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[[File:Quaternion.jpg|300px|thumb|right|[[Frattale]] costruito come [[insieme di Julia]], definito con i quaternioni.]]
{| style="width:100%; background:transparent; font-size:90%"
In [[matematica]], i '''quaternioni''' sono entità introdotte da [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]] come estensioni dei [[numeri complessi]].
| style="background:#e0f0ff; border:1px solid silver; -moz-border-radius-topleft:12px; -webkit-border-top-left-radius:12px; border-top-left-radius:12px; width:20%; height:30px" | [[File:Help-browser.svg|18px|link=Aiuto:Benvenuto]] [[Aiuto:Benvenuto|Benvenuto]]
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| rowspan="8" style="background:#fffff0; border:1px solid silver; -moz-border-radius-bottomright:12px; -webkit-border-bottom-right-radius:12px; border-bottom-right-radius:12px; padding:0.5em 1em;" |<span style="font-size:105%">Con i tuoi interessi e le tue conoscenze puoi far crescere il sapere libero e l'enciclopedia. Scrivi nuove voci o amplia quelle già esistenti: '''il tuo contributo è prezioso'''!
Wikipedia ha solo alcune regole inderogabili, <span style="white-space:nowrap">i [[Wikipedia:Cinque pilastri|'''cinque pilastri''']]</span>. Per un primo orientamento, puoi guardare la '''[[:File:Wikipedia_ridotto.ogv|WikiGuida]]''', leggere la '''[[Aiuto:Guida essenziale|Guida essenziale]]''' o consultare la pagina di '''[[Aiuto:Aiuto|aiuto]]'''.</span>
L'insieme <math>\mathbb{H} \ \ </math> dei quaternioni è un [[corpo (matematica)|corpo]] non commutativo: soddisfa quindi tutte le proprietà usuali dei [[campo (matematica)|campi]], quali i [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]], tranne la [[proprietà commutativa]] del prodotto.
Se '''contribuisci a Wikipedia su commissione''' si applicano '''[[Wikipedia:Avvertenze sulla contribuzione su commissione#Le nostre condizioni d'uso|condizioni d'uso particolari]]'''.
I quaternioni contengono i numeri complessi, e, sul campo reale, sono anche uno [[spazio vettoriale]] a [[dimensione di Hamel|dimensione]] 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio sui reali a 2 dimensioni). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di [[algebra di divisione]] non [[Algebra commutativa|commutativa]].
<span style="font-size:105%">
I quaternioni hanno importanti applicazioni nello studio del [[gruppo (matematica)|gruppo]] delle [[rotazione (matematica)|rotazioni]] dello [[spazio tridimensionale]], nella fisica (nella [[teoria della relatività]] e nella [[meccanica quantistica]]). Impieghi "sorprendenti" dei quaternioni sono la [[robotica]], in cui trovano impiego per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi, e il controllo d'assetto, in quanto il calcolo tramite quaternioni è più [[stabilità algoritmica|stabile]].
Ricorda di '''non copiare testi né immagini da libri o siti internet poiché <u>NON è consentito inserire materiale protetto da [[Wikipedia:Copyright|copyright]]</u>''' (nel caso sia tu l'autore/autrice, devi seguire [[Wikipedia:Copyright#Se concedi l'uso del materiale presente sul tuo sito o su altre fonti|l'apposita procedura]]), e di scrivere seguendo un '''[[Wikipedia:Punto di vista neutrale|punto di vista neutrale]]''', citando le '''[[WP:FONTI|fonti]]''' utilizzate.
== Storia ==
[[File:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg|300px|right|thumb|Sul ''[[Broom Bridge]]'' c'è ora una lapide che recita: <br/> <center>«Here as he walked by<br/>on the 16th of October 1843<br/>Sir William Rowan Hamilton<br/>in a flash of genius discovered<br/>the fundamental formula for<br/>quaternion multiplication<br/>i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = i j k = −1<br/>& cut it on a stone of this bridge.»</center><br/>(''Mentre qui passeggiava, il 16 ottobre 1843 Sir William Rowan Hamilton, in un lampo d'ispirazione scoprì la formula fondamentale per la moltiplicazione dei quaternioni, e la incise su una pietra di questo ponte.'')]]
