Successione di Cauchy e Targhe d'immatricolazione di Cipro: differenze tra le pagine

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Le '''[[targa d'immatricolazione|targhe d'immatricolazione]] di [[Cipro]]''' erano di un unico formato per l'intera isola fino al [[1974]], quando, quasi dieci anni prima di autoproclamarsi indipendente, la [[Repubblica Turca di Cipro del Nord]] deliberò di adottare targhe proprie.

In [[matematica]] si definiscono '''successioni di [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]''' (o '''successioni fondamentali''') le successioni <math> \{x_n \}_{n\in \mathbb N}</math> a valori in uno [[spazio metrico]] <math> (X,d) </math> tali che:

:<math>\forall \, \varepsilon >0 \; \exist \, N(\varepsilon) = N : \forall \, m,n \geq N \quad d(x_n, x_m ) <\varepsilon </math>

== Targhe della Repubblica di Cipro ==

Questa definizione indica che al tendere degli indici all'infinito la distanza (definita nello spazio <math>X</math>) tra i due elementi della successione tende a 0. Da notare che la definizione non implica che la successione debba necessariamente convergere né che, se converge, l'elemento a cui la successione converge appartenga allo spazio.

[[Immagine:2013 Cyprus sample licence plate.png|thumb|Modello di targa greco-cipriota standard con formato introdotto nell'estate del 2013|170x170px]]

[[Immagine:Cyprus license plate KQL-343.jpg|thumb|Targa posteriore con formato emesso dal 2004 a giugno 2013|170x170px]]

Le targhe per [[autoveicoli]] e [[motoveicoli]] immatricolati nella [[Repubblica di Cipro]] sono attualmente composte da tre lettere e tre numeri disposti su una o due linee (ad esempio: ABC 132 oppure ABC/123). Il [[font]] utilizzato è il [[FE-Schrift]]. A sinistra sono posizionate la [[Simboli europei|banda blu con le dodici stelle]] dell'[[Unione Europea]] e la [[sigla automobilistica internazionale]] dello Stato, ossia '''CY''', di colore bianco. <br>Le dimensioni esatte delle targhe cipriote fino a giugno del 2013 erano simili a [[targhe d'immatricolazione britanniche|quelle britanniche]], con caratteri grigio argento su fondo nero dal [[1956]] al 1973, neri su fondo bianco per la targa anteriore e giallo per quella posteriore dal [[1973]]. Da giugno [[2013]] le targhe emesse sono più conformi agli standard europei (520 × 110 mm), ossia anche quelle posteriori hanno cifre e lettere nere in campo bianco che, come nei sistemi precedenti, non forniscono indicazioni sulla provenienza. <br>Tra le lettere e il blocco numerico sono indicati in alto il mese e in basso l'anno di immatricolazione del veicolo mediante due piccoli numeri di due cifre posizionati uno sopra l'altro (es.: 06=giugno, 18=2018). Soltanto alcune categorie di automezzi, cioè [[camion]], [[furgoni]], [[taxi]] e i veicoli con targhe su doppia linea, dovettero sostituire le placche del vecchio formato con quelle del nuovo entro il 3 dicembre 2013.

=== Formati precedenti al 2004 ===

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico <math>(X,d)</math> hanno un limite in <math>X</math>, allora <math>(X,d)</math> viene chiamato [[spazio completo]]. In ogni caso se una successione è [[Convergenza|convergente]] allora è anche di Cauchy.

