Somma di potenze di interi successivi e Apple Pay: differenze tra le pagine

Versione delle 18:53, 5 dic 2015

Versione delle 18:33, 27 mar 2017

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{{Software

Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle '''somme delle potenze di interi successivi'''

| Nome = Apple Pay

| Logo = Apple Pay logo.svg

| DimensioneLogo = 150

| Screenshot = Apple pay3.jpg

| Didascalia = Pagamento con il servizio Apple Pay.

| Sviluppatore = [[Apple Inc.]]

| DataPrimaVersione = 20 ottobre [[2014]]

| SistemaOperativo = iOS

| SistemaOperativo2 = macOS

| SistemaOperativo3 = watchOS

| Genere = [[Mobile Payment|Pagamento mobile]]

| Licenza = [[software proprietario|Proprietario]]

| SoftwareLibero = no

}}

'''Apple Pay''' è un [[Mobile payment|metodo di pagamento]] creato dalla [[Apple Inc.]] che consente di effettuare pagamenti utilizzando un [[iPhone 6]] o superiori, un [[Apple Watch]] o superiori, un [[iPad Air 2]] o superiori e un Mac con [[macOS Sierra]] o versioni successive<ref>{{Cita news|lingua=it|autore=|url=https://support.apple.com/it-it/HT204506|titolo=Come configurare Apple Pay sul tuo iPhone, iPad, Apple Watch o Mac|pubblicazione=Apple Support|data=|accesso=2017-02-09}}</ref>.

:<math>\sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m </math>

Il servizio funziona con [[PayWave]] di Visa, [[PayPass]] di [[MasterCard]], ''ExpressPay'' di [[American Express]] e le carte [[Visa]].

dove ''m'' ed ''n'' denotano numeri interi positivi.

Si osserva che la precedente espressione definisce una [[successione a due indici]]

interi a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme

:<math>\left\{ \mathbb{N_+}\times\mathbb{N_+} ~\mapsto~ \mathbb{N_+}\right\}</math> .

== Storia ==

Si dimostra facilmente in vari modi che

Il servizio è stato presentato il 6 settembre 2014<ref>{{Cita web|url=http://www.theverge.com/2014/9/9/6084211/apple-pay-iphone-6-nfc-mobile-payment|titolo=Apple Pay allows you to pay at the counter with your iPhone 6|sito=The Verge|data=2014-09-09|accesso=2017-03-26}}</ref>.

:<math>\sum_{k=1}^n k = {{n(n+1)}\over 2} </math>

Il 16 settembre 2015, con [[iOS 9]] è stato introdotto il supporto per le carte [[Discovery]]. Nel mese di maggio, Wiredcard ha rilasciato sull'[[App Store]] inglese un'app chiamata Boon. Essa permette di utilzzare Apple Pay anche nel resto del mondo, mediante l'utilizzo di carte [[Mastercard]] con tecnologia 3D Secure.

Risulta abbastanza agevole anche trovare che

:<math>\sum_{k=1}^n k^2 = {{n(n+1)(2n+1)}\over 6} </math>

Con [[macOS]] Sierra è possibile effettuare pagamenti online sul Mac tramite [[Safari (browser)|Safari]]<ref>{{Cita web|url=https://support.apple.com/kb/PH25811?viewlocale=it_IT&locale=it_IT|titolo=Safari per Mac: Acquistare con Apple Pay in Safari|sito=support.apple.com|lingua=it|accesso=2017-02-09}}</ref>. Qualora si dovesse pagare su un sito che supporto i pagamenti con Apple Pay, verrà inviata una notifica sull'iPhone con la richiesta del Touch ID per confermare l'acquisto.

:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = {{n^2(n+1)^2}\over 4} </math>

Con l'uscita dei nuovi [[MacBook Pro]] del 2016 con Touch Bar è possibile effettuare pagamenti Apple Pay senza l'ausilio dell'iPhone, grazie al sensore di impronte digitali presente direttamente sul Mac<ref>{{Cita web|url=https://support.apple.com/kb/PH26218?viewlocale=it_IT&locale=it_IT|titolo=macOS Sierra: Utilizzare Wallet e Apple Pay sul Mac|sito=support.apple.com|lingua=it|accesso=2017-02-09}}</ref>.

Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per [[dimostrazione per induzione|induzione]].

== Disponibilità ==

Si osserva che la somma delle potenze ''m''-esime dei primi ''n'' interi positivi

Apple Pay è disponibile in<ref>{{Cita web|url=http://www.apple.com/it/ios/feature-availability/#apple-pay|titolo=iOS - Disponibilità delle funzioni|sito=Apple (Italia)|lingua=it|accesso=2017-02-09}}</ref>:

è data da un polinomio di grado ''m''+1 nella ''n'' a coefficienti razionali.

In effetti [[Carl Jacobi]] nel [[1834]] ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.

{| class="wikitable" style="font-size:95%"

Si osserva anche che, soprattutto se ''n'' è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione

! style="width:141px;" |Data

effettuata servendosi direttamente della definizione.

! style="width:350px;" |Paese

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 20 ottobre 2014 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Stati Uniti|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 14 luglio 2015 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Regno Unito|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 17 novembre 2015 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Canada|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 19 novembre 2015 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Australia|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 18 febbraio 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Cina|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 19 aprile 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Singapore|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 7 luglio 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Svizzera|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 19 luglio 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Francia|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 20 luglio 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Hong Kong|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 4 ottobre 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Russia|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 13 ottobre 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Nuova Zelanda|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 25 ottobre 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Giappone|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 1 dicembre 2016 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Spagna|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 7 marzo 2017 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Irlanda|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 2017 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Italia|nome}}

|-

| style="background:#f0f8ff;" | 2017 || style="background:#fff;" | {{bandiera|Taiwan|nome}}

|-

|}

== Funzionamento ==

È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori ''n'' degli esponenti.

