Teoria del caos: differenze tra le versioni

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[[File:Lorenz attractor yb.svg|thumbminiatura|[[Attrattore di Lorenz]]]]

[[File:Mandelbrot sequence new.gif|miniatura|Animazione della struttura del [[frattale]] [[Insieme di Mandelbrot|di Mandelbrot]]]]

In [[matematica]] e [[fisica]] la '''teoria del caos''' è lo studio, attraverso [[modello matematico|modelli]] propri della [[fisica matematica]], dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]] che esibiscono una sensibilità [[esponenziale]] rispetto alle [[Condizione al contorno|condizioni iniziali]].<ref name=ott>{{cita libro|cognome = Edward |nome = Ott| titolo = Chaos in Dynamical Systems| pagine pp= 15-19 | editore = Cambridge University Press | anno = 2002}}</ref> I sistemi di questo tipo, pur governati da [[Legge fisica|leggi]] [[determinismo|deterministiche]], sono in grado di esibire un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.<ref>{{cita web|httpurl=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/106013/chaos-theory|titolo=chaos theory|accesso=22 gennaio 2012}}</ref> Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale [[asintoto|asintotico]] di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.<ref name=ott />

== Storia ==

[[File:Streichholz.jpg|thumbminiatura|Fumo di un [[fiammifero]] acceso]]

[[Storia della scienza|Storicamente]] la nascita dello studio dei fenomeni caotici si ha con il [[problema dei tre corpi]], un [[problema della dinamica|problema di dinamica]] della [[fisica matematica]] applicato alla [[meccanica celeste]], affrontato in primis dai [[matematico|matematici]] [[Joseph-Louis Lagrange]] e [[Henri Poincaré]].

La nascita vera e propria di questa teoria scientifica, come corpo di conoscenze esteso, si verifica però nel 1963, quando [[Edward Norton Lorenz]] pubblica il suo articolo ''Deterministic Nonperiodic Flow'', nel quale tratta del comportamento caotico in un sistema semplice e deterministico, con la formazione di un [[attrattore strano]].

Negli anni successivi numerose scoperte in questo ambito fatte da [[Mitchell J. Feigenbaum]], che scoprì l'universalità di alcune costanti a partire da uno studio sull'[[mappa logistica|applicazione logistica]], lo portarono ad una teoria sullo sviluppo della turbolenza nei fluidi. Il matematico belga [[David Ruelle]] e il fisico olandese [[Floris Takens]] furono i pionieri della teoria degli attrattori strani.

== Descrizione ==

Nell'uso comune, "''caos''" significa "''uno stato di disordine''". Tuttavia, nella teoria del caos, il termine viene definito con maggiore precisione. Anche se non esiste una definizione matematica universalmente accettata di ''caos'', una definizione comunemente utilizzata afferma che un [[sistema dinamico]] deve avere le seguenti caratteristiche per essere classificato come caotico:<ref>{{cita libro|titolo=A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments|url=https://archive.org/details/firstcourseindyn0000hass|autore=Hasselblatt, Boris|coautore=Anatole Katok|anno=2003|editore=Cambridge University Press|isbn=0-521-58750-6}}</ref>

# deve essere sensibile alle [[condizioni iniziali]];

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# deve avere un [[insieme denso]] di [[Orbita (matematica)|orbite periodiche]].

=== Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ===

{{vedi anche|Effetto farfalla}}

''Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali'' significa che, in un sistema caotico, a variazioni infinitesime delle [[condizioni iniziali]] corrispondono variazioni significative del comportamento futuro. In altre parole, ogni configurazione di un sistema caotico è arbitrariamente vicina ad un'altra con una traiettoria futura completamente diversa.

La sensibilità alle condizioni iniziali è comunemente nota come "effetto farfalla", effetto così chiamato per via del titolo di una relazione presentata da [[Edward Norton Lorenz]] nel 1972 all'Associazione Americana per l'Avanzamento della Scienza a Washington, DC, dal titolo ''La prevedibilità: Il battere delle ali di una farfalla in Brasile provoca un tornado in Texas?''.<ref>{{cita web|titolo=1972/Lorenz|url=http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf|autore=Edward Norton Lorenz|data=21 maggio 2015|accesso=21 maggio 2015|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20130612164541/http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf|urlmorto=sì}}</ref> Il movimento delle ali di una farfalla rappresenta un piccolo cambiamento nella condizione iniziale del sistema, cheil quale provoca una catena di eventi che portano a fenomeni di scala sempre più vasta. Se la farfalla non avesse sbattuto le ali, la traiettoria del sistema sarebbe stata molto diversa.

[[File:Dszpics1A tornado near Anadarko, Oklahoma, on May 3, 1999.jpg|thumbminiatura|upright=1.4|Una [[tromba d'aria]] in [[Oklahoma]]. Il [[tempo meteorologico]] è un classico esempio di sistema caotico.]]