[[Immagine:Cyprus license plate 1990-2004 ETM 415.jpg|thumb|Targa posteriore con formato 1990–2004|170x170px]]

[[Immagine:Cyprus license plate 1956-1990 SX 732.jpg|thumb|left|Piastra posteriore con formato 1973–1990|170x170px]]

[[Immagine:Cyprus 1950s-1960s license plate - Flickr - woody1778a.jpg|thumb|Formato 1956–1973|170x170px]]

Gli standard adottati erano quelli del [[Regno Unito]], tuttavia era possibile richiedere targhe con formato americano. Dal [[1956]] al 1990 dalla combinazione delle due lettere alla sinistra (che precedevano tre cifre) era possibile risalire all'anno di immatricolazione del veicolo. Nel [[1990]] venne aggiunta una terza lettera, la prima delle quali identificava l'anno di immatricolazione (es.: A = 1990/91, B = 1992, C = 1993, D = 1994). Dal [[1995]], a partire dalla combinazione "EAA", le targhe assegnate non fornivano più tale indicazione e le lettere utilizzate erano quelle comuni all'[[alfabeto latino]] e a quello [[Alfabeto greco|greco]]: A, B, E, H, K, M, N, P, T, X, Y e Z. <br>Dal [[1973]] al 2004 le targhe erano di plastica e dal [[2004]], anno dell'adesione del Paese all'[[Unione europea|UE]] e dell'introduzione della banda blu a sinistra, di metallo.

=== Targhe speciali ===

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni [[sottosuccessione]] di una successione di Cauchy che tende ad un limite ''L'' tende ad ''L''.

[[Immagine:Cyprus license plate 2001 dealer.jpg|thumb|170px|Targa-prova attualmente in uso]]

[[Immagine:cyprus license plate 2004 trailer.jpg|thumb|170px|Esempio di formato per rimorchi (2004–2013)]]

[[Immagine:Cyprus temporary plate.jpg|thumb|Piastre (anteriore in alto e posteriore in basso) per immatricolazioni provvisorie (vecchio formato)|170x170px]]

[[Immagine: Cyprus Corps Diplomatique Netherlands ambassador licence plate.jpg|thumb|Targa diplomatica (49 = [[Paesi Bassi]])|170x170px]]

*[[Immagine:Licence plate of the president of Cyprus.jpg|thumb|Placca di una vettura ufficiale del Presidente della Repubblica|165x165px]]'''Targhe-prova per titolari di autofficine o commercianti di veicoli''' — fino a giugno del [[2001]] erano composte dalle lettere fisse '''DL''' (che stavano per '''''D'''ea'''l'''er'') e una o due cifre, avevano sfondo bianco e caratteri rossi ed erano un po' più piccole delle targhe americane. A partire dal mese ed anno sopra specificati è stata introdotta la scritta "'''ΔΟΚIΜΗ'''" (era "'''ΔΟΚIΜΗ - TEST'''" fino al [[2004]]), che in [[lingua greca|greco]] significa "prova", preceduta da un sigillo in rilievo e seguita da due gruppi di cifre separati da un trattino. Il colore dei caratteri è rimasto invariato.

* '''Veicoli adibiti a trasporto pubblico''' ([[taxi]] e [[autobus]]) — fino a giugno 2013 erano composte da quattro lettere e tre numeri; la prima lettera era sempre una '''T''' (es.: TABC 123). Da giugno 2013 si distinguono solo per lo sfondo giallo sia nelle targhe anteriori che in quelle posteriori.

* '''Vetture a noleggio''' — hanno caratteri neri su sfondo rosso; il blocco alfanumerico consta di quattro lettere e tre numeri. La prima lettera è sempre una '''Z'''.

* '''Autocarri''' — sono attualmente composte da quattro cifre e due lettere.

* '''Rimorchi e semirimorchi''' — la sequenza alfanumerica consiste in un numero di cifre variabile da una a cinque seguito dal codice '''CT''' (che sta per '''''C'''yprus '''T'''railer'') o (fino a giugno [[2013]]) '''TR'''.

* '''Targhe temporanee''' — si distinguono per una fascia verticale rossa nel margine destro, sulla quale sono riportati o due numeri indicanti il mese (sopra) e l'anno (sotto) di validità massima, o un solo numero indicante l'anno di scadenza (es.: 07 = 2007).

