Spazio di Hilbert e Abdul Khalili: differenze tra le pagine

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{{S|calciatori svedesi}}

In [[matematica]] uno '''spazio di Hilbert''' è uno [[spazio vettoriale]] che generalizza la nozione di [[spazio euclideo]].

{{Sportivo

|Nome = Abdul Khalili

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebre matematico [[David Hilbert]] all'inizio del [[XX secolo]], ed hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'[[analisi funzionale]] ed [[analisi armonica|armonica]]. L'[[interesse]] della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto che essa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli [[spazio euclideo|spazi euclidei]] in spazi di funzioni infinito dimensionali. Grazie agli ''spazi di Hilbert'' è possibile formalizzare la [[teoria]] delle [[serie di Fourier]] e generalizzarla a [[base di uno spazio vettoriale|basi]] [[teoria del caos|arbitrarie]]. Inoltre, il loro ruolo è cruciale nella formalizzazione matematica della [[meccanica quantistica]].

|Immagine = Abdul Khalili 2014 (cropped).jpg

|Didascalia = Khalili con la maglia dell'{{Calcio Helsingborg|N}} nel 2014

Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un'[[insieme]] con una struttura lineare ([[spazio vettoriale]]), su cui è definito un [[prodotto scalare]] (in particolare, quindi, è possibile parlare di [[distanza (matematica)|distanze]], [[angolo|angoli]], [[ortogonalità]]), e tale che sia garantita la [[spazio metrico completo|completezza]] (ossia, che non vi siano dei comportamenti ''patologici'' nel processo di [[limite (matematica)|passaggio al limite]]). Nelle applicazioni, gli elementi di uno spazio di Hilbert (vettori) sono spesso [[successione (matematica)|successioni]] di [[numero complesso|numeri complessi]] o [[funzione (matematica)|funzioni]].

|Sesso = M

|CodiceNazione = {{SWE}}

In meccanica quantistica uno ''stato fisico'' può essere rappresentato da un elemento (''vettore'' o ''ket'') o da una opportuna combinazione lineare di elementi dello spazio di Hilbert. Lo stato fisico contiene informazioni le quali possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento il quale appartiene ad un nuovo spazio vettoriale di Hilbert (detto duale) e tale elemento è chiamato ''[[funzione d'onda]]''. Nello spazio di Hilbert dei ket a volte si considerano gli [[Spazio di Hilbert allargato|spazi di Hilbert allargati]], che consentono di formalizzare sia ''stati liberi'' che ''stati legati''.

|Disciplina = Calcio

|Squadra = {{Calcio Genclerbirligi}}

==Storia==

|Ruolo = [[Centrocampista]]

Gli ''spazi di Hilbert'' sono stati introdotti da David Hilbert nell'ambito delle [[equazione integrale|equazioni integrali]]<ref>Per un'introduzione storica più dettagliata al contesto intellettuale in cui sono nate le idee che hanno dato vita allo studio degli ''spazi di Hilbert'', si veda Boyer ''History of Mathematics'' cap. 27 e 28.</ref>. [[John von Neumann]] fu il primo ad utilizzare la denominazione ''der abstrakte Hilbertsche Raum'' (lo spazio di Hilbert astratto) nel suo celebre lavoro sugli [[Operatore hermitiano|operatori hermitiani]] non limitati del [[1929]]<ref>von Neumann J. ''Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren''.</ref>. Allo stesso von Neumann si deve la comprensione dell'importanza di questa struttura matematica, che egli utilizzò ampiamente nel suo approccio rigoroso alla meccanica quantistica<ref>Nell'approccio di von Neumann, la meccanica quantistica viene studiata mediante [[C-star algebra|C^*-algebre]]. Tuttavia ogni C^*-algebra è una sottoalgebra dell'algebra degli operatori limitati su di uno spazio di Hilbert. Di qui l'importanza di tali spazi in questo contesto. È interessante notare che questo approccio alla meccanica quantistica è stato iniziato da von Neumann proprio insieme ad Hilbert.</ref>. Ben presto il nome ''spazio di Hilbert'' divenne di largo uso nella matematica<ref>Dopo von Neumann, uno dei primi usi documentati del nome ''spazio di Hilbert'' si trova in Weyl, ''The Theory of Groups and Quantum Mechanics''.</ref>.

|TermineCarriera =

|SquadreGiovanili =

==Definizione==

{{Carriera sportivo

===Preliminari===

|????|{{Calcio Hogaborg|G}}|

Un [[prodotto scalare definito positivo]] definisce una [[norma (matematica)|norma]], che definisce a sua volta una [[spazio metrico|distanza]]: si dimostrano infatti facilmente i fatti seguenti.