I quaternioni furono scoperti dal matematico [[Irlanda|irlandese]] [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]]. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i [[numeri complessi]] (che possono essere visti come punti su un [[piano (geometria)|piano]]) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione
:<math> i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. \ \ </math>
Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte ''Brougham'' (noto ora come ''[[Broom Bridge]]'') a [[Dublino]].
<div align="center" style="font-size:130%">Buon lavoro e buon divertimento da parte di tutti i wikipediani!</div>
Questa scoperta necessitava l'abbandono della [[proprietà commutativa|commutatività]] della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'[[algebra lineare]] ed il [[prodotto fra matrici]]. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il [[prodotto vettoriale]] e il [[prodotto scalare]] negli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, ''Elementi sui quaternioni'' aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.
<div style="margin:0; padding:0">
L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'[[algebra lineare]] e del [[calcolo vettoriale]] (sviluppato fra gli altri da [[Oliver Heaviside]] e [[Willard Gibbs]]), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] in dimensione otto). Una prima versione delle [[equazioni di Maxwell]] utilizzava una notazione basata sui quaternioni.
{{Cassetto inizio
|titolo = Altre informazioni
Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di [[rotazione|rotazioni]] e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella [[grafica computerizzata]], nella [[Controllo automatico|teoria del controllo]], nell'[[elaborazione dei segnali]], nel [[controllo dell'assetto]], in [[fisica]] e in [[astrodinamica]]. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.
}}
[[File:Firma e data.png|thumb|Apponi la firma nei tuoi interventi]]
== Definizione ==
*[[Portale:Progetti|Visualizza l'elenco]] dei '''[[Wikipedia:Progetto|progetti collaborativi]]''' riguardanti specifiche aree tematiche dell'enciclopedia: puoi partecipare liberamente a quelli di tuo interesse o chiedere suggerimenti.
Un '''quaternione''' è un elemento scrivibile come
*Identificati nelle [[Aiuto:Pagina di discussione|pagine di discussione]]: '''[[Aiuto:Firma|firma]] i tuoi interventi''' con il tasto che vedi nell'immagine.
:<math> a+bi+cj+dk </math>
*Una volta consultata la Guida essenziale, prova ad ampliare le tue conoscenze sul funzionamento di Wikipedia con il '''[[Aiuto:Tour guidato|Tour guidato]]'''.
con <math>a, b, c </math> e <math> d </math> [[numeri reali]] ed <math> i, j, k </math> simboli letterali.
*Hai già un altro account oppure qualcun altro contribuisce dal tuo stesso computer? Leggi [[Wikipedia:Utenze multiple]].
{{-}}
Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni
{{Cassetto fine}}
:<math> i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,</math>
</div>
che implicano in particolare le relazioni seguenti:
{{Cassetto inizio
:<math> ij = k, </math>
|titolo = Serve aiuto?
:<math> jk = i, </math>
}}
:<math> ki= j, </math>
Se hai bisogno di aiuto, chiedi allo [[Aiuto:Sportello informazioni|sportello informazioni]] (e non dimenticare che la risposta ti verrà data in quella stessa pagina). Se avessi bisogno di un aiuto ''continuativo'', puoi [[Progetto:Coordinamento/Accoglienza/Nuovi_arrivati|richiedere di farti affidare un "tutor"]].
:<math> ji =-k, </math>
<inputbox>
:<math> kj = -i, </math>
type=commenttitle
:<math> ik = -j. </math>
bgcolor=white
I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:
preload=
:{| {{prettytable}} border cellspacing="0" cellpadding="5" bgcolor="#DDEEFF"
editintro=
|-----
hidden=yes
| align="center" bgcolor="#FFFFFF" | <math> \times </math>
page=Aiuto:Sportello_informazioni
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> 1 </math>
default=
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> i</math>
break=no
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> j</math>
buttonlabel=Domanda allo Sportello informazioni
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> k</math>
</inputbox>
|-----
</div>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> 1 </math>
{{Cassetto fine}}
| align="center" | <math> 1 </math> || align="center" | <math> i</math>
</span>
| align="center" | <math> j </math> || align="center" | <math> k</math>
<div style="border-bottom:1px solid #eee; padding-top:0.17em; padding-bottom:0.5em"></div>
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| style="background:#ffe5e0; border:1px solid silver; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Copyright-problem.svg|18px|link=Wikipedia:Copyright]] [[Wikipedia:Copyright|Copyright]]
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|}Naturalmente un benvenuto anche da parte mia! Se avessi bisogno di qualcosa non esitare a contattarmi.