È stato dimostrato che in alcuni casi le ultime due proprietà elencate sopra effettivamente implicano sensibilità alle condizioni iniziali,<ref>{{cita libro |autore=Elaydi, Saber N. |titolo=Discrete Chaos |editore=Chapman & Hall/CRC |anno=1999 |isbn=1-58488-002-3 |paginep=117 }}</ref><ref>{{cita libro |autore=Basener, William F. |titolo=Topology and its applications |editore=Wiley |anno=2006 |isbn=0-471-68755-3 |paginep=42 }}</ref> e, se l'attenzione è limitata a intervalli, la seconda proprietà implica le altre due<ref>{{cita pubblicazione |autore=Vellekoop, Michel; Berglund, Raoul |titolo=On Intervals, Transitivity = Chaos |rivista=The American Mathematical Monthly |volume=101 |edizione=4 |pp=353–5353-5 |data=aprile 1994 |jstor=2975629 |doi=10.2307/2975629}}</ref> (un'alternativa, e in generale più debole, definizione di caos utilizza solo le prime due proprietà in lista sopra).<ref>{{cita libro |autore=Medio, Alfredo; Lines, Marji |titolo=Nonlinear Dynamics: A Primer |editore=Cambridge University Press |anno=2001 |isbn=0-521-55874-3 |paginep=165 }}</ref> È interessante notare che la proprietà con conseguenze pratiche più significative, la sensibilità alle condizioni iniziali, è ridondante nella definizione, poiché implicita dain due (o per gli intervalli, una) proprietà puramente [[topologia|topologicatopologiche]], che sono quindi di maggiore interesse per i matematici.

UnaSe conseguenzasi dellahanno sensibilitàsolo allepochi condizionidati inizialidello èstato chedel sesistema sisu partecui conbasarsi, soltantocome unaspesso quantitàsuccede limitatanelle disimulazioni informazionidei sullosistemi [[stato (fisica)|stato del sistema]]climatici, comeper avvienevia didella solitosensibilità inalle pratica,condizioni allorainiziali ilpossono futuroessere delfatte sistemaprevisioni nonche saràsono piùaffidabili prevedibilesolo oltreentro un certo intervallo di tempo. QuestoPer èle familiareprevisioni neldel casotempo delatmosferico meteo,di chesolito èquesto inintervallo genereè prevedibile solodi circa una settimana in anticipo.<ref name="RGW">{{cita libro |autore=Watts, Robert G. |titolo=Global Warming and the Future of the Earth |url=https://archive.org/details/globalwarmingfut00watt_399 |editore=Morgan & Claypool |anno=2007 |paginepp=[https://archive.org/details/globalwarmingfut00watt_399/page/n22 17] }}</ref> Naturalmente questoQuesto non significavuol dire che non possiamoci diresiano nullalimiti suprevedibili eventiper lontaniil nelsistema: futuro;ad ciesempio sonoper alcunele restrizioniprevisioni sulclimatiche sistema.possiamo Con tempo meteorologico, sappiamodire che la temperatura sulla Terra non potràsarà mai raggiungeretale da ifar 100bollire gradigli Celsiusoceani o scendereda afarli -130ghiacciare; gradituttavia, Celsiuspur sullasapendo Terrache ela chetemperatura oscillaaumenta cone lediminuisce durante stagionil’anno, ma non siamo in grado dipossiamo prevedere esattamente inquando qualee giorno avremo la temperatura più calda dell'annoquanto. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è quindi l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali.

In termini più matematici, l'[[esponente di LyapunovLjapunov]] misura il grado di sensibilità alle condizioni iniziali. Date due traiettorie di partenza nello [[spazio delle fasi]] infinitamente vicine con separazione iniziale <math>\delta \mathbf{Z}_0</math>, queste divergono nel futuro al tasso esponenziale di

:<math>| \Delta \mathbf{Z} (t) | \approx e ^ {\lambda t} | \delta \mathbf{Z}_0 | </math>

dove <math>t</math> è il tempo e <math>\lambda</math> è l'esponente di Ljapunov.

dove <math>t</math> è il tempo e <math>\lambda</math> è l'esponente di Lyapunov. La velocità di separazione dipende dall'orientamento del vettore separazione iniziale, per cui vi è un intero spettro di esponenti di Lyapunov. Il numero di esponenti di Lyapunov è uguale al numero di dimensioni dello [[spazio delle fasi]], anche se è comune riferirsi solo per il più grande. Per esempio, l'esponente di Lyapunov massimo è più spesso utilizzato perché determina la prevedibilità complessiva del sistema. Un esponente di Lyapunov massimo positivo è generalmente considerato come un'indicazione che il sistema è caotico.