<ul>

<li>Se <math>V</math> è uno [[spazio vettoriale]] sul [[campo (matematica)|campo]] [[numero reale|reale]] o [[numero complesso|complesso]], e <math>\langle\cdot, \cdot\rangle</math> un [[prodotto scalare]] (nel caso complesso, una [[forma hermitiana]]) definito positivo su <math>V</math>, allora è naturalmente definita una [[norma (matematica)|norma]] <math>\| \cdot \|</math> sullo stesso spazio ponendo:

:<math> \|v\|:= \sqrt{\langle v,v\rangle}</math>, per ogni vettore <math>v \in V</math>;

Con questa norma lo spazio ha la struttura di [[spazio normato]].

<li>A uno spazio normato <math>(V,\|\cdot \|)</math> è associata una naturale [[spazio metrico|struttura metrica]], ottenuta definendo la [[distanza (matematica)|distanza]] <math>\mathrm{d}</math> come:

:<math> \mathrm{d}(u,v):= \|u-v\|</math> per ogni <math>u,\, v \in V</math>.

Secondo la usuale indentificazione di uno spazio vettoriale con uno [[spazio affine]] costruito prendendo come punti i vettori stessi, si pone come distanza tra due vettori la norma della loro differenza. Nel caso in cui la norma derivi da un prodotto scalare, vale dunque la seguente uguaglianza:

:<math>\mathrm{d}(u,v)=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}</math>.

</ul>

===Definizione matematica===

Uno '''spazio di Hilbert''' è una coppia <math>(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math> dove <math>H</math> è uno spazio vettoriale reale o complesso<ref>Per semplicità, omettiamo nella definizione la presenza delle operazioni di somma e moltiplicazione per scalari proprie di uno spazio vettoriale, ed identifichiamo ''H'' con l'insieme stesso su cui lo spazio vettoriale è costruito. Si veda la voce ''[[spazio vettoriale]]'' per ulteriori chiarimenti.</ref> e <math> \langle\cdot,\cdot\rangle</math> è un prodotto scalare (o una forma hermitiana) su <math>H</math>, tale che, detta <math>\mathrm{d}</math> la distanza da esso indotta su <math>H</math>, lo [[spazio metrico]] <math>(H,\mathrm{d})</math> sia [[spazio metrico completo|completo]].

===Altre definizioni===

La presenza di un prodotto scalare dà modo di definire in generale alcune nozioni che qui richiamiamo brevemente nell'ambito degli spazi di Hilbert<ref>Nella voce ''[[prodotto scalare]]'' questi concetti sono trattati più approfonditamente.</ref>.

<ul>

<li>Dati due vettori <math>u,\,v\in H</math> possiamo definire l''''angolo''' <math>\theta</math> da essi formato mediante la relazione:

:<math> \cos{\theta} = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}</math>.

<li>Coerentemente con la precedente definizione di angolo, dato un insieme qualsiasi <math>K \subset H</math> si definisce il [[complemento ortogonale]] di <math>K</math> come il [[sottospazio vettoriale|sottospazio]]:

:<math> K^\perp = \{v \in H\ | \langle u,v \rangle = 0\ \forall u\in K\} </math>.

In particolare, due vettori <math>u</math> e <math>v</math> si diranno '''ortogonali''' se <math>\langle u,v \rangle =0</math>, ossia se l'uno è nel complemento ortogonale dell'altro; inoltre, una famiglia di vettori si dirà '''ortonormale''' se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali ed hanno norma 1.

<li>Dati due vettori <math>v, e \in H</math>, si definisce la '''componente''' di <math>v</math> lungo <math>e</math> lo scalare <math>\langle v,e \rangle</math>, e la '''proiezione''' di <math>v</math> su <math>e</math> il vettore

:<math>\frac{\langle v,e \rangle}{\langle e,e \rangle}\,e</math>.