|}
'''[[Utente:Borgil|<span style="color:green;">Borgil</span>]]''' <small>'''[[Discussioni utente:Borgil|<span style="color:green;">(nin á quetë)</span>]]'''</small> 21:30, 30 dic 2016 (CET)
<!-- fine template di benvenuto -->
La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:
:<math> (a_1+b_1i+c_1j+d_1k) + (a_2+b_2i+c_2j+d_2k) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i + (c_1+c_2)j + (d_1+d_2)k </math>
mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:
:<math> (a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k) = </math>
::<math> (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + a_2b_1 +c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 + c_1a_2 +d_1b_2 - b_1d_2)j + (a_1d_2 + d_1a_2+b_1c_2 - c_1b_2)k. </math>
I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo <math> q = a </math>, con <math> b=c=d=0 </math>) ed i [[numeri complessi]] (i quaternioni del tipo <math> q = a +bi </math>, con <math> c=d=0 </math>).
=== Esempio ===
Due quaternioni:
:<math> x = 3+i </math>
:<math> y = 5i+j-2k </math>
Somma e prodotto sono dati da:
:<math> x+y = 3+6i+j-2k </math>
:<math> xy = (3+i)(5i+j-2k) = 15i+3j-6k+5i^2+ij-2ik = 15i+3j-6k-5+k+2j = </math>
::<math> = -5+15i+5j-5k. </math>
== Proprietà basilari ==
I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie ai [[numeri complessi]]: anche per i quaternioni, in analogia con i complessi, possono essere definiti concetti come ''[[norma (matematica)|norma]]'' e ''coniugato''; ogni quaternione, se diverso da zero, possiede un [[elemento inverso|inverso]] rispetto al prodotto. Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere [[proprietà commutativa|commutativo]].
=== Prodotto non commutativo ===
Il prodotto di due quaternioni non è in generale [[proprietà commutativa|commutativo]]. Ad esempio, come si è già visto, <math> ij = k </math> è diverso da <math> ji = -k </math>.
=== Coniugato ===
Il ''coniugato'' di un quaternione <math> q = a+bi+cj+dk </math> è il quaternione
:<math>\bar q = q' = a-bi-cj-dk. </math>
(a volte indicato anche con <math>q^*</math>).
Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:
:<math> \overline{\overline {q}} = q, </math>
:<math> \overline {q+q'} = \overline q + \overline q', </math>
:<math> \overline {qq'} = \overline q' \overline q. </math>
Il coniugato può anche essere espresso da una combinazione lineare di q, con coefficienti contenenti i, j, k, nel seguente modo:
:<math>\bar q = -\frac{q +iqi+jqj+kqk}{2} </math>
=== Norma ===
La ''[[norma (matematica)|norma]]'' di <math> q </math> è il numero reale non negativo
:<math>|q|= \sqrt{q \bar q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.</math>
La norma di <math> q </math> è sempre positiva, e nulla soltanto se <math> q = 0 </math>. Valgono le relazioni seguenti:
:<math>|q|^2 = q\bar q, </math>
:<math>|qq'| = |q||q'|.\,\! </math>
=== Inverso ===
Un quaternione <math> q </math> diverso da zero ha un [[elemento inverso|inverso]] per la moltiplicazione, dato da
:<math> q^{-1} = \frac{\overline q}{|q|^2}. </math>
Infatti
:<math> qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1 </math>
e similmente <math>q^{-1}q = 1 </math>. Valgono le proprietà seguenti:
:<math> |q^{-1}| = \frac 1{|q|}, </math>
:<math> \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1}, </math>
:<math> (qq')^{-1} = {q'}^{-1}q^{-1}.\,\! </math>
=== Struttura algebrica ===
Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con <math>\mathbb H </math>, forma un [[anello non commutativo]], più precisamente un [[corpo non commutativo]].
Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale <math> \lambda </math>, data da
:<math>\lambda (a+bi+cj+dk) = \lambda a + \lambda bi + \lambda cj + \lambda dk, </math>
i quaternioni formano anche uno [[spazio vettoriale reale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] 4: una [[base (algebra lineare)|base]] per lo spazio è data dagli elementi <math>\{1,i,j,k\} </math>.
Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di [[algebra di divisione]]. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.
=== Struttura metrica ===
Usando la funzione distanza
:<math> d(q,q') = |q-q'|, </math>
i quaternioni formano uno [[spazio metrico]], [[isometria|isometrico]] allo spazio <math>\R</math><sup>4</sup> dotato della usuale [[metrica euclidea]]. Le coordinate <math>(a,b,c,d) </math> di un quaternione <math> q </math> lo identificano come elemento di <math>\R^4 </math>, e tramite questa identificazione, la norma <math>|q| </math> è semplicemente la [[norma euclidea]].
Con la norma, i quaternioni formano un'[[algebra di Banach]] reale.
== Quaternioni unitari ==
=== Gruppo di Lie ===
I '''quaternioni unitari''' sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio, <math> 1,i,j </math> e <math> k </math> sono unitari. Nell'identificazione con <math>\R^4 </math>, i quaternioni unitari formano una [[ipersfera]] quadridimensionale.
:<math> S^3 = \{(a,b,c,d)\in\R^4\ |\ a^2+b^2+c^2+d^2=1 \}.</math>
I quaternioni unitari formano un [[gruppo moltiplicativo]] rispetto al prodotto. Tale gruppo, a differenza del suo analogo complesso, non è [[gruppo abeliano|abeliano]]. Con la struttura di [[varietà differenziabile]] data da <math> S^3 </math>, esso formano un [[gruppo di Lie]].
=== Gruppo di rotazioni ===
Ogni quaternione unitario <math>q_0</math> definisce una [[rotazione (matematica)|rotazione]] dello spazio <math>\R^3 </math> nel modo seguente. Si usa la notazione scalare-vettore <math> q=(a,v) </math>, e si identifica <math>\R^3 </math> con l'insieme dei quaternioni <math>(0,v) </math> con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da <math>q_0 </math> è data dall'operazione di [[coniugio]]
:<math> q\mapsto q_0qq_0^{-1}. </math>
Si verifica infatti facilmente che se <math> q </math> ha prima coordinata nulla, anche <math>q_0qq_0^{-1} </math> ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'[[azione di un gruppo|azione]] del gruppo dei quaternioni unitari su <math>\R^3 </math>. Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:
:<math> |q_0qq_0^{-1}| = |q_0||q||q_0^{-1}| = |q_0||q||q_0|^{-1} = |q|. </math>
I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in <math>\R^3</math>. Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni <math>q_0,q_0' </math> definiscono la stessa rotazione se e solo se <math>q_0 = - q_0' </math>.
=== Rivestimenti ===
Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa
:<math> S^3 \to SO(3) </math>
dal gruppo dei quaternioni unitari sul [[gruppo ortogonale speciale]] delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è [[funzione suriettiva|suriettiva]], ma non [[funzione iniettiva|iniettiva]]: la controimmagine di un punto è data da due punti opposti <math>\{\pm q_0 \} </math>. In particolare, tale mappa è un [[rivestimento]] di grado 2.
Poiché <math> S^3 </math> è [[semplicemente connesso]], questo è il [[rivestimento universale]] di <math> SO(3) </math>, che ha quindi come [[gruppo fondamentale]] il [[gruppo ciclico]] <math>\mathbb Z/_{2\mathbb Z} </math> con due elementi. Topologicamente, <math> SO(3) </math> è [[omeomorfo]] allo [[spazio proiettivo]] <math>\mathbb P^3(\R) </math>.
