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#REDIRECT[[Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie#Equazioni differenziali non lineari]]
Consideriamo un'equazione differenziale di ordine ''n'' che indicheremo:
:<math>F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0</math>
Se l'equazione è ''lineare'' con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendete da ''x'' e ''n'' parametri costanti ''c'' del tipo:
:<math>y = y (x, c_1, c_2, \ldots \ldots, c_n)</math>
detta anche '''integrale generale della funzione <math>F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0</math>'''
Se l'equazione è ''non lineare'' invece non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo <math>y = y (x, c_1, c_2, \ldots \ldots, c_n)</math> che fornisca tutti gli integrali della funzione <math>F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0</math> e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione <math>F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0</math>, per la cui soluzione <math>y = y (x, c_1, c_2, \ldots \ldots, c_n)</math>, detta '''integrale generale in forma esplicita''', si hanno solo alcuni integrali di <math>F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0</math> e non necessariamente tutti gli integrali di essa.
==Equazioni differenziali non lineari a variabili separabili==
Le equazioni differenziali a variabili separabili hanno la seguente forma:
:<math>y (x)^{^'} = a (x) \cdot b (y (x))</math>
dove <math>a (x)</math> e <math>b (x)</math> sono funzioni valide in determinati intervalli I e J. Essa è un'equazione differenziale del primo ordine ed è '''non lineare se b non è un polinomio di primo grado'''.
==Risoluzione di equazioni differenziali non lineari del primo ordine a variabili separabili==
Le equazioni non lineari sono in genere molto difficili da trattare rispetto alle lineari ma in questo caso riconducendosi ad un problema di Cauchy con una condizione iniziale nota <math>y (x_0) = y</math> è facilmente risolvibile.
Se <math>b (y_0) \neq 0</math> allora si procede separando le variabili x e y:
:<math>\frac{y (x)^'}{b (y (x))} = a (x)</math>
quindi integrando otteniamo:
:<math>\int^x_{x 0} \frac{y (x)^'}{b (y (x))} \cdot{dx} = \int^x_{x 0} a (x) \cdot{dx}</math>
sapendo inoltre che <math>y (x)^' = \frac{dy}{dx}</math> e riscrivendo il primo integrale rispetto y otteniamo:
:<math>\int^y_{y 0} \frac{1}{b (y)} \cdot{dy} = \int^x_{x 0} a (x) \cdot{dx}</math>
ponendo <math>H (y)</math> primitiva di <math>\frac{1}{b (y)}</math> e <math>A (x)</math> primitiva di <math>a (x)</math> si ha che:
:<math>H (y (x)) - H (y_0) = H (y) |^y_{y 0} = A (x) |^x_{x 0} = A (x) - A (x_0)</math>
A questo punto l'intervallo di esistenza e l'unicità della soluzione dipendono dall'invertibilità della funzione <math>H (y)</math>:
la soluzione quindi è:
:<math>y (x) = H^{- 1} \cdot [ A (x) - A (x_0) + H (y_0)]</math>
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