|
<nowiki><span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span><sup></sup></nowiki>
;Da creare
*[[Dominio di Krull]]
*[[Modulo semplice]] (serve?)
*[[Anello delle serie formali]] (per adesso redirect)
*[[Dominio di Bézout]] (poco...)
*[[Primo minimale]]
*[[Anello di Cohen-Macaulay]] (+redirect [[Anello di Macaulay]] e/o [[Anello di Cohen]]), serve una voce a parte [[Profondità (algebra)]]? (o [[profondità (teoria degli anelli)]]?)
*[[AnelloPrimo di Gorensteinassociato]]
*[[Gruppo abeliano libero]]?
;Possibilità
{{portale|matematica}}
[[:d:Q1424496]]
= [[Dominio di Krull]] =
In [[matematica]], un '''dominio di Krull''' è un [[dominio d'integrità]] che è [[intersezione]] di una famiglia localmente finita di [[dominio di valutazione discreta|domini di valutazione discreta]]. I domini di Krull sono una generalizzazione contemporaneamente dei [[anello noetheriano|domini noetheriani]] [[chiusura integrale|integralmente chiusi]] (e in particolare dei [[dominio di Dedekind|domini di Dedekind]]) e dei [[dominio a fattorizzazione unica|domini a fattorizzazione unica]].
Prendono nome da [[Wolfgang Krull]].
== Definizione ==
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello unitario|unitario]] [[dominio d'integrità|integro]]. <math>A</math> è un dominio di Krull se esiste una famiglia <math>\{V_i\}_{i\in I}</math> di [[dominio di valutazione discreta|domini di valutazione discreta]] (DVR) contenuti nel [[campo dei quozienti]] di <math>A</math> tali che <math>A=\bigcap_{i\in I}V_i</math> e, per ogni <math>a\in A</math>, esistono solo un numeri finito di <math>V_i</math> tali che <math>a</math> non è [[elemento invertibile|invertibile]] in <math>V_i</math>.
Equivalentemente, <math>A</math> è un dominio di Krull se, per ogni [[ideale primo]] <math>P</math> di altezza 1, la [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>A_P</math> è un DVR, <math>A</math> è intersezione di queste localizzazioni e ogni elemento <math>a\in A</math> è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1.
== Proprietà ==
Essendo intersezione di anelli [[chiusura integrale|integralmente chiusi]], ogni dominio di Krull è integralmente chiuso.
La proprietà di essere un dominio di Krull soddisfa alcune proprietà di stabilità: ogni localizzazione <math>S^{-1}A</math> è ancora un dominio di Krull, così come la sua [[chiusura integrale]] in un'[[estensione finita]] del suo campo dei quozienti; analogamente, gli [[anello dei polinomi|anelli dei polinomi]] <math>A[\mathbf{X}]</math> e [[anello delle serie formali|delle serie formali]] <math>A[[\mathbf{X}]]</math> in un qualunque numero di indeterminate sono ancora domini di Krull (per ognuna delle tre definizioni di anello delle serie formali in infinite indeterminate<ref>{{cita pubblicazione | autore = Robert Gilmer | data = 1969 | titolo = Power serie ring over a Krull ___domain | rivista = Pacific Journal of Mathematics | volume = 29 | numero = 3 | pagine = 543-549 | url =http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102982794 }}</ref>). Al contrario, questa proprietà non passa ai [[anello quoziente|quozienti]]: ad esempio, l'anello <math>K[X,Y]/(X^2-Y^3)</math> (dove <math>K</math> è un [[campo (matematica)|campo]]) non è neppure integralmente chiuso.
L'intersezione di un numero finito o di un insieme localmente finito di domini di Krull è ancora un dominio di Krull, mentre l'intersezione di una famiglia arbitraria può non esserlo.
=== Legami con gli anelli noetheriani ===
Tutti i domini [[anello noetheriano|noetheriani]] integralmente chiusi sono domini di Krull: se infatti <math>P</math> è un primo di altezza 1, la localizzazione <math>A_P</math> è un dominio [[anello locale|locale]] noetheriano integralmente chiuso di [[dimensione di Krull|dimensione]] 1, e quindi è un DVR; inoltre, ogni <math>a\in A</math> è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1 (poiché l'anello <math>A/aA</math> ha un numero finito di [[primo minimale|primi minimali]]). Viceversa, tutti i domini di Krull di dimensione 1 sono noetheriani, ovvero sono [[dominio di Dedekind|domini di Dedekind]].