* '''Veicoli intestati a proprietari stranieri''' — queste targhe erano composte da un numero variabile di cifre (non più di quattro) seguito dalla lettera '''V''' (= '''''V'''isitor'') e altre due cifre indicanti l'anno di validità (ad esempio 99 = 1999). Dal [[2000]] a tutto il [[2003]] si poteva trovare scritto l'anno di scadenza per intero. Dal [[2004]] questo tipo di piastre non può più essere emesso.

* '''Targhe diplomatiche''' — dal [[1977]] al 1990 avevano caratteri neri su sfondo verde e in alto a sinistra era posizionato il codice '''CD''' ('''''C'''orps '''D'''iplomatique'') a caratteri ridotti. Nel [[1990]] il colore delle targhe posteriori diventò giallo e la scritta '''CD''' delle stesse dimensioni delle cifre. Da giugno [[2013]] sono emesse targhe sia anteriori sia posteriori nere su sfondo bianco che consistono in un numero di una o due cifre seguito dal codice '''CD''' o '''AT''' (che sta per '''''At'''taché'', cioè "addetto diplomatico") e da un'ulteriore cifra.

* '''Veicoli della Forza di ''peacekeeping'' delle Nazioni Unite a Cipro ([[UNFICYP]])''' — hanno targhe con i caratteri bianco-argento in campo azzurro e le lettere iniziali '''UN'''.

* '''[[Guardia nazionale cipriota]]''' — una [[bandiera greca]] stilizzata precede le lettere '''EΦ''' (che in greco sono le iniziali di '''Ε'''θνική '''Φ'''ρουρά / ''Ethnikí Frourá'', cioè "Guardia nazionale") ed un numero progressivo che varia da una a cinque cifre.

* '''Veicoli dell'Arcivescovo di Cipro''' — nei veicoli riservati all'[[Arcidiocesi di Nicosia|Arcivescovo di Cipro]] si trovano solamente le lettere greche '''A.K.''' = '''A'''ρχιεπίσκοπος '''Κ'''ύπρος.

* '''Veicoli del [[Capi di Stato di Cipro|Presidente della Repubblica]]''' — sono targhe costituite solamente dello [[Stemma di Cipro|stemma della repubblica]], che campeggia anche nella [[bandiera di Cipro|bandiera nazionale]].

=== Territori di sovranità britannica ===

==Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy==

[[File:SBAA-22 police licence plate Cyprus.jpg|thumb|Targa anteriore di un veicolo dei territori di sovranità britannica di Akrotiri e Dhekelia|170x170px]]

I veicoli delle autorità amministrative e della Polizia civile nei territori di [[Akrotiri e Dhekelia]], occupati da basi militari della [[Gran Bretagna]], sono immatricolati con targhe che si contraddistinguono per la mancanza della banda blu e sono composte dalle lettere '''SBAA''' ('''''S'''overeign '''B'''ase '''A'''reas '''A'''dministration'') seguite da un numero che avanza progressivamente da "1". I caratteri possono essere su un'unica o doppia linea; le piastre anteriori sono bianche, quelle posteriori gialle. <br>Gli stessi colori sono utilizzati nelle targhe dell'automobile del Comandante in Capo delle basi suddette, alla quale è riservata la sigla '''CBF''' (che sta per '''''C'''ommander-in-Chief of the '''B'''ase Area '''F'''orces'') che precede la sola cifra "1", con gli stessi colori sopra specificati. Fino al [[1980]] le vetture di quest'autorità avevano la combinazione alfanumerica '''RAF 1''' (le lettere sono le iniziali di ''[[Royal Air Force]]'') con caratteri argento su fondo nero. <br>Gli altri veicoli militari hanno in dotazione targhe uguali a quelle britanniche dello stesso tipo, mentre i veicoli privati hanno targhe cipriote.

== Targhe della Repubblica Turca di Cipro del Nord ==

Prima di enunciare e dimostrare i teoremi, è bene introdurre la definizione di diametro di un insieme.

