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== Dettagli ==
{{Nota disambigua|l'equazione dell'isoentropica|[[Trasformazione adiabatica#Trasformazione reversibile|Isoentropica]]}}
{{Informazioni file
In [[analisi matematica]], l''''equazione di Poisson''' è un'[[equazione alle derivate parziali]] [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|ellittica]] di larghissimo utilizzo in [[elettrostatica]], [[meccanica]] e [[termotecnica]]. Il suo nome deriva dal [[matematico]] e [[fisico]] [[Francia|francese]] [[Simeon Poisson|Siméon-Denis Poisson]].
|Descrizione = Screenshot del [[trailer]] ufficiale del film ''[[The Good Dinosaur]]''
|Fonte = trailer ufficiale
|Data = 3 giugno 2015
|Autore = [[Utente:Teoamez]]
|Detentore copyright = [[Walt Disney Pictures]]
|EDP = [[Wikipedia:Copyright immagini#Screenshot protetti da copyright]]
|Altre versioni =
}}
==Definizione Licenza ==
{{Screenshot Copyrighted||film}}
Sia <math>\varphi = \varphi(\mathbf x)</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita sulla [[insieme chiuso|chiusura]] dell'insieme <math>U</math> di <math>\R^n</math> [[funzione di variabile reale|a valori]] in <math>\R</math>.
[[Category:The Good Dinosaur]]
L'equazione di Poisson per <math>\varphi</math> ha la forma:<ref name=def>{{Cita|Evans|Pag. 20|evans}}</ref>
:<math>\Delta\varphi=f \ </math>
dove <math>\Delta</math> è l'[[operatore di Laplace]] o ''laplaciano'' e <math>f</math> è definita in <math>U</math> a valori in <math>\R</math>.
Nello [[spazio euclideo]] l'operatore di Laplace è spesso denotato con <math>{\nabla}^2</math>, e l'equazione di Poisson ha la forma:
:<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>
In [[coordinate cartesiane]] in tre dimensioni l'equazione prende la forma:
:<math>
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).
</math>
L'equazione di Poisson omogenea è detta [[equazione di Laplace]]:
:<math>\Delta \varphi = 0 \ </math>
==Formula risolutiva==
{{vedi anche|equazione di Laplace}}
Si consideri la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace nella sua forma più generale:<ref name=ventidue>{{Cita|Evans|Pag. 22|evans}}</ref>
: <math> \Phi (\mathbf x)=\begin{cases} -\frac{1}{2\pi}\log |\mathbf x| \qquad (n=2) \\ \frac{1}{n(n - 2)\alpha (n)|\mathbf x|^{n - 2}} \qquad (n \ge 3) \end{cases}</math>
dove <math>\alpha (n)</math> denota il volume della bolla di raggio unitario in <math>\R^n</math>. Per definizione, tale funzione è [[funzione armonica|armonica]] per <math>\mathbf x</math> non nullo. Se si pone di traslare l'origine nel punto <math>\mathbf y</math> si ottiene che <math> \Phi (\mathbf {x - y})</math> è ancora una funzione armonica per <math>\mathbf {x \ne y}</math>.
Si consideri la funzione <math>f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> di [[Classe C di una funzione|classe C<sup>2</sup>]] [[Funzione a supporto compatto|a supporto compatto]]. L'associazione:
:<math>\mathbf x \rightarrow \Phi (\mathbf {x - y})f(\mathbf y) \qquad \mathbf {x \ne y}</math>
è armonica per ogni <math>\mathbf y</math> di <math>\R^n</math>.
Allora la [[convoluzione]]:
:<math>u(\mathbf x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi (\mathbf {x - y})f(\mathbf y)d \mathbf y = \begin{cases} -\frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^2} \log (|\mathbf x - \mathbf y|)f(\mathbf y)d \mathbf y \qquad (n=2) \\ \frac{1}{n(n - 2)\alpha (n)} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(\mathbf y)}{|\mathbf x - \mathbf y|^{n - 2}} d \mathbf y \qquad (n \ge 3) \end{cases}</math>
è di classe C<sup>2</sup> ed è soluzione dell'equazione di Poisson.<ref>{{Cita|Evans|Pag. 23|evans}}</ref>
==Soluzioni==
Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:
:<math>\varphi(\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{\frac{f(\mathbf{x'})}{\mid \mathbf{x}-\mathbf{x'} \mid}dV}</math>
integrata su <math>\mathbf x</math>.