=== Sottogruppo finito ===
{{vedi anche|Gruppo dei quaternioni}}
Il [[sottogruppo]] generato dagli elementi <math>\{1,i,j,k\} </math> è un [[gruppo finito]]: ha [[ordine di un gruppo|ordine]] 8, e viene spesso indicato con <math>Q_8 </math>. I suoi otto elementi sono
:<math>\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}. </math>
Il gruppo <math> Q_8 </math> è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il [[gruppo di permutazioni]] <math> S_3 </math>, che ha ordine 6.
== Notazioni e rappresentazioni alternative ==
=== Notazione scalare/vettore ===
Il quaternione <math> q = a +bi +cj +dk </math> può essere descritto anche dalla coppia <math> (a, v) </math>, dove <math> v = (b,c,d) </math> è un vettore in <math>\R^3 </math>. Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:
:<math>\begin{matrix}q_1 + q_2 &=& (a_1 , v_1) + (a_2, v_2) = (a_1+a_2, v_1 + v_2) \\
q_1 \cdot q_2 &=& (a_1 a_2 - v_1 \cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \wedge v_2)\end{matrix}</math>
dove si usano il [[prodotto scalare]] ed il [[prodotto vettoriale]] fra vettori di <math>\R^3 </math>.
Le nozioni di coniugato e norma diventano:
:<math>\bar q = (a ,-v)</math>
:<math>|q|^2 = a^2 + |v|^2\,\! </math>
usando l'usuale [[norma (matematica)|norma]] di un vettore in <math>\R^3 </math>.
=== Coppia di numeri complessi ===
Grazie alla relazione <math> k = ij = -ji</math>, ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli <math> i </math> e <math> j </math> nel modo seguente:
:<math> q = a+bi+cj+dk = a+bi + cj-dji = a+bi + j(c-di)\,\! </math>
Quindi
:<math> q = z +jw </math>
dove <math> z = a+bi </math> e <math> w=c-di </math> sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione
:<math>ij = -ji. </math>
Per quanto riguarda coniugato e norma, risulta rispettivamente
:<math>\bar q = (\bar z ,-w)</math>
:<math>|q|^2 = |z|^2 + |w|^2\,\! </math>
=== Matrici ===
I quaternioni possono essere espressi tramite [[matrice|matrici]] <math> 2\times 2 </math> di [[numero complesso|numeri complessi]], oppure matrici <math> 4\times 4 </math> di numeri reali.
==== Matrici <math> 2\times 2 </math> complesse ====
Gli elementi <math> 1,i,j,k </math> sono rappresentati rispettivamente da:
:<math>\left[
\begin{matrix}
1, &0\\
0, &1\\
\end{matrix}\right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0, &1\\
-1, &0\\
\end{matrix}\right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0, &i\\
i, &0\\
\end{matrix}\right], \quad
\left[
\begin{matrix}
i, &0\\
0, &-i\\
\end{matrix}\right].
</math>
Il quaternione <math> a+bi+cj+dk </math> è quindi rappresentato da
:<math>\begin{bmatrix} a+di & b+ci \\ -b+ci & \,\, a-di \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} z & -\overline{w} \\ w & \,\, \overline{z} \end{bmatrix}</math>
Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:
* Tutti i numeri complessi (i quaternioni con <math> c=d=0 </math>) corrispondono a matrici a valori solo reali.
* Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al [[determinante]] della matrice corrispondente.
* Il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta coniugata|coniugata trasposta]] della matrice corrispondente.
* Limitandola ai quaternioni unitari, questa rappresentazione fornisce un [[isomorfismo]] di gruppo tra le [[sfera|sfere]] <math>S^3</math> ed il [[gruppo unitario speciale]] SU(2). Questo gruppo è strettamente collegato alle [[matrici di Pauli]], ed è importante nella [[meccanica quantistica]] per rappresentare lo [[spin]].