[[Immagine:Northern Cyprus registration plate 2011.jpg|thumb|170px|Piatto d'immatricolazione anteriore di un veicolo di Cipro del Nord]]

[[Immagine:CD license plate of North Cyprus 02.JPG|thumb|Targa per auto a noleggio|170x170px]]

[[Immagine:North Cyprus diplomatic license plate CD BE 198.jpg|thumb|Targa diplomatica|170x170px]]

Le targhe automobilistiche utilizzate nella [[Repubblica Turca di Cipro del Nord]] hanno identico formato di quelle emesse nella repubblica greco-cipriota fino al [[1990]], dalle quali si differenziano unicamente per il contorno rosso. Le lettere (che variano da una a tre) sono seguite da un numero generalmente di tre cifre; le targhe anteriori hanno lo sfondo bianco, quelle posteriori giallo, come quelle del [[Targhe d'immatricolazione britanniche|Regno Unito]]. Solo occasionalmente si vedono targhe con la [[Bandiera di Cipro del Nord|bandiera della repubblica turco-cipriota]] o la banda blu a sinistra, in quanto questo Paese di fatto non fa parte dell'[[Unione Europea]]. <br>È possibile richiedere, pagando una sovrattassa, una targa personalizzata composta da una libera combinazione di cifre e/o lettere che non superi il limite di otto caratteri.

Alcune targhe speciali hanno identico formato di quelle emesse nella Repubblica di Cipro:

Si dice ''diametro'' di un certo insieme <math>E</math> in uno spazio metrico <math>(X,d)</math> l'[[estremo superiore]]

* le piastre delle automobili prese a noleggio hanno caratteri rossi in campo nero e la lettera iniziale '''Z''';

* le targhe dei veicoli adibiti al trasporto pubblico antepongono una '''T''' al blocco alfanumerico ed hanno uno sfondo giallo;

* le targhe diplomatiche si distinguono per i caratteri neri in campo verde e il codice '''CC''' (Corpo consolare) o '''CD''' (Corpo diplomatico) in alto a sinistra, di dimensioni ridotte.

Si differenziano invece dalle targhe della zona meridionale dell'isola:

* le targhe delle autovetture della polizia, delle autorità governative locali e dei veicoli di pubblica emergenza, le quali iniziano la sequenza alfanumerica con il codice '''RHA''' (caratteri neri su sfondo bianco per le vetture delle autorità governative e le ambulanze, bianchi su sfondo nero per i veicoli della polizia e dei vigili del fuoco);

* i piatti d'immatricolazione degli automezzi militari, che consistono in un un numero composto da un massimo di sei cifre di colore nero;

* le targhe dei veicoli intestati a proprietari stranieri per brevi periodi, che si riconoscono per i caratteri blu o (raramente) neri e il codice '''ZZ''' seguito da quattro cifre;

* le targhe dei veicoli intestati a proprietari stranieri per periodi lunghi, che si contraddistinguono per il blocco alfanumerico '''L000L''' (L = lettera, 0 = cifra) e i caratteri gialli su sfondo marrone;

* le piastre per immatricolazioni provvisorie, a caratteri blu o (raramente) neri in campo bianco e composte dal codice '''ZT''', un numero di cifre variabile da una a quattro ed un'ulteriore lettera;

* le targhe dei veicoli riservati alle più alte cariche dello Stato (deputati e ministri), composte solo da un numero di tre cifre di colore rosso (di solito la prima è uno zero);

* le placche delle vetture ufficiali del [[Mehmet Ali Talat|Presidente della Repubblica]], le quali si distinguono per le lettere fisse '''KKTCB''' ('''''K'''uzey '''K'''ıbrıs '''T'''ürk '''C'''umhuriyeti Cumhur'''b'''aşkanı'', in [[lingua turca|turco]] "Presidente della Repubblica Turca di Cipro del Nord") di colore giallo su sfondo rosso<ref>In alcune targhe è visibile soltanto uno stemma, al centro, in campo rosso.</ref>;

* le targhe dei rimorchi, il cui colori sono uguali a quelle standard ma sono disposte su due righe: in alto si trovano tre o quattro cifre e in basso il codice '''R''';

* le piastre usate da proprietari di concessionarie, garage o autofficine, i cui caratteri sono bianchi su sfondo rosso: le lettere '''TR''' fisse (che stanno per '''''Tr'''ade'') precedono un numero progressivo che inizia da "001".