Diversi teoremi relativi agli anelli noetheriani si generalizzano ai domini di Krull, sebbene sia a volte necessario restringerne il campo d'applicazione. Ad esempio, i domini di Krull, come gli anelli noetheriani, verificano il [[teorema dell'ideale principale]]; mentre un teorema che vale solo parzialmente è l'esistenza della [[decomposizione primaria]]: se <math>I</math> è un ideale di un dominio di Krull, <math>I</math> può non essere decomponibile, ma una decomposizione primaria esiste sicuramente se <math>I</math> è [[ideale principale|principale]].
Un altro legame naturale tra i domini noetheriani e i domini di Krull è dato dal teorema di Mori-Nagata, che afferma che la [[chiusura integrale]] di un dominio noetheriano nel suo campo dei quozienti (o, più in generale, in un'estensione finita del suo campo dei quozienti) è un dominio di Krull. Più in generale, la chiusura integrale di un anello noetheriano <math>A</math> [[anello ridotto|ridotto]] (ma non necessariamente integro) nel suo [[anello totale dei quozienti]] è il [[prodotto diretto]] di <math>r</math> domini di Krull, dove <math>r</math> è il numero dei [[primo minimale|primi minimali]] di <math>A</math>.
== Proprietà di fattorizzazione ==
Tutti i [[dominio a fattorizzazione unica|domini a fattorizzazione unica]] (UFD) sono domini di Krull, in quanto i primi di altezza 1 di un UFD sono principali. Per "misurare" quanto un dominio di Krull è lontano dall'essere a fattorizzazione unica si può introdurre un [[gruppo (matematica)|gruppo]], detto [[gruppo delle classi]], che generalizza il concetto di gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.
Un [[ideale frazionario]] <math>I</math> di un dominio di Krull <math>A</math> con campo dei quozienti <math>K</math> è <span style="background:#ffffaa; color:#444444">''divisoriale''</span><sup>[link?]</sup> se <math>I=(A:(A:I))</math>, dove </math>(I:J):=\{x\in K\mid xJ\subseteq I\}</math>. L'insieme degli ideali divisoriali è un gruppo sotto l'operazione di moltiplicazione tra ideali, che è isomorfo al [[gruppo abeliano libero]] generato dagli ideali primi di altezza 1; in particolare, ogni ideale divisoriale <math>I</math> ha una [[decomposizione primaria]]
:<math>I=P_1^{(e_1)}\cap\cdots\cap P_n^{(e_n)}</math>
dove i <math>P_i</math> sono ideali primi di altezza 1, gli <math>e_i</math> sono interi positivi e <math>P_i^{(e_i)}=P_i^{e_i}A_P{P_i}\cap A</math> è la <math>e_i</math>-esima [[potenza simbolica]] di <math>P_i</math>.
Il gruppo delle classi di <math>A</math> è definito come il quoziente tra il gruppo degli ideali divisoriali e il sottogruppo degli ideali frazionari principali; esso si riduce al [[gruppo banale]] se e solo se <math>A</math> è a fattorizzazione unica. Se <math>A</math> è un dominio di Dedekind, allora il gruppo delle classi di <math>A</math> non è altro che il quoziente tra il gruppo degli [[ideale invertibile|ideali invertibili]] e il sottogruppo degli ideali frazionari principali.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Robert Gilmer|titolo=Multiplicative ideal theory|editore=Marcel Dekker Inc.|città=New York|anno=1972|id=ISBN 0824712420}}
*{{cita libro|autore=[[Pierre Samuel]]|titolo=Lectures on Unique Factorization Domains|editore=Tata Institute Of Fundamental Research|città=Bombay|anno=1964|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf}}
*{{cita libro|autore=Hideyuki Matsumura|titolo=Commutative Ring Theory|editore=Cambridge University Press}}
*{{cita libro|autore=Irena Swanson e Craig Huneke|titolo=Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules|editore=Cambridge University Press|anno=2006|id=ISBN 978-0-521-68860-4}}
{{algebra commutativa}}
{{portale|matematica}}
[[:en:Krull ring]]
| 