</ul>

==Esempi==

=== Spazi di Hilbert di dimensione finita ===

<ul>

<li> Lo spazio vettoriale <math>\mathbb{R}^n</math> dei vettori di numeri reali:

:<math>\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)</math>

con il ''prodotto scalare euclideo'':

:<math>\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i</math>

è uno spazio di Hilbert reale di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita <math> n </math>, detto [[spazio euclideo]] <math>n</math>-dimensionale.

<li> Lo spazio vettoriale <math>\mathbb{C}^n</math> dei vettori di numeri complessi:

:<math>\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)</math>

dotato della forma hermitiana standard

:<math>\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_i^{*} b_{i}</math>

è uno spazio di Hilbert complesso di dimensione finita <math> n </math>.

</ul>

=== Successioni a quadrato sommabile [[Spazio l2|l²]]===

Lo spazio delle [[successione (matematica)|successioni]] di numeri reali a quadrato sommabile:

:<math>l^2(\mathbb{R})=\left\{ (x_n)_{n\in \mathbb N}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\},</math>

dotato del [[prodotto scalare]]

:<math>\langle (x_n)_{n\in \mathbb N}|(y_n)_{n\in \mathbb N} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} y_k </math>

è uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita.

Lo stesso vale per l'analogo complesso:

:<math>l^2(\mathbb{C})=\left\{ (x_n)_{n\in \mathbb N}, x_i\in\mathbb{C}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\},</math>

dotato del [[prodotto hermitiano]]

:<math>\langle(x_n)_{n\in \mathbb N}|(y_n)_{n\in \mathbb N} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{*} y_k </math>.

===Lo spazio L₂ ===

{{vedi anche|funzione a quadrato sommabile|Spazio Lp}}

Lo spazio <math> V </math> delle [[Funzione misurabile|funzioni misurabili]] <math> f </math> su un aperto <math> A \subset \mathbb{R}^n</math>, a valori complessi e di ''quadrato sommabile''

:<math>V = \left\{f: A \longrightarrow \mathbb{C}\ \Bigg|\ \int_{A}|f(x)|^2dx <\infty \right\} </math>

è uno spazio vettoriale complesso, e la forma

:<math>\langle f , g \rangle = \int_{A} f(x)^* g(x) dx</math>

è hermitiana. Tale spazio non è però di Hilbert, poiché la forma hermitiana è solo ''semi-definita positiva'': esistono infatti funzioni <math>f</math> non nulle, ma tali che <math>\langle f , f \rangle </math> è nullo. Ad esempio una funzione che vale 1 su un punto fissato di <math> A </math>, e 0 in tutti gli altri punti di <math>A</math> ha questa proprietà (più in generale, l'integrale di una funzione che vale 0 fuori di un [[insieme di misura nulla]] ha integrale nullo).

Per ovviare a questo problema, si definisce lo spazio come quoziente di <math>V</math> tramite la [[relazione di equivalenza]] che identifica due funzioni misurabili se differiscono solo su un insieme di misura nulla. La proiezione della forma hermitiana <math>\langle \cdot, \cdot \rangle </math> su questo spazio è definita positiva, e la struttura che ne risulta è uno spazio di Hilbert, che viene indicato con <math> L^2(A,\mathbb C)</math>.

===Spazi di Sobolev===

Gli elementi di <math>L^2</math> non sono, in generale, funzioni continue. Per questo motivo non è possibile definirne direttamente la derivata, che deve essere definita quindi in maniera diversa. Lo spazio delle funzioni derivabili debolmente k volte viene indicato tramite <math>H^k(A)</math>. Di questi tipi di spazi si occupa la teoria degli [[Spazio di Sobolev|spazi di Sobolev]].

==Prime proprietà degli spazi di Hilbert==

Le proprietà seguenti, valide per gli [[spazio euclideo|spazi euclidei]], si estendono anche agli spazi di Hilbert.