Si dimostra che la soluzione dell'equazione di Poisson è unica se vengono fissate opportune condizioni al contorno.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 108|mencuccini}}</ref> In particolare, se in una regione limitata:
:<math>V = \mathbb{R}^3 \mbox{ e } f \ne 0 </math>
allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:
:<math>\lim_{r \to \infty} \varphi (\mathbf{x}) \mid \mathbf{x}-\mathbf{y} \mid = costante < \infty</math>
dove <math>\mathbf y</math> è un punto arbitrario tale che:
:<math>f(\mathbf{y}) \ne 0</math>
L'equazione di Poisson può essere risolta usando una [[funzione di Green]], ed esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il [[metodo del rilassamento]], un [[algoritmo iterativo]], ne è un esempio.
==Teorema di unicità==
Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che il gradiente della soluzione dell'equazione è unico per una vasta classe di condizioni al contorno. Nell'ambito dell'elettrostatica questo significa che una volta trovato un potenziale che soddisfa l'equazione e le condizioni al contorno, allora il [[campo elettrico]] è univocamente determinato.
Infatti, l'espressione generale dell'equazione di Poisson in elettrostatica è:
:<math>\mathbf{\nabla}\cdot(\epsilon \mathbf{\nabla}\varphi)= -4 \pi \rho_{f}</math>
dove <math>\varphi</math> è il potenziale e <math>\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}\varphi</math> il campo.
Per dimostrare il teorema, si supponga che vi siano due soluzioni <math>\varphi_{1}</math> e <math>\varphi_{2}</math>. Definendo:
:<math>\phi=\varphi_{2}-\varphi_{1}</math>
poichè sia <math>\varphi_{1}</math> che <math>\varphi_{2}</math> soddisfano l'equazione di Poisson, <math>\phi</math> deve soddisfare:
:<math>\mathbf{\nabla}\cdot(\epsilon \mathbf{\nabla}\phi)= 0</math>
Utilizzando l'identità:
:<math>\nabla \cdot (\phi \epsilon \, \nabla \phi )=\epsilon \, (\nabla \phi )^2 + \phi \nabla \cdot (\epsilon \, \nabla \phi )</math>
dato che il secondo termine è nullo si ha:
:<math>\mathbf{\nabla}\cdot(\phi\epsilon \mathbf{\nabla}\phi)= \epsilon (\mathbf{\nabla}\phi)^2</math>
e considerando l'integrale di volume su tutto lo spazio (determinato dalle condizioni al contorno) si ricava:
:<math>\int_V \mathbf{\nabla}\cdot(\phi\epsilon \mathbf{\nabla}\phi) d^3 \mathbf{r}= \int_V \epsilon (\mathbf{\nabla}\phi)^2 \, d^3 \mathbf{r}</math>
Applicando il [[teorema della divergenza]]:
:<math>\sum_i \int_{S_i} (\phi\epsilon \mathbf{\nabla}\phi) \cdot \mathbf{dS}= \int_V \epsilon (\mathbf{\nabla}\phi)^2 \, d^3 \mathbf{r}</math>
dove <math>S_i</math> sono le superfici di frontiera, specificate dalle condizioni al contorno. Dato che <math>\epsilon > 0</math> e <math>(\mathbf{\nabla}\phi)^2 \ge 0</math>, allora <math>\mathbf{\nabla}\phi = 0</math> ovunque quando l'[[integrale di superficie]] si annulla: quindi si ha anche <math>\mathbf{\nabla}\varphi_{1} = \mathbf{\nabla}\varphi_{2}</math>. Pertanto il gradiente della soluzione è unico se:
:<math>\sum_i \int_{S_i} (\phi\epsilon \, \mathbf{\nabla}\phi) \cdot \mathbf{dS} =0</math>
Affichè ciò sia vero, le [[condizioni al contorno di Dirichlet]] sono che <math>\varphi</math> sia ben definita sulla frontiera del dominio, ovvero poichè <math>\varphi_1=\varphi_2</math> sulla frontiera si ha <math>\phi = 0</math> e il rispettivo [[integrale di superficie]] si annulla. Le [[condizioni al contorno di Neumann]] sono che <math>\mathbf{\nabla}\varphi</math> sia ben definito sulla frontiera del dominio, ovvero poichè
<math>\mathbf{\nabla}\varphi_1=\mathbf{\nabla}\varphi_2</math> sulla frontiera si ha <math>\mathbf{\nabla}\phi=0</math> e il rispettivo integrale di superficie si annulla.