Apple Pay permette di effettuare pagamenti presso terminali [[Point of sale|POS]] [[contactless]], nelle applicazioni [[iOS]] e su [[Safari (browser)|Safari]]. Digitalizza e sostituisce il [[circuito integrato|chip]] della [[carta di credito]] e il suo [[codice PIN]] nei POS. È simile ai pagamenti contactless già utilizzati in molti Paesi, con l'aggiunta di un'[[autenticazione a due fattori]]. Il servizio consente ai dispositivi Apple di comunicare in modalità [[wireless]] con il sistema POS usando la tecnologia [[Near Field Communication|NFC]], un "chip dedicato che memorizza le informazioni di pagamento criptate" (noto come ''Secure Element''), il [[Touch ID]] di Apple o del Mac e l'applicazione [[Wallet (software)|Wallet]]<ref>{{Cita web|url=http://www.webnews.it/2014/10/13/apple-pay-come-funziona/|titolo=Apple Pay, ecco come funziona|sito=Webnews|accesso=2017-02-09}}</ref>.

Gli utenti che possiedono un [[iPhone 5]], [[iPhone 5c]] o [[iPhone 5s]] possono usufruire del servizio attraverso l'[[Apple Watch]], anche senza [[Touch ID]]. In questo caso, Apple Pay viene attivato con un codice di accesso che rimarrà attivo fino a quando l'utente non indosserà Apple Watch<ref>{{Cita web|url=https://9to5mac.com/2014/09/09/iphone-5-5s-5c-apple-watch-apple-pay/|titolo=iPhone 5, 5s and 5c owners can use Apple Pay… with the help of an Apple Watch|autore=Stephen Hall|sito=9to5Mac|data=2014-09-09|accesso=2017-02-09}}</ref>.

Le espressioni per i successivi valori di ''n'' furono individuate da [[Johann Faulhaber]] e pubblicate nel [[1631]] e una espressione generale, conosciuta come '''formula di Faulhaber''' è stata dimostrata da Jacobi.

== Compatibilità ==

<center><math>

Il servizio è compatibile con<ref>{{Cita web|url=https://support.apple.com/it-it/KM207105|titolo=Apple Pay è compatibile con questi dispositivi - Supporto Apple|sito=support.apple.com|lingua=it|accesso=2017-02-22}}</ref>:

\sum_{k=1}^n k^m = {1\over (m+1)} \sum_{k=0}^m {{m+1}\choose k} B_k (n+1)^{m+1-k}

* [[iPhone SE]], [[iPhone 6]], [[iPhone 6|iPhone 6 Plus]], [[iPhone 6s]], [[iPhone 6s Plus]], [[iPhone 7]] e [[iPhone 7 Plus]];

</math></center>

* [[Apple Watch (prima generazione)]], [[Apple Watch|Apple Watch Series 1]] e [[Apple Watch Series 2]];

* [[iPad Air 2]], [[iPad mini 3]], [[iPad mini 4]], [[iPad Pro]] e [[iPad]];

* [[MacBook Pro|MacBook Pro con Touch Bar]];

* Un [[Mac]] prodotto a partire dal 2012 con un [[iPhone]] o [[Apple Watch]] abilitato al servizio [[Apple Pay]].

== Note ==

In questa e altre formule intervengono i [[numeri di Bernoulli]] <math>\,B_n</math> ed i [[polinomi di Bernoulli]] <math>\,B_n(x)</math>.

<references />

== Altri progetti ==

La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per m = 4, 5, ..., 10 nel seguente modo:

{{interprogetto}}

{{Software iOS}}

<center><math>

{{macOS}}

\begin{matrix}

{{Portale|Apple|telefonia}}

\sum_{k=1}^n k^4 = {1\over 30}(6n^5+15n^4+10n^3-n) \\

\ \\

\sum_{k=1}^n k^5 = {1\over 12}(2n^6+6n^5+5n^4-n^2) \\

\ \\

\sum_{k=1}^n k^6 = {1\over 42}(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n) \\

\ \\

\sum_{k=1}^n k^7 = {1\over 24}(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2) \\

\ \\

\sum_{k=1}^n k^8 = {1\over 90}(10n^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n) \\

\ \\

\sum_{k=1}^n k^9 = {1\over 20}(2n^{10}+10n^9+15n^8-14n^6+10n^4-3n^2) \\

\ \\

\sum_{k=1}^n k^{10} = {1\over 66}(6n^{11}+33n^{10}+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n) \\

\ \\

\end{matrix}

</math></center>

[[Categoria:Software Apple]]

I polinomi che si ottengono hanno come fattori <math>n(n+1)(n+1/2)</math> per <math>k\geq2</math> pari, o <math>n^2(n+1)^2</math> per <math>k\geq3</math> dispari; inoltre sono simmetrici rispetto a <math>n=1/2</math>, nel senso che se si sostituisce <math>-n-1</math> a <math>n</math>, si ottiene lo stesso polinomio se <math>k</math> è dispari o il polinomio opposto se <math>k</math> è pari.

[[Categoria:Strumenti di pagamento]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Combinatoria]]

[[Categoria:Successioni a due indici]]

[[Categoria:Formule matematiche]]