dove <math>t</math> è il tempo e <math>\lambda</math> è l'esponente di Lyapunov. La velocità di separazione dipende dall'orientamento del vettore separazione iniziale, per cui vi è un intero spettro di esponenti di LyapunovLjapunov. Il numero di esponenti di LyapunovLjapunov è uguale al numero di dimensioni dello [[spazio delle fasi]], anche se è comune riferirsi solo per ilal più grande di essi. Per esempio, l'esponente di LyapunovLjapunov massimo è più spesso utilizzato perché determina la prevedibilità complessiva del sistema. Un esponente di LyapunovLjapunov massimo positivo è generalmente considerato come un'indicazione che il sistema è caotico.

===Transitività topologica===

[[File:Chaos Topological Mixing.png|thumb|La mappa definita da <span style="white-space: nowrap;">''x'' → 4 ''x'' (1 – ''x'')</span> e <span style="white-space: nowrap;">''y'' → ''x'' + ''y'' [[Modulo (algebra)|mod]] 1</span> esibisce la transitività topologica. Nella figura una regione blu è trasformata dalla dinamica nella regione viola, poi nelle regioni rosa e rossa, e alla fine in una nube di punti distribuita e sparsa nello spazio.]]

=== Transitività topologica ===

La ''[[transitività topologica]]'' è una proprietà che implica che il sistema evolverà nel tempo in modo che ogni data regione o [[insieme aperto]] nel suo [[spazio delle fasi]] si sovrapporrà con qualsiasi altra regione data. In sostanza, le traiettorie del sistema dinamico caotico transiteranno nell'intero spazio delle fasi man mano che il tempo evolverà (da qui "transitività topologica": ogni regione dello spazio delle fasi di dominio del sistema dinamico verrà raggiunta da un'orbita prima o poi). Questo concetto matematico di "mescolamento" corrisponde all'intuizione comune fornita ad esempio dalla dinamica caotica della miscela di due fluidi colorati.

[[File:Chaos Topological Mixing.png|thumbminiatura|La mappa definita da <span style="white-space: nowrap;">''x'' → 4 ''x'' (1 – ''x'')</span> e <span style="white-space: nowrap;">''y'' → ''x'' + ''y'' [[Modulo (algebra)|mod]] 1</span> esibisce la transitività topologica. Nella figura una regione blu è trasformata dalla dinamica nella regione viola, poi nelle regioni rosa e rossa, e alla fine in una nube di punti distribuita e sparsa nello spazio.]]

La ''[[transitività topologica]]'' è una proprietà che implica che il sistema evolverà nel tempo in modo che ogni data regione o [[insieme aperto]] nel suo [[spazio delle fasi]] si sovrapporrà con qualsiasi altra regione data. In sostanza, le traiettorie del sistema dinamico caotico transiteranno nell'intero spazio delle fasi man mano che il tempo evolverà (da qui "transitività topologica": ogni regione dello spazio delle fasi di dominio del sistema dinamico verrà raggiunta da un'orbita prima o poi). Questo concetto matematico di "mescolamento" corrisponde all'intuizione comune fornita ad esempio dalla dinamica caotica della miscela di due fluidi colorati.

La transitività topologica è spesso omessa dalle presentazioni divulgative della teoria del caos, che definiscono il caos con la sola sensibilità alle condizioni iniziali. Tuttavia, la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali da sola non dà il caos. Per controesempio, consideriamo il semplice sistema dinamico prodotto da raddoppiare ripetutamente un valore iniziale. Questo sistema ha la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ovunque, dal momento che qualsiasi coppia di punti vicini alla fine diventerà ampiamente separata. Tuttavia, questo esempio non ha la transitività topologica e quindi non è caotico. Infatti, ha un comportamento estremamente semplice: tutti i punti tranne 0 tenderanno a infinito positivo o negativo.

=== Densità delle orbite periodiche ===

Affinché un sistema caotico abbia un ''[[insieme denso]] di orbite periodiche'', ogni punto nello spazio deve essere arbitrariamente vicino ad un'orbita periodica. La mappa logistica unidimensionale definita da <math>x \rightarrow 4 x (1 - x)</math> è uno dei più semplici sistemi con un insieme denso di orbite periodiche. Ad esempio, <math>\tfrac {5- \sqrt{5}} {8} \rightarrow \tfrac{5+ \sqrt {5}} {8} \rightarrow \tfrac{5- \sqrt{5}} {8}</math> (uguale a circa 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) è un'orbita instabile di periodo di 2, ed esistono orbite simili per periodi di 4, 8, 16, ecc, cioè per tutti i periodi indicati dal [[teorema di Sharkovsky]].<ref>{{harvnbcita|Alligood| Sauer| Yorke|, 1997}}.</ref>

