Divisore e Discussioni utente:149.132.128.20: differenze tra le pagine

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{{IPcondiviso|Università degli Studi di Milano-Bicocca|3 maggio 2018}}

Nella [[matematica]], un '''divisore''' di un [[numero intero|intero]] ''n'' è un intero che divide ''n'' senza resto. Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto 42/7=6. Si dice anche che ''42 è divisibile per 7'' o che ''42 è un multiplo di 7'', e si scrive 7 | 42. I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero non nullo è un divisore di 0. La divisione per 0 non è definita. I numeri divisibili per 2 si chiamano [[numeri pari e dispari|pari]], mentre quelli che non lo sono si chiamano [[numeri pari e dispari|dispari]].

Il nome viene dall'operazione [[aritmetica]] della [[Divisione (matematica)|divisione]]: se ''a''/''b''=''c'' allora ''a'' è il [[Dividendo (algebra)|dividendo]], ''b'' è il divisore e ''c'' è il [[quoziente]].

== Regole per piccoli divisori ==

{{vedi anche|Criteri di divisibilità}}

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre decimali:

* un numero è divisibile per [[due|2]] se ([[se e solo se]]) l'ultima cifra è divisibile per due (cioè se è pari)

* un numero è divisibile per [[tre|3]] se la somma delle sue cifre è divisibile per 3

* un numero è divisibile per [[quattro|4]] se il numero formato dalle sue due ultime cifre è divisibile per 4

* un numero è divisibile per [[cinque|5]] se l'ultima cifra è 0 oppure 5

* un numero è divisibile per [[sei|6]] se è divisibile sia per 2 che per 3

* un numero è divisibile per [[sette|7]] se sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra il risultato è divisibile per 7 (ad esempio, 364 è divisibile per sette in quanto 36-2×4 = 28, che è divisible per 7). Se il numero è troppo grande, è possibile dividerlo in gruppi di tre cifre dalla destra alla sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo (ad esempio, invece di 1.048.576 è possibile fare la prova su 576-048+1 = 529, che non è divisibile per sette in quanto 52-18 = 34 non lo è)

* un numero è divisibile per [[otto|8]] se il numero dato dalle ultime tre cifre lo è

* un numero è divisibile per [[nove|9]] se la somma delle sue cifre lo è

* un numero è divisibile per [[dieci|10]] se la sua ultima cifra è 0

* un numero è divisibile per [[undici|11]] se la somma a segni alterni delle sue cifre è divisibile per 11 (ad esempio 182919 lo è in quanto 1-8+2-9+1-9 = -22 = -2×11)

* un numero è divisibile per [[dodici|12]] se è divisibile sia per 3 che per 4

* un numero è divisibile per [[tredici|13]] se sottraendo 9 volte l'ultima cifra dal numero privato di questa il risultato è divisibile per 13 (ad esempio 858 lo è in quanto 85-9×8 = 13, che chiaramente è divisibile per 13). Il metodo della divisione dei grandi numeri in gruppi di tre cifre, spiegato a proposito della divisibilità per 7, funziona anche in questo caso

* un numero è divisibile per [[quattordici|14]] se è divisibile sia per 2 che per 7

* un numero è divisibile per [[quindici|15]] se è divisibile sia per 3 che per 5

* un numero è divisibile per [[diciassette|17]] se è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 (numeri con più di due cifre)

* un numero è divisibile per [[diciannove|19]], dopo averlo scomposto nella forma <math>100a + b</math>, solo se è divisibile <math>a + 4b</math>

* un numero è divisibile per [[ventitre|23]] se è divisibile per 23 la somma del numero delle decine e del settuplo del numero delle sue unità

* un numero è divisibile per [[venticinque|25]] se (E SOLO SE) le sue ultime 2 cifre sono 00, 25, 50 o 75

== Proprietà ==

Alcune proprietà fondamentali:

* se ''a'' | ''b'' e ''a'' | ''c'', allora ''a'' | (''b'' + ''c'')

* se ''a'' | ''b'' e ''b'' | ''c'', allora ''a'' | ''c''

* se ''a'' | ''b'' e ''b'' | ''a'', allora ''a'' = ''b'' or ''a'' = -''b''

== Ulteriori informazioni ==

Un divisore positivo di ''n'' diverso da ''n'' stesso è chiamato ''divisore proprio''.

=== Numeri primi ===

Un intero ''n'' > 1 il cui unico divisore proprio è 1 viene chiamato [[numero primo]].

Qualunque divisore positivo di ''n'' è un prodotto di [[fattore primo|fattori primi]] di ''n'' elevati ad una qualche potenza (non superiore a quella presente nella [[fattorizzazione]] di ''n'' stesso). Questa è una conseguenza del [[teorema fondamentale dell'aritmetica]].

=== Numeri perfetti ===

Un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri è detto [[numero perfetto]]. I numeri minori della somma sono detti [[numero difettivo|difettivi]], quelli maggiori [[numero abbondante|abbondanti]].

=== Numero di divisori ===

Il numero totale di divisori positivi di ''n'' è la [[funzione moltiplicativa]] ''d''(''n'') (ad esempio, ''d''(42) = 8 = 2&times;2&times;2 = ''d''(2)&times;''d''(3)&times;''d''(7)).

La somma dei divisori positivi di ''n'' è un'altra funzione moltiplicativa &sigma;(''n'') (ad esempio, &sigma;(42) = 96 = 3&times;4&times;8 = &sigma;(2)&times;&sigma;(3)&times;&sigma;(7)).

