|
Il 2006 è un anno di transizione per il Rugby Mondiale, giungono alle fasi cruciali le qualificazioni per la [[Coppa del mondo di Rugby 2007| Coppa del mondo 2007]]
In [[matematica]], un '''punto fisso''' per una [[Funzione (matematica)|funzione]]
:<math> f : A \to A </math>
definita su un [[Insieme (matematica)|insieme]] <math>A</math> è un [[Elemento (insiemistica)|elemento]] <math> x </math> in <math>A</math> tale che
''x'' = ''f''(''x'').
In altre parole, un punto fisso è un [[Elemento (insiemistica)|elemento]] (numero, punto etc.) che la funzione applica su se stesso.
Per esempio, sia ''f'' definita sull'insieme dei [[numeri reali]] come ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − 2;
allora -1 è un punto fisso di ''f'', poiché ''f''(-1) = -1.
== Esempi ==
Sono funzioni con punti fissi:
* Una [[rotazione (matematica)|rotazione]] del [[Piano (geometria)|piano]] intorno ad un punto ''P'' assegnato: in questo caso ''P'' è l'unico punto fisso della rotazione.
* Una [[riflessione (matematica)|riflessione]] del [[Piano (geometria)|piano]] rispetto ad una retta: ogni punto della retta è un punto fisso.
* La [[funzione polinomiale]] sui [[numeri reali]] definita da
*:''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − 3''x'' + 4,
:infatti un calcolo diretto mostra che ''f''(2) = 2.
Sono funzioni senza punti fissi:
* Una rotazione della [[circonferenza]] di un angolo diverso da zero (o 2π) è una funzione senza punti fissi sulla circonferenza.
* Una [[traslazione (geometria)|traslazione]] diversa dalla [[funzione identità|identità]] non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno [[spazio vettoriale]] o anche su un [[gruppo]]).
== TeoremiTornei diper esistenzaNazioni ==
Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi.
Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]].
* Il [[Teorema del punto fisso di Banach]] asserisce che una [[contrazione (matematica)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.
* Il [[Teorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''<sup>''n''</sup> in sé ha sempre un punto fisso.
{| style=border-collapse:collapse border=1 cellspacing=0 cellpadding=2
Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.
|- align=left bgcolor=#ddffff
* Il [[Teorema del punto fisso di Schauder|Teorema del punto fisso]] di [[Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): se <math> C </math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f:C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.
!width=100|
* Il Teorema di punto fisso di [[Andrei Nikolaevich Tikhonov|Tychonoff]] si applica ad ogni [[spazio vettoriale topologico]] <math> V </math> [[spazio vettoriale topologico localmente convesso|localmente convesso]]. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto <math> X </math> di <math> V </math>, e per ogni funzione continua <math> f:X \to X </math> esiste (almeno) un punto fisso per <math> f </math>.
!width=200|
* Il [[Teorema di unicità di Kellogg|Teorema di Kellogg]] aggiunge una ''condizione di unicità'' alle condizioni dei teoremi di Shauder e Tykhonov.
!width=100| Vincitore
* Il [[Teorema di Kakutani|Teorema]] di [[Kakutani]] considera corrispondenze con valori di insieme.
!width=100|
Questi teoremi vengono usati nel campo delle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].
|- align=center bgcolor=ddffff
|align=center| ||align=left| [[Sei Nazioni 2006|Sei Nazioni]] ||align=left| Francia || [[Immagine:Flag of France.svg|40 px]] ||
Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi:
|- align=center bgcolor=ddffff
*Il [[Teorema di Lawvere]] è un teorema di punto fisso nell'ambito della [[teoria delle categorie]].
|align=center| ||align=left| [[Tri Nations 2006|Tri Nations]] ||align=left| Nuova Zelanda || [[Immagine:Flag of New Zealand.svg|40 px]] ||
|- align=center bgcolor=ddffff
== La proprietà topologica del punto fisso ==
|align=center| ||align=left| [[Campionato Europeo per Nazioni (rugby) 2004-2006|Camp. Europeo]] ||align=left| Romania || [[Immagine:Flag of Romania.svg|40 px]] ||
|- align=center bgcolor=ddffff
Uno [[spazio topologico]] <math>X</math> si dice avere la '''proprietà del punto fisso''' (brevemente '''PPF''') se per ogni [[funzione continua]]
|align=center| ||align=left| [[IRB Four Nations Amateurs]] ||align=left| Belgio || [[Immagine:Flag of Belgium.svg|40 px]] ||
:<math>f: X \to X</math>
|- align=center bgcolor=ddffff
esiste un <math>x \in X</math> tale che <math>f(x)=x</math>.
|align=center| ||align=left| [[Churchill Cup]] ||align=left| New Zealand Maori || [[Immagine:Flag of New Zealand.svg|40 px]] ||
|- align=center bgcolor=ddffff
La ''proprietà del punto fisso'' è un [[invariante topologico]], cioè viene preservata dagli [[omeomorfismo|omeomorfismi]]. Inoltre la PPF viene preservata dalle [[retrazione|retrazioni]].
|align=center| ||align=left| [[IRB Pacific Nations Cup]] ||align=left| New Zealand Juniors || [[Immagine:Flag of New Zealand.svg|40 px]] ||
|- align=center bgcolor=ddffff
Per il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] tutti i sottoinsiemi [[spazio compatto|compatti]] e [[insieme convesso|convessi]] di uno [[spazio euclideo]] posseggono la PPF. La sola compattezza non garantisce la PPF (un [[controesempio]] è costituito dall'unione di due [[intervallo (matematica)|intervalli]] disgiunti) e neppure la sola convessità (la retta non ha la PPF). La proprietà di convessità risulta comunque ''non'' necessaria: esistono spazi topologici ''non'' convessi che hanno la proprietà del punto fisso: un esempio di questo tipo è costituito dallo spazio formato da
|align=center| ||align=left| [[IRB Nations Cup]] ||align=left| Argentina A || [[Immagine:Flag of Argentina.svg|40 px]] ||
:<math>\left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x \in \left[0,\frac 1 \pi\right] \right\}</math>
|- align=center bgcolor=ddffff
unito con l'arco che connette i punti (0,1) e (1/π,0). Nel 1932 [[Karol Borsuk|Borsuk]] congetturò che la PPF fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e [[spazio contraibile|contraibile]]. Il problema rimase aperto per 20 anni finché [[Shin’ichi Kinoshita|Kinoshita]] trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la PPF.
|align=center| ||align=left| DIAMOND LAW & ASS. CUP ||align=left| Canada || [[Immagine:Flag of Canada.svg|40 px]] ||
|- align=center bgcolor=ddffff
[[Categoria:Punti fissi| ]]
|align=center| ||align=left| Oceania Cup ||align=left| Vanuatu || [[Immagine:Flag of Vanuatu.svg|40 px]] ||
|- align=center bgcolor=ddffff
[[de:Fixpunkt (Mathematik)]]
|align=center| ||align=left| [[Africa Cup (rugby) 2006|Africa Cup]] ||align=left| South Africa Amateurs || [[Immagine:Flag of South Africa.svg|40 px]] ||
[[en:Fixed point (mathematics)]]
|- align=center bgcolor=ddffff
[[fr:Point fixe]]
|align=center| ||align=left| [[Asian Nations Series (rugby)(2006)|Asian Nations Series Series]] ||align=left| Giappone || [[Immagine:Flag_of_Japan.svg|40 px]] ||
[[ja:不動点]]
|}
[[nl:Dekpunt]]
{{clear}}
[[pl:Punkt stały]]
[[ur:مستقل نکتہ]]
[[zh:不动点 (数学)]]
| 