== Equazione di Poisson su un cerchio ==
L'equazione di Poisson può in teoria essere risolta analiticamente su qualsiasi dominio [[spazio semplicemente connesso|semplicemente connesso]] del [[piano complesso]]. Infatti il [[teorema di Weierstrass]] afferma che è possibile trasformare un dominio semplicemente connesso nel [[cerchio unitario]] tramite una [[trasformazione conforme]] [[funzione biunivoca|biunivoca]]. Nel cerchio unitario l'equazione di Poisson ha soluzione in [[coordinate polari]] <math>(\rho,\phi)</math>:
:<math>u(\rho,\phi) = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} \tilde u(\theta) K(\theta,\phi,\rho)</math>
con <math>u(\theta)</math> la [[condizione al bordo|condizione al contorno]] sul cerchio unitario e:
:<math>K(\theta,\phi,\rho) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho^{|n|}\exp(-in(\theta-\phi))</math>
che può essere espresso in vari modi:
:<math>K(\theta,\phi,\rho) = \Re\frac{1+z e^{-i\theta}}{1-z e^{-i\theta}}</math>
==Funzione di Green per l'equazione di Laplace in tre dimensioni==
{{vedi anche|Funzione di Green|Equazione di Laplace}}
Si consideri un sistema descritto dall'equazione di Poisson:
:<math> \nabla^2u(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) </math>
Poichè il laplaciano è un [[operatore differenziale]] lineare, la soluzione <math>u(\mathbf{x})</math> può essere scritta come un integrale esteso alla distribuzione sorgente <math>f(\mathbf{x})</math>:
:<math> u(\mathbf{x}) = \int_{\mathbf{x}'} d\mathbf{x}'G(\mathbf{x},\mathbf{x'})f(\mathbf{x'})</math>
dove la funzione di Green è la [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] <math>G(\mathbf{x},\mathbf{x'})</math> che consente di ottenere la risposta del sistema in <math>\mathbf{x}</math> ad una sorgente puntiforme, descritta attraverso la [[delta di Dirac]] <math>\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x'})</math>, posta in <math>\mathbf{x'}</math>:
:<math>\nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x'})</math>
La funzione di Green per l'equazione di Laplace in tre dimensioni è uno strumento spesso utilizzato in [[fisica]], ad esempio nella descrizione dell'interazione di un corpo [[carica elettrica|carico]] con il [[campo elettromagnetico]] generato da una sorgente puntiforme <math>\rho</math>.
==Elettrostatica==
{{vedi anche|Equazioni di Maxwell}}
Alla base dell'[[elettrostatica]] vi sono le due equazioni di Maxwell che descrivono il comportamento del [[campo elettrico]]:
:<math>\nabla \cdot \mathbf E = {\rho \over \varepsilon_0} \qquad \nabla \times \mathbf E =0</math>
dove la seconda equazione, per il fatto che il [[Rotore (matematica)|rotore]] del [[gradiente]] è nullo, può essere scritta come:
:<math>\mathbf E = - \nabla \Phi </math>
In altre parole, il campo elettrico è definito come il gradiente di una funzione scalare <math>\Phi</math>. Trovare <math>\Phi</math> è un importante problema pratico, essendo il modo usuale per trovare il [[potenziale elettrico]] a partire da una data distribuzione di cariche. Sostituendo l'espressione del campo elettrico nella prima delle due equazioni di Maxwell sopra citate si ottiene l'equazione di Poisson, che nelle unità [[Sistema internazionale di unità di misura|SI]] ha la forma:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 107|mencuccini}}</ref>
:<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \varepsilon_0}</math>
dove <math> \Phi \! </math> è il potenziale elettrico, misurato in [[volt]], <math> \rho </math> è la [[densità di carica]], misurata in [[coulomb]] su metri cubi, e <math> \varepsilon_0 </math> è la [[costante dielettrica del vuoto]], in [[farad]] al metro. Fissate le condizioni al contorno, la soluzione è unica, e pertanto il potenziale è completamente determinato dalla distribuzione spaziale di carica.