*Vale la '''[[disuguaglianza di Cauchy-Schwarz]]''':

:<math>|\left \langle v, w \right \rangle|^2 \le \left \langle v, v \right \rangle \left \langle w, w \right \rangle</math>

*La a norma indotta dal prodotto scalare soddisfa l''''identità del parallelogramma''':

:<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 \| v \|^2 + 2 \| w \|^2</math>

*Vale il '''[[teorema di Pitagora]]''': se <math>\{ v_k \}</math> è una successione di vettori a due a due ortogonali, allora:

:<math>\| \sum_{k=1}^{\infty} v_k \|^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \| v_k \|^2</math>

*Vale l''''identità di polarizzazione''':

:<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} \left( ||v+ w||^2 - ||v-w||^2 - i (|| v + i w||^2 - ||v - i w||^2) \right)</math>

*Vale la [[disuguaglianza di Bessel]]: se <math>\{e_n\}</math> è un [[insieme numerabile]] di vettori ''ortonormali'' allora per ogni <math>v</math> vale:

:<math>\langle v ,v\rangle = \|v\|^2 \ge \sum_{k=1}^{\infty} | \langle v , e_k \rangle |^2</math>.

*Ogni spazio di Hilbert è naturalmente uno ''[[spazio di Banach]]''. Viceversa, uno spazio di Banach è anche di Hilbert se e solo se la sua norma è indotta da un prodotto scalare, o equivalentemente se esso è ''autoduale'' (ossia, se esso si può identificare con il suo [[spazio duale]]).

*Ogni spazio di Hilbert ha una [[base ortonormale]], detta solitamente [[base hilbertiana]]. Una tale base è un insieme di vettori ortonormali, che [[span lineare|generano]] un sottospazio [[insieme denso|denso]] in <math> H </math>.

==Spazi di Hilbert separabili==

Ricordiamo che uno [[spazio topologico]] è [[spazio separabile|separabile]] se contiene un sottoinsieme [[insieme denso|denso]] e [[insieme numerabile|numerabile]]. Gli spazi di Hilbert finito dimensionali sono sempre separabili. Nel caso infinito dimensionale, invece, ci sono sia esempi di spazi separabili che non separabili. I primi sono di grande interesse nelle applicazioni, e su di essi si è costruita una teoria piuttosto ricca. Potremmo dire che, tra gli spazi infinito dimensionali, gli spazi di Hilbert separabili sono quelli che più assomigliano agli spazi finito dimensionali, e sono pertanto più facili da studiare.

=== Proprietà di base ===

Uno spazio di Hilbert <math>H</math> è separabile se e solo se ha una base ortonormale <math> S </math> di cardinalità finita o numerabile. Se <math> S </math> ha <math> N </math> elementi allora <math> H </math> è [[isomorfismo|isomorfo]] a <math>\R^n </math> oppure <math>\mathbb C^n </math>. Se <math> S </math> ha un'infinita numerabile di elementi allora <math>H </math> è isomorfo allo spazio <math>l_2</math> descritto sopra.

Una base ortonormale è ottenuta applicando l'[[algoritmo di Gram-Schmidt]] ad un insieme denso numerabile. Viceversa, il [[span lineare|sottospazio generato]] da una base ortonormale è un insieme denso nello spazio di Hilbert.

In conclusione, in uno spazio di Hilbert provvisto di una base hilbertiana <math> \{e_i\} </math> numerabile è possibile esprimere ogni vettore, norma o prodotto scalare come somma di una [[serie]] convergente:

:<math>v=\sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i\rangle e_i,</math>

:<math>\|v\|^2=\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle |^2,</math>

:<math>\langle v,w \rangle = \sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i \rangle \langle e_i,w \rangle e_i.</math>

===Analisi di Fourier===

===Applicazioni in meccanica quantistica===

{{vedi anche|Postulati della meccanica quantistica#Gli stati quantici|Principio di sovrapposizione}}

==Risultati principali==

{{S sezione}}

==Dualità negli spazi di Hilbert==

{{S sezione}}

==Operatori lineari su spazi di Hilbert==

{{S sezione}}

==Voci correlate==

*[[Spazio prehilbertiano]]

*[[Spazio di Banach]]

*[[Spazio vettoriale topologico]]

*[[Prodotto scalare]]

*[[Forma hermitiana]]

*[[Spazio duale]]

