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<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span><sup></sup></nowiki>
;Da creare
*[[Dominio di Krull]]
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Primo minimale]]
*[[Anello di Cohen-Macaulay]] (+redirect [[Anello di Macaulay]] e/o [[Anello di Cohen]]), serve una voce a parte [[Profondità (algebra)]]? (o [[profondità (teoria degli anelli)]]?)
*[[AnelloPrimo di Gorensteinassociato]]
*[[Gruppo abeliano libero]]?
;Possibilità
{{portale|matematica}}
[[:d:Q1424496]]
= [[Dominio di Krull]] =
In [[matematica]], un '''dominio di Krull''' è un [[dominio d'integrità]] che è [[intersezione]] di una famiglia localmente finita di [[dominio di valutazione discreta|domini di valutazione discreta]]. I domini di Krull sono una generalizzazione contemporaneamente dei [[anello noetheriano|domini noetheriani]] [[chiusura integrale|integralmente chiusi]] (e in particolare dei [[dominio di Dedekind|domini di Dedekind]]) e dei [[dominio a fattorizzazione unica|domini a fattorizzazione unica]].
Prendono nome da [[Wolfgang Krull]].
== Definizione ==
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello unitario|unitario]] [[dominio d'integrità|integro]]. <math>A</math> è un dominio di Krull se esiste una famiglia <math>\{V_i\}_{i\in I\}</math> di [[dominio di valutazione discreta|domini di valutazione discreta]] (DVR) tali che <math>A=\bigcap_{i\in I}V_i</math> e, per ogni <math>a\in A</math>, esistono solo un numeri finito di <math>V_i</math> tali che <math>a</math> non è [[elemento invertibile|invertibile]] in <math>V_i</math>.
Equivalentemente, <math>A</math> è un dominio di Krull se, per ogni [[ideale primo]] <math>P</math> di altezza 1, la [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>A_P</math> è un DVR, <math>A</math> è intersezione di queste localizzazioni e ogni elemento <math>a\in A</math> è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1.
== Proprietà ==
Essendo intersezione di anelli [[chiusura integrale|integralmente chiusi]], ogni dominio di Krull è integralmente chiuso.
La proprietà di essere un dominio di Krull soddisfa alcune proprietà di stabilità: ogni localizzazione <math>S^{-1}A</math> è ancora un dominio di Krull, così come gli [[anello dei polinomi|anelli dei polinomi]] <math>A[\mathbf{X}]</math> in un qualunque numero di indeterminate e gli [[anello delle serie formali|anelli delle serie formali]] <math>A[[X_1,\ldots,X_n]]</math> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">in un numero finito di indeterminate</span><sup>[e infinite?]</sup>. Al contrario, questa proprietà non passa ai [[anello quoziente|quozienti]]: ad esempio, l'anello <math>K[X,Y]/(X^2-Y^3)</math> (dove <math>K</math> è un [[campo (matematica)|campo]]) non è neppure integralmente chiuso.
L'intersezione di un numero finito di domini di Krull è ancora un dominio di Krull, mentre l'intersezione di una famiglia arbitraria può non esserlo.
=== Legami con gli anelli noetheriani ===
Tutti i domini [[anello noetheriano|noetheriani]] integralmente chiusi sono domini di Krull: se infatti <math>P</math> è un primo di altezza 1, la localizzazione <math>A_P</math> è un dominio [[anello locale|locale]] noetheriano integralmente chiuso di [[dimensione di Krull|dimensione]] 1, e quindi è un DVR, e per ogni <math>a\in A</math> l'anello <math>A/aA</math> ha un numero finito di [[primo minimale|primi minimali]], che corrispondono ai primi di altezza 1 contenenti <math>a</math>. Inoltre, la chiusura integrale di un dominio noetheriano, sebbene in generale non noetheriano, è un dominio di Krull; <span style="background:#ffffaa; color:#444444">esistono tuttavia domini di Krull che non sono la chiusura integrale di alcun anello noetheriano</span><sup>[serve fonte]</sup>.
Diversi teoremi relativi agli anelli noetheriani si generalizzano ai domini di Krull, sebbene sia a volte necessario restringerne il campo d'applicazione. Ad esempio, i domini di Krull <span style="background:#ffffaa; color:#444444">verificano il [[teorema dell'ideale principale]],</span><sup>[vedi se c'è sul Matsumura]</sup> mentre si può ottenere una [[decomposizione primaria]] solo nel caso degli [[ideale principale|ideali principali]].
== Gruppo delle classi ==
== Bibliografia ==
*Matsumura
*http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf
*Valutazioni?
{{portale|matematica}}
[[:en:Krull ring]]
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