== Note ==

:<math> \sup_{p,q \in E} \, d(p,q)</math>

<references/>

== Bibliografia ==

e si indica con

* Parker N. - Weeks J., ''Registration Plates of the World'' (4th Edition), L J Print Group, Yeovil, Somerset, United Kingdom 2004, pp. 177-180. ISBN 0-9502735-7-0.

== Altri progetti ==

:<math> \mbox{diam } E </math>

{{interprogetto|commons=Category:License plates of Cyprus}}

== Collegamenti esterni ==

in analogia con il diametro del [[cerchio]]: comunque presi due punti appartenenti ad un cerchio la loro distanza è sempre minore, al più uguale al diametro del cerchio stesso.

* http://plaque.free.fr/eur/cy

* http://plaque.free.fr/eur/cy/?path=./_NORTH/

* http://www.worldlicenseplates.com/world/EU_NCYP.html

{{targhe automobilistiche europee}}

===Teorema della limitatezza delle successioni Cauchy===

{{portale|trasporti|Cipro}}

[[Categoria:Cipro]]

Sia <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>(X,d)</math>. Allora <math>\{p_n\}</math> è limitata in <math>X</math>.

[[Categoria:Targhe d'immatricolazione|Cipro]]

Infatti, per definizione di successione di Cauchy,

:<math>\forall\, \varepsilon >0 \; \exist\, N(\varepsilon) = N : \forall \, m,n \geq N \quad d(x_n, x_m ) <\varepsilon</math>

dunque a maggior ragione

:<math>\exist\, \varepsilon = 1 : \exist N_* : \forall \, m,n \geq N_* \quad d(x_n, x_m ) < 1\,,</math>

da cui

:<math> \forall \, n \quad d(n,N_*) < 1 \, .</math>

In più

:<math>\exist \, r > 0 : r = \max\{d(p_1,p_2),d(p_1,p_3),...,d(p_1,p_N),d(p_2,p_3),...,d(p_2,p_N),...,d(p_{N-1},p_N)\}\,.</math>

Dunque

:<math> \forall \, m,n \; d(p_n,p_m) < 1 + r </math>

e la successione è limitata.

===Teorema 2: dell'implicazione dalla convergenza===

{{Matematica voce|Teorema|Implicazione dalla convergenza|

Sia <math>\{p_n\}</math> convergente. Allora <math>\{p_n\}</math> è una successione di Cauchy.

}}

''Dimostrazione.'' Per definizione di convergenza:

:<math> \forall \, \varepsilon > 0 \; \exist \, N(\varepsilon) = N : \forall \, n \geq N \; \exist \, p : d(p_n,p) < \varepsilon \,.</math>

Dunque esiste un indice di successione <math>m \geq n</math> per cui, applicando la [[disuguaglianza triangolare]], si ha

:<math> d(p_n,p_m) \leq d(p_m,p) + d(p,p_n) < 2 \, \varepsilon \,. </math>

Per cui il teorema è dimostrato.

===Teorema 3: della convergenza in spazi metrici===

{{Matematica voce|Teorema|Convergenza in spazi metrici|

Sia <math>(X,d)</math>, con <math>X</math> [[insieme compatto|compatto]] e <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>X</math>. Allora <math>\{p_n\}</math> converge a qualche punto di <math>X</math>.