*[[Operatore]]

*[[Operatore hermitiano]]

*[[Meccanica quantistica]]

==Bibliografia==

* {{cite book

| last = Boyer

| first = Carl B.

| authorlink =

| year = 1989

| title = History of Mathematics

| edition = 2nd edition

| publisher = [[John Wiley & Sons]]

| ___location = New York

| id = ISBN 0-471-54397-7

}}

|Squadre =

{{Carriera sportivo

* {{cite book

|2008|{{Calcio Hogaborg|G}}|2 (0)

| last = Dieudonné

|2009|{{Calcio Helsingborg|G}}|0 (0)

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|2009|→ {{Calcio Hogaborg|G}}|21 (9)

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|2010-2011|{{Calcio Helsingborg|G}}|2 (0)

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| title = Foundations of Modern Analysis

|2012-2013|{{Calcio Varnamo|G}}|28 (4)

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* {{cite book

|2008-2009|{{NazU|CA|SWE||17}}|11 (1)

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}}

| title = Foundations of Modern Analysis

|Aggiornato = 23 dicembre 2017

| publisher = Courier Dover Publications

|Vittorie =

| ___location = New York

{{MedaglieCompetizione|Europei di calcio Under-21}}

| id = ISBN 0-48664-062-0

{{MedaglieOro|[[Campionato europeo di calcio Under-21 2015|Repubblica Ceca 2015]]}}

}}

{{Bio

|Nome = Abdulrahman

|Cognome = Khalili

|Sesso = M

|LuogoNascita = Svezia

|GiornoMeseNascita = 7 giugno

|AnnoNascita = 1992

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|Attività = calciatore

|Nazionalità = svedese

|PostNazionalità = , di origini [[Palestina|palestinesi]], [[centrocampista]] del {{Calcio Genclerbirligi|N}}.

È cugino di [[Imad Khalili]], anch'egli calciatore

}}

== Palmarès ==

* {{cite journal

=== Club ===

| last = von Neumann

==== Competizioni nazionali ====

| first = John

* {{Calciopalm|Coppa di Svezia|1}}

| authorlink = John von Neumann

:Helsingborg: [[Svenska Cupen 2010|2010]]

| year = 1929

| title = Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren

| journal = Mathematische Annalen

| volume = 102

| pages = 49-131

}}

=== Nazionale ===

*{{cite book

* {{Calciopalm|Europeo U-21|1}}

| last = Weyl

:[[Campionato europeo di calcio Under-21 2015|Repubblica Ceca 2015]]

| first = Hermann

| authorlink = Hermann Weyl

| editor = Dover Press

| title = The Theory of Groups and Quantum Mechanics

| origyear = 1931

| year = 1950

| id = ISBN 0-486-60269-9

}}

== NoteAltri progetti ==

{{interprogetto}}

<div class="references-small">

<references/>

</div>

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Calcio Genclerbirligi rosa}}

{{Portale|matematica}}

{{Nazionale svedese under-21 europei 2015}}

[[Categoria:Spazi di Hilbert]]

{{Nazionale svedese Olimpiadi 2016}}

{{Portale|biografie|calcio}}

[[Categoria:Calciatori della Nazionale svedese]]

[[ar:فضاء هلبرت]]

[[cs:Hilbertův prostor]]

[[da:Hilbertrum]]

[[de:Hilbertraum]]

[[el:Χώρος Χίλμπερτ]]

[[en:Hilbert space]]

[[eo:Hilberta spaco]]

[[es:Espacio de Hilbert]]

[[fi:Hilbertin avaruus]]

[[fr:Espace de Hilbert]]

[[he:מרחב הילברט]]

[[hu:Hilbert-tér]]

[[ja:ヒルベルト空間]]

[[ko:힐베르트 공간]]

[[nl:Hilbertruimte]]

[[pl:Przestrzeń Hilberta]]

[[pt:Espaço de Hilbert]]

[[ro:Spaţiu Hilbert]]

[[ru:Гильбертово пространство]]

[[sk:Hilbertov priestor]]

[[sv:Hilbertrum]]

[[uk:Гільбертів простір]]

[[vi:Không gian Hilbert]]

[[zh:希尔伯特空间]]