Spazio di Baire e Discussioni utente:188.152.20.157: differenze tra le pagine

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{{nota disambigua|la definizione del concetto dal punto di vista della [[teoria degli insiemi]]|[[spazio di Baire (teoria degli insiemi)]]}}

In [[matematica]] uno '''spazio di Baire''' è uno [[spazio topologico]] "sufficientemente ricco" di punti da poter permettere, intuitivamente parlando, particolari processi al limite. Deve il suo nome al matematico [[René-Louis Baire]] che per primo introdusse il concetto.

== Motivazione ==

In uno spazio topologico, ogni [[insieme chiuso]] con [[parte interna]] [[insieme vuoto|vuota]] può essere pensato come ''punto'' dello spazio. Il concetto di spazio di Baire cattura l'idea di "ampiezza", da questo punto di vista, di un insieme, nel senso che uno spazio di Baire non può essere generato come [[unione (teoria degli insiemi)|unione]] [[numerabile]] di suoi punti. Un esempio è dato da una arbitraria famiglia numerabile di rette in un piano: nessuna di tali famiglie è in grado di ricoprire il piano.

== Definizione ==

La definizione rigorosa di spazio di Baire è stata più volte modificata nel tempo, adattandola, di volta in volta, ai nuovi punti di vista proposti dal pensiero matematico. In primo luogo, vedremo la definizione moderna, per poi esaminare una definizione differente e più vicina a quella originariamente introdotta da Baire.

=== Definizione moderna ===

Uno spazio topologico si dice '''spazio di Baire''' se l'unione numerabile di ogni [[famiglia (matematica)|famiglia]] di insiemi chiusi con interno vuoto ha interno vuoto.

Tale definizione è equivalente ad ognuna delle seguenti proposizioni:

* Ogni [[intersezione (teoria degli insiemi)|intersezione]] numerabile di [[insieme aperto|insiemi aperti]] e densi è [[insieme denso|dens]]a.

* L'interno di ogni unione numerabile di insiemi densi in nessun luogo è vuoto.

* Se l'unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi di X ammette [[punto interno]], allora uno degli elementi di tale famiglia ammette un punto interno.

=== Definizione classica ===

Nella sua definizione originaria, Baire introdusse la nozione di categoria (da non confondere con la [[teoria delle categorie]]) nei seguenti termini:

Un sottoinsieme di uno spazio topologico ''X'' si dice:

* '''[[insieme mai denso|mai denso]]''' in ''X'' se l'interno della sua [[chiusura (topologia)|chiusura]] è vuoto

* di '''prima categoria''' o '''magro''' in ''X'' se lo si può ottenere come unione di una famiglia numerabile di insiemi densi in nessun luogo

* di '''seconda categoria''' in ''X'' se non è di prima categoria in ''X''

La definizione di spazio di Baire può allora essere enunciata come segue: uno spazio topologico ''X'' è uno spazio di Baire se ogni insieme aperto non vuoto è di seconda categoria in ''X''. Tale definizione è equivalente a quella moderna.

Un sottoinsieme ''A'' di ''X'' si dice ''comagro'' se il suo [[insieme complemento|complementare]] <math>X\setminus A</math> è magro.

== Esempi ==

* L'insieme '''R''' dei [[numeri reali]], con la topologia usuale, è uno spazio di Baire e, quindi, è di seconda categoria in sé stesso. L'insieme dei [[numeri razionali]] è di prima categoria in '''R''' mentre l'insieme dei [[numeri irrazionali]] è di seconda categoria in '''R'''.

* L'[[insieme di Cantor]] è uno spazio di Baire e, quindi, è di seconda categoria in sé stesso. È invece di prima categoria nell'intervallo [0, 1] con la topologia usuale.

* Il seguente insieme, avente [[misura di Lebesgue]] nulla, è di seconda categoria in '''R'''.

::<math>\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty} \left(r_{n}-{1 \over 2^{n+m} }, r_{n}+{1 \over 2^{n+m}}\right)</math>

:ove <math> \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} </math> è una [[successione (matematica)|successione]] di conteggio dei numeri razionali.

* L'insieme dei numeri razionali con la topologia usuale relativa, non è uno spazio di Baire, poiché è unione numerabile di insiemi chiusi con interno vuoto, i suoi stessi [[singoletto (matematica)|singoletti]].

== Teorema della categoria di Baire ==

Il [[teorema della categoria di Baire]] fornisce delle condizioni sufficienti affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire ed è uno dei teoremi fondamentali della [[topologia]] e dell'[[analisi funzionale]].

*('''TCB1''') Ogni spazio [[spazio metrico]] [[spazio completo|completo]] è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni spazio topologico [[omeomorfo]] ad un sottoinsieme aperto di uno [[spazio pseudometrico]] completo è uno spazio di Baire. In particolare, ogni [[spazio completo|spazio topologicamente completo]] è uno spazio di Baire.

*('''TCB2''') Ogni [[spazio di Hausdorff]] [[localmente compatto]] è uno spazio di Baire.

'''TCB1''' implica che ciascuno dei seguenti insiemi sia uno spazio di Baire:

* L'insieme '''R''' dei numeri reali

* L'insieme dei numeri irrazionali

* L'insieme di Cantor

* Ogni [[varietà]]

* Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire

== Proprietà ==

*Ogni spazio di Baire non vuoto è di seconda categoria in sé stesso, e ogni intersezione numerabile di sottoinsiemi aperti e densi di ''X'' è non vuota. L'[[unione disgiunta]] dell'insieme dei numeri razionali con l'[[intervallo unitario]] mostra che le due implicazioni inverse sono entrambe false.

*Ogni [[insieme aperto|sottospazio aperto]] di uno spazio di Baire è uno spazio di Baire.

*Si consideri una [[famiglia (matematica)|famiglia]] di funzioni [[funzione continua|continue]] ''f''_''n'':''X''→''Y'' con limite ''f'':''X''→''Y''. Se ''X'' è uno spazio di Baire, allora l'insieme dei punti in cui ''f'' non è continua è ''magro'' in ''X'', mentre l'insieme dei punti in cui ''f'' è continua è denso in ''X''.

==Voci correlate==

* [[gioco di Banach-Mazur]]

* [[Teoria descrittiva degli insiemi]]

==Bibliografia==

*Munkres, James, ''Topology'', 2nd edition, Prentice Hall, 2000.

*Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, ''Annali di Mat. Ser. 3'' '''3''', 1--123.

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Topologia generale]]

[[Categoria:Analisi funzionale]]

[[ar:مبرهنة باير]]

[[cy:Gofod Baire]]

[[en:Baire space]]

[[es:Espacio de Baire]]

[[fr:Théorème de Baire]]

[[ja:範疇 (数学)]]

[[nl:Categorie (topologie)]]

[[pl:Przestrzeń Baire'a]]

[[pms:Spassi ëd Baire]]

[[pt:Espaço de Baire]]

[[ru:Категория Бэра]]