Notiamo che se un numero ''p'' è primo allora ha due divisori, <math>p^2</math> ha tre divisori, etc etc. In generale <math>p^n</math> ha <math>n+1</math> divisori. Quindi se la [[fattorizzazione]] prima di ''n'' è data da:

:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \, ... \, p_n^{\nu_n} </math>

Allora il numero di divisori positivi di ''n'' è:

:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) ... (\nu_n + 1) </math>

ed ogni divisore è nella forma:

:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \, ... \, p_n^{\mu_n} </math>

Dove:

:<math> \forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i </math>

Ad esempio poiché

<math>36000=2^5\cdot 3^2\cdot 5^3</math>

allora

<math>d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6\cdot 3 \cdot 4=72</math>

e quindi 36000 ha 72 divisori.

=== Relazione indotta dalla divisibilità ===

La relazione | di divisibilità rende l'insieme <math>\mathbb N</math> degli interi non negativi un [[insieme parzialmente ordinato]], precisamente un [[Reticolo (matematica)|reticolo completamente distributivo]]. Il più grande elemento di questo reticolo è 0 ed il più piccolo è 1. L'operazione <math>\wedge</math> è rappresentata dal [[massimo comun divisore]] mentre la <math>\vee</math> dal [[minimo comune multiplo]]. Questo reticolo è isomorfo al duale del reticolo dei [[sottogruppo|sottogruppi]] del [[gruppo ciclico]] infinito <math>\mathbb Z</math>

== Regole generali di divisibilità ==

Se un intero ''n'' è scritto in [[sistema di numerazione|base]] ''b'', e ''d'' è un intero tale che ''b'' &equiv; 1 ([[aritmetica modulare|mod]] ''d''), allora ''n'' è divisibile per ''d''. Le regole date sopra per ''d''=3 e ''d''=9 sono casi speciali di questo (''b''=10).

Possiamo generalizzare ulteriormente questo metodo per trovare come controllare, in qualsiasi base, la divisibilità di qualsiasi intero per un qualsiasi intero minore; cioè, determinare se ''d'' | ''a'' in base ''b''.

Per prima cosa cerchiamo una coppia di interi (''n'', ''k'') tali che ''b''^''n'' &equiv; ''k'' (mod ''d'').

Adesso, invece di sommare le cifre, prendiamo ''a'' (che ha ''m'' cifre) e moltiplichiamo le prime ''m''-''n'' cifre per ''k'' ed aggiungiamo il prodotto alle ultime ''k'' cifre, e ripetiamo se necessario. Se il risultato è un multiplo di ''d'' allora anche il numero originario è divisibile per ''d''. Qualche esempio:

Poiché 10³ &equiv; 1 (mod 37) (''b''=10, ''n''=3, ''k''=1, ''d''=37) allora il numero ''a''=1523836638 si può dimostrare divisibile per 37 in quanto: 1523836&times;1+638=1524474, 1524&times;1+474=1998, 1&times;1+998=999 (o, più semplicemente, visto che in questo caso ''k''=1: 1+523+836+638=999); e 999 è divisibile per 37 per la conguenza vista sopra.

Ancora, 10² &equiv; 2 (mod 7) (''b''=10, ''n''=2, ''k''=2, ''d''=7), se ''a''=43106 otteniamo 431&times;2+06=868; ripetiamo: 8&times;2+68 = 84 che è un multiplo di 7.

Si noti che non c'è una terna (''n'', ''k'', ''d'') unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 &equiv; 3 (mod 7) e quindi 1293&times;3 + 6 = 3885, 388&times;3 + 5 = 1169, 116&times;3 + 9 = 357, 35&times;3 + 7 = 112, 11&times3 + 2 = 35, 3&times;3 + 5 = 14 ed infine 1&times;3 + 4 = 7.

Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente.

Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 10⁴ &equiv; 4 (mod 17) è il primo ''n'' dove ''k'' < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove ''n'' e ''k'' sono relativamente piccoli.

== Generalizzazioni ==

Si potrebbe parlare del concetto di divisibilità in ogni [[dominio d'integrità]]. Vedi la voce relativa per una definizione in questo contesto.

== Voci correlate ==

* [[Tavola dei fattori primi]] &mdash; una tavola con la fattorizzazione di numeri da 1 a 1000

* [[Tavola dei divisori]] &mdash; una tavola con i divisori sia primi che non primi dei numeri da 1 a 1000

* [[Criteri di divisibilità]]

* [[Numero primo]]

* [[Funzione phi di Eulero]]

== Collegamenti esterni ==

*{{en}} [http://www.cut-the-knot.org/blue/divisibility.shtml criteri di divisibiltà ]

*{{en}} [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml divisibilità per 9 e per 11 ]

* [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml#div7 divisibiltà per 7]

* [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/81.shtml divisibiltà per 81]

* [http://www.farfarfar.com/math/calculators/factoring/ calcolatore di fattori] &mdash; calcolatore che mostra i fattori primi o i divisori di un numero dato

*{{en}} [http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Fattorizzazione di grandi numeri col metodo delle curve ellittiche (accetta anche le espressioni) - Sito personale di Dario Alpern]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[Categoria:Aritmetica]]

[[da:Divisor]]

[[de:Teilbarkeit]]

[[en:Divisor]]

[[es:Factor propio]]

[[fr:Facteur (mathématiques)]]

[[ja:約数]]

[[nl:Deelbaar]]

[[pl:Dzielnik]]

[[pt:Divisor]]

[[ru:Делитель]]

[[sl:Delitelj]]

[[zh:因數]]