==== Matrici <math> 4\times 4 </math> reali antisimmetriche ====
Gli elementi <math> 1,i,j,k </math> sono rappresentati rispettivamente da:
:<math>
\left[
\begin{matrix}
1,&0,&0,&0\\
0,&1,&0,&0\\
0,&0,&1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&1,&0,&0\\
-1,&0,&0,&0\\
0,&0,&0,&1\\
0,&0,&-1,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&0,&0,&-1\\
0,&0,&-1,&0\\
0,&1,&0,&0\\
1,&0,&0,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&0,&-1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
1,&0,&0,&0\\
0,&-1,&0,&0\\
\end{matrix} \right].
</math>
Il quaternione <math> a+bi+cj+dk </math> è quindi rappresentato da
:<math>\begin{bmatrix}
a & b & -d & -c \\
-b & a & -c & d \\
d & c & a & b \\
c & -d & -b & a
\end{bmatrix}</math>
In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta|trasposta]] della matrice.
== Equazioni sui quaternioni ==
La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei [[polinomio|polinomi]] definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione <math> q^2+1 = 0 </math> per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i
:<math>q = bi+cj+dk </math>
con <math>b^2+c^2+d^2=1 </math>.
== Generalizzazioni ==
Se ''F'' è un generico [[campo (matematica)|campo]] e ''a'' e ''b'' sono elementi di ''F'', è possibile definire un'[[algebra associativa]] unitaria a quattro dimensioni su ''F'' usando due generatori ''i'' e ''j'' e le relazioni ''i''<sup>2</sup> = ''a'', ''j''<sup>2</sup> = ''b'' e ''ij'' = −''ji''. Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle [[matrice|matrici]] 2×2 su ''F'', e inoltre sono delle [[algebra di divisione|algebre di divisione]] su ''F''. Sono chiamate [[algebra di quaternioni|algebre di quaternioni]].
== Bibliografia ==
* Hime, Henry William Lovett (1894) ''[http://www.archive.org/details/outlinesofquater00himeuoft The outlines of quaternions]'' Longman Greens.
* Hamilton, William Rowan (1899) ''[http://www.archive.org/details/117770258_001 Elements of quaternions (t.1)]'' . Longman Greens.
* Hamilton, William Rowan (1901) ''[http://www.archive.org/details/117770258_002 Elements of quaternions (t.2)]'' . Longman Greens.
* Kelland, Philip and Tait, Peter Guthrie (1882) ''[http://www.archive.org/details/introductiontoqu00kelliala Introduction to quaternions, with numerous examples]'' McMillan & co. Ltd.
* Hardy, A. S. (1891) ''[http://www.archive.org/details/elementsofquater028860mbp Elements of quaternions].'' Ginn.
* MacAulay, Alexander (1893) ''[http://resolver.library.cornell.edu/math/1849283 Utility of Quaternions in Physics]''
* Hathaway, Arthur S. (1896) ''[http://www.archive.org/details/aprimerofquatern09934gut A Primer of Quaternions]'' London, Macmillan & co., ltd.
* Joly, Charles Japser (1905) ''[http://www.archive.org/details/manualofquaterni028692mbp A Manual Of Quaternions]''. McMillan & co. Ltd.
* MacFarlane, Alexander (1906) ''[http://www.archive.org/details/vectoranalysisan13609gut Vector Analysis and Quaternions]'' New York, J. Wiley & Sons.
* Kuipers, Jack (2002). ''Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality'' (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
== Voci correlate ==
* [[Numeri complessi]]
* [[Gruppo dei quaternioni]]
* [[Ottonione]]
* [[Sedenione]]
* [[Numero ipercomplesso]]
* [[Algebra di divisione]]
* [[Algebra associativa]]
* [[Teoria dei gruppi]]
* [[Rotazioni spaziali con i quaternioni]]
== Collegamenti esterni ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html Definizione e riferimenti] su mathworld.wolfram.com
* [http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html Doing Physics with Quaternions]
* [http://theworld.com/~sweetser/java/qcalc/qcalc.html Quaternion Calculator] [Java]
* [http://arxiv.org/pdf/math-ph/0201058 The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton] (PDF)
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