}}

''Dimostrazione.'' Sia, come da enunciato, <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy. Per ogni <math>N</math> numero naturale, si costruisca <math>E_N</math> nel seguente modo:

:<math>E_N \,:= \, \{p_N,p_{N+1},p_{N+2},...\} \,.</math>

:<math> \forall \, N, \, \overline{E}_N \subset X</math>

dove <math> \overline{E} </math> è la chiusura di <math>E</math> (unione dell'insieme con i suoi [[punto di accumulazione|punti di accumulazione]]): trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui

:<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \! \mbox{diam } \overline{E}_N = 0 \,.</math>

Inoltre

:<math>E_N \supset E_{N+1} \Rightarrow \overline{E}_{N} \supset \overline{E}_{N+1} \Rightarrow \exist ! \, p : \forall \, N \; p \in X \,.</math>

A questo punto,

:<math> \forall \, \varepsilon > 0 \; \exist \, \tilde{N} : \forall \, N \geq \tilde{N}, \; \mbox{diam}\,\overline{E}_N<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \, q \in \overline{E}_N, \; d(p,q) < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \, n \geq \tilde{N}, \; d(p,p_n) < \varepsilon </math>

il che implica <math> p_n \rightarrow p </math>, ovvero la successione converge.

===Teorema 4: della completezza di R^''k''===

Uno spazio metrico si dice [[insieme completo|completo]] quando la condizione di Cauchy per le successioni è sufficiente alla convergenza.

{{Matematica voce|Teorema|Completezza di <math> \mathbb{R}^k </math>|

In <math>\mathbb{R}^k</math>, ogni successione di Cauchy converge.

}}

''Dimostrazione.'' Presa una successione di Cauchy <math> \{\mathbf{x}_n\} </math> a valori in <math> \mathbb{R}^k </math> sia come per il Teorema 3

:<math> E_N := \{\mathbf{x}_N : N = 1,2,...\} \,.</math>

Allora è possibile costruire per qualche <math>N</math> un <math> E_n : n \geq N </math> tale che <math> \mbox{diam} \, E_n < 1 \,.</math> Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito: quello dell'insieme <math> \{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_N\} </math>; dall'altra c'è <math>E_N</math>. Per il [[teorema di Heine-Borel]] un sottoinsieme limitato in <math>\mathbb{R}^k</math> ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del Teorema 3.

Questo dimostra la completezza di <math> \mathbb{R}^k </math>.

== Numeri razionali e numeri reali ==

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei [[numero razionale|numeri razionali]], la successione

:<math>x_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>

dove <math>F_n</math> sono i [[numeri di Fibonacci]], è di Cauchy e tende ad un numero che verifica <math>x^2=x+1</math>, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei [[numero reale|numeri reali]] a partire dai razionali.

==Voci correlate==

*[[Successione (matematica)|Successione]]

*[[Criterio di convergenza di Cauchy]]

==Bibliografia==

*[[Walter Rudin]], ''Principles of mathematical analysis'', (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Successioni]]

[[ar:متتالية كوشي]]

[[bg:Редица на Коши]]

[[ca:Successió de Cauchy]]

[[cs:Cauchyovská posloupnost]]

[[da:Cauchyfølge]]

[[de:Cauchy-Folge]]

[[el:Ακολουθία Κωσύ]]

[[en:Cauchy sequence]]

[[eo:Koŝia vico]]

[[es:Sucesión de Cauchy]]

[[et:Fundamentaaljada]]

[[fi:Cauchyn jono]]

[[fr:Suite de Cauchy]]

[[he:סדרת קושי]]

[[hu:Cauchy-sorozat]]

[[is:Cauchyruna]]

[[ja:コーシー列]]

[[ko:코시 수열]]

[[nl:Cauchyrij]]

[[no:Cauchyfølge]]

[[pl:Ciąg Cauchy'ego]]

[[pt:Sucessão de Cauchy]]

[[ro:Șir Cauchy]]

[[ru:Фундаментальная последовательность]]

[[sk:Cauchyho postupnosť]]

[[sr:Кошијев низ]]

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[[vi:Dãy Cauchy]]

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