In una regione di spazio dove non c'è distribuzione di carica si ottiene l'equazione omogenea:
:<math>{\nabla}^2 \Phi = 0</math>
e l'equazione per il potenziale diventa un'[[equazione di Laplace]].
=== Potenziale di una densità di carica gaussiana ===
Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria sferica [[distribuzione gaussiana|gaussiana]] <math> \rho(r) </math>:
:<math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)}</math>
dove <math>Q</math> è la carica totale, allora la soluzione <math>\Phi</math> dell'equazione di Poisson
:<math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 } </math>
è data da:
:<math> \Phi(r) = \frac{ 1} {4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)
</math>
dove <math>\mbox{erf}(x)</math> indica la [[funzione errore]]. Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di <math>{\nabla}^2 \Phi</math>. Si noti che, per <math>r</math> maggiore di <math>\sigma</math>, <math>\mbox{erf}(x)</math> tende all'unità e il potenziale <math>\Phi(r)</math> tende al potenziale di una carica puntiforme:
:<math>\Phi(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r}</math>
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{en}} {{cita libro | cognome= Evans| nome= Lawrence C.| titolo= Partial Differential Equations| editore= American Mathematical Society| città= | anno= 1998 |id = ISBN 0821807722|cid=evans}}
* {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |coautori=Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=2010 |id= ISBN 978-88-207-1633-2|cid= mencuccini }}
* {{en}} F. A. Tarleton ''[http://www.archive.org/details/introductiontoma00tarluoft An introduction to the mathematical theory of attraction vol. 1]'' Longmans, London, 1899.
* {{en}} F. A. Tarleton ''[http://www.archive.org/details/introductiontoma00tarliala An introduction to the mathematical theory of attraction vol. 2]'' Longmans, London, 1913.
* {{en}} O. D. Kellogg ''[http://www.archive.org/details/foundationsofpot037624mbp Foundations Of Potential Theory]'' Frederick Ungar Publishing Company, 1929.
* {{en}} [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf Poisson Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{en}} A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
==Voci correlate==
* [[Classe C di una funzione]]
* [[Conduzione termica]]
* [[Divergenza]]
* [[Equazione di Laplace]]
* [[Equazione differenziale alle derivate parziali]]
* [[Funzione a supporto compatto]]
* [[Leggi di Fick]]
* [[Operatore di Laplace]]
== Collegamenti esterni ==
* {{en}}{{cita web|http://mathworld.wolfram.com/PoissonsEquation.html|Mathworld - Poisson's Equation|05-12-2012}}
* {{en}}[http://planetmath.org/encyclopedia/PoissonsEquation.html Poisson's equation] on [[PlanetMath]].
* {{en}}[http://www.youtube.com/watch?v=sMJTWa-Z9Ho Poisson's Equation] Poisson's Equation video
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Equazioni alle derivate parziali|Poisson]]
[[Categoria:Teoria del potenziale]]
[[ar:معادلة بواسون]]
[[ca:Equació de Poisson]]
[[cs:Poissonova rovnice]]
[[de:Poisson-Gleichung]]
[[el:Εξίσωση Πουασόν]]
[[en:Poisson's equation]]
[[es:Ecuación de Poisson]]
[[et:Poissoni võrrand]]
[[fr:Équation de Poisson]]
[[he:משוואת פואסון]]
[[hi:प्वासों समीकरण]]
[[ja:ポアソン方程式]]
[[ko:푸아송 방정식]]
[[nl:Poissonvergelijking]]
[[pl:Równanie różniczkowe Poissona]]
[[pt:Equação de Poisson]]
[[ru:Уравнение Пуассона]]
[[sl:Poissonova enačba]]
[[sv:Poissons ekvation]]
[[tr:Poisson denklemi]]
[[uk:Рівняння Пуассона]]
[[zh:泊松方程]]
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