharrow S^{-1}M</math>, dove <math>S=1+I</math>, così che c'è sempre un omomorfismo iniettivo <math>S^{-1}M\longrightarrow\hat{M}</math>.
Due casi di particolare importanza sono quando ''I'' è contenuto nel [[radicale di Jacobson]] di ''A'' (ad esempio se ''A'' è locale e ''M'' è il suo ideale massimale), e quando ''A'' è un [[dominio d'integrità]]: in entrambi i casi, il teorema garantisce che <math>\bigcap_{n=1}^\infty I^n=(0)</math> e quindi l'omomorfismo <math>\phi:A\longrightarrow\hat{A}</math> è iniettivo.
=== Omomorfismi di moduli ===
Dal momento che la mappa <math>\phi_E:E\longrightarrow\hat{E}</math> è sempre continua nella topologia ''I''-adica, è possibile definire, a partire da un qualunque omomorfismo di ''A''-moduli <math>\psi:E\longrightarrow F</math> un omomorfismo <math>\hat{\psi}:\hat{E}\longrightarrow\hat{F}</math>. Se ''A'' è [[anello noetheriano|noetheriano]], il passaggio da <math>\psi</math> a <math>\hat{\psi}</math> preserva le [[successione esatta|successioni esatte]]; ovvero, se
:<math>0\longrightarrow E\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 0</math>
è esatta, lo è anche
:<math>0\longrightarrow \hat{E}\longrightarrow \hat{F}\longrightarrow \hat{G}\longrightarrow 0.</math>
In altri termini, il [[funtore (matematica)|funtore]] <math>M\mapsto\hat{M}</math> è esatto.
Se inoltre ''E'' è finitamente generato, allora <math>\hat{E}</math> è isomorfo al [[prodotto tensoriale]] <math>\hat{A}\otimes_A E</math> e, di conseguenza, <math>\hat{A}</math> è un ''A''-modulo [[modulo piatto|piatto]]. Se ''E'' non è finitamente generato, c'è sempre un omomorfismo suriettivo <math>\hat{A}\otimes_A E\longrightarrow\hat{E}</math>, che tuttavia non è necessariamente un isomorfismo.
== Rapporti tra un anello e il suo completamento ==
Il passaggio da un anello locale ''A'' al suo completamento ''M''-adico <math>\hat{A}</math> conserva alcune proprietà. Se ''A'' è noetheriano, allora <math>\hat{A}</math> è ancora noetheriano e locale, e ha la stessa [[dimensione di Krull|dimensione]] di ''A''. Inoltre, se ''I'' è un ideale di ''A'', allora la sua estensione ad <math>\hat{A}</math> è esattamente il completamento di ''I'' (visto come ''A''-modulo) nella topologia ''M''-adica; in particolare, l'ideale massimale di <math>\hat{A}</math> è l'estensione dell'ideale massimale di ''A''.
Altre proprietà, invece, non si comportano altrettanto bene: ad esempio, se ''A'' è [[anello ridotto|ridotto]] (ovvero non ha [[elemento nilpotente|nilpotenti]]), [[dominio d'integrità|integro]] o [[integralmente chiuso]], non è detto che <math>\hat{A}</math> conservi tali caratteristiche.
== Teorema di struttura ==
Il ''teorema di struttura di Cohen'' classifica gli anelli completi noetheriani <span style="background:#ffffaa; color:#444444">di dimensione finita</span><sup>[che sia completo garantisce dim<infinito?]</sup> come immagini omomorfe di [[anello delle serie formali|anelli di serie formali]]; è stato dimostrato da [[Irvin Cohen]] nel 1946<ref>{{cita pubblicazione|autore=Irvin Cohen|titolo=On the structure and ideal theory of complete local rings|rivista=Transactions of the American Mathematical Society|anno=1946|volume=59|numero=1|pagine=54-106|lingua=inglese|url=http://www.ams.org/journals/tran/1946-059-01/S0002-9947-1946-0016094-3/home.html|accesso=25 aprile 2012|doi=10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3}}.
Esso afferma che, dato un anello noetheriano completo ''A'' con ideale massimale ''M'' e [[campo residuo]] <math>K=A/M</math>, allora:
*se la [[caratteristica (algebra)|]] di ''A'' è uguale a quella di ''K'' (o, equivalentemente, se ''A'' contiene un [[campo (matematica)|]] ''k''), allora ''A'' è isomorfo a <math>\frac{K[[x_1,\ldots,x_d]]}{I}</math> dove ''d'' è il numero di generatori dell'ideale massimale ''M'' di ''A'', ''I'' è un ideale di <math>K[[x_1,\ldots,x_d]]</math>;
*se le caratteristiche di ''A'' e di ''K'' sono diverse allora esiste un [[dominio di valutazione discreta]] completo ''W'' tale che ''A'' è isomorfo a <math>\frac{\left(\frac{W}{p^mW}\right)[[x_1,\ldots,x_d]]}{I}</math>, dove ''p'' genera l'ideale massimale di ''W'' e ''m'' è un intero non negativo (se ''m'' = 0, <math>\frac{W}{p^mW}=W</math>).
È da notare che, nel primo caso, le ipotesi del teorema non richiedono che ''A'' contenga il proprio campo residuo: ad esempio, se ''A'' contiene l'insieme <math>\mathbb{Q}</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]] e il suo campo residuo è <math>\mathbb{R}</math>, allora il teorema garantisce che ''A'' contenga anche <math>\mathbb{R}</math>. In effetti, la parte più lunga e complessa della dimostrazione è quella che deduce, a partire dall'inclusione di ''k'' in ''A'', anche la presenza di ''K''.
In particolare, se la [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] di ''A'' è un [[numero primo]] ''p'', allora ''A'' contiene il [[campo finito]] <math>\mathbb{F}_p</math>, e quindi ''A'' contiene anche il suo campo residuo.
Nel caso in cui ''A'' sia anche [[anello regolare locale|regolare]], il numero di generatori di ''M'' è uguale alla [[dimensione di Krull|dimensione]] dell'anello; da questo si deduce che ''I'' deve essere l'ideale nullo, ovvero che un anello regolare locale completo
deve essere isomorfo a <math>K[[x_1,\ldots,x_d]]</math>. Alcuni risultati della teoria degli anelli regolari possono essere dimostrati a partire da questo teorema, riducendosi al caso completo (spesso sfruttando la piattezza del completamento).
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
*Atiyah (è negli esercizi...) - I forma
*{{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|id=ISBN 0-201-40751-5|lingua=inglese|cid=Atiyah}}
*Lang - II forma
*{{cita libro|autore=David Eisenbud|titolo=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|editore=Springer-Verlag|anno=1995|id=ISBN 0-387-94268-8|lingua=inglese}}
*Matsumura?
http://www.math.iitb.ac.in/atm/caag1/balwant.pdf
*Eisenbud?
*http://math.usask.ca/~fvk/bookch9.pdf
{{portale|matematica}}
[[:d:Q1424496]]
<nowiki>[[Categoria:Algebra commutativa]]
[[en:Completion (ring theory)]]
[[zh:完備化 (環論)]]</nowiki>
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