Il teorema di Sharkovskii è alla base della dimostrazione di Li e [[James Yorke|Yorke]]<ref>{{cita pubblicazione |autore=Li, T.Y. |coautore=Yorke, J.A. |titolo=Period Three Implies Chaos |rivista=[[American Mathematical Monthly]] |volume=82 |pp=985–92985-92 |anno=1975 |url=http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf |formato=PDF |doi=10.2307/2318254 |numero=10 |accesso=21 maggio 2015 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20091229042210/http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf |urlmorto=sì }}</ref> (1975) che qualsiasi sistema monodimensionale che presenta un ciclo regolare di periodo di tre visualizzerà anche cicli regolari di ogni altra lunghezza nonché orbite completamente caotiche.

=== AttrattoreAttrattori stranostrani ===

{{vedi anche|Attrattore}}

[[File:TwoLorenzOrbits.jpg|thumbminiatura|upright=1.4|L'[[attrattore di Lorenz]] mostra un andamento caotico. Questi due plotgrafici dimostrano la sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali all'interno di una regione dello [[spazio delle fasi]] chiamata appunto ''attrattore''.]]

Qualche sistema dinamico, come la [[mappa logistica]] monodimensionale definita da <span style="white-space: nowrap;"math>''x'' → 4 ×\mapsto 4x(1 – ''-x''),</spanmath>, mostra comportamenti caotici che si estendono in tutto [[lo spazio delle configurazioni]]fasi, tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'[[attrattore]], dove avvengono fenomeni caotici.

La regione di spazio delimitata dall'attrattore può avere dimensione intera, ma sorprendentemente questa non è l'unica possibilità. L'attrattore strano è un attrattore con [[dimensione di Hausdorff]] non intera<ref>{{Cita web|cognome=Ott|nome=Edward|url=http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Ott81.pdf|titolo=Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems|anno= 1981|paginap=15|accesso= 26 gennaio 2012|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160305053316/http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Ott81.pdf|urlmorto=sì}}</ref>. La dimensione degli attrattori è difficile da calcolare analiticamente e spesso viene stimata con simulazioni al computer. Per esempio la dimensione di Hausdorff dell'attrattore generato dalla [[Attrattore di Hénon|mappa di Hénon]] è uguale a 1.,26.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico consiste nel partire con un punto nel [[Attrattore|bacino di attrazione]] dell'attrattore e quindi seguire la conseguente traiettoria. Dato che è valida la condizione di transitività topologica, questo equivale a produrre un'immagine dell'intero attrattore finale. Un esempio famoso di questo attrattore è quello di [[Attrattore di Lorenz|Lorenz]], la sua forma somiglia a quella di una farfalla.

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Al contrario dei [[punto fisso|punti fissi]], cioè attrattori monodimensionali, e dei cicli limite, con due dimensioni o più, gli attrattori che emergono dai sistemi caotici sono ricchi di dettagli e complessità e somigliano spesso a dei [[frattale|frattali]]. Strutture frattaliche possono emergere anche considerando la forma e il bordo di un [[Attrattore|bacino di attrazione]] di un attrattore, come ad esempio l'[[insieme di Julia]].

=== Transizione al caos ===

[[File:LogisticMap BifurcationDiagram.png|thumb|[[Mappa logistica]]]]

Esistono due tipi principali di transizioni in cui i sistemi dinamici passano da un comportamento regolare ad un comportamento caotico:

* Transizione al caos per raddoppiamento di periodo (es. [[Mappamappa Logisticalogistica]]) nel quale abbiamo una transizione al caos dovuta al raddoppiamento del periodo del [[ciclo limite]] che viene creato da una [[Biforcazionebiforcazione di Hopf]] iniziale. In questo caso ([[Mitchell J. Feigenbaum|Feigenbaum]] 1978) succede che dal punto fisso stabile nasce un'orbita stabile di periodo 2 (ciclo limite). Quando quest'orbita di periodo 2 diventa instabile da essa nasce un'orbita di periodo 4 e così via. La successione dei valori del parametro di controllo del sistema nei quali i diversi cicli limite così creati passano da stabili a instabili ha [[punto di accumulazione]] e tale punto di accumulazione è il punto in cui il sistema transisce al caos.

* Transizione al caos per [[intermittenza]] nel quale si ha che superato il valore critico del parametro del controllo del sistema si ha ancora un comportamento regolare del sistema intervallato però da dei ''burst'' caotici. La durata di questi burst caotici aumenta all'aumentare del valore del parametro di controllo del sistema. Di questa transizione esistono 3 sottocategorie: [[biforcazione a nodo sella]], [[biforcazione di Hopf inversa]] e [[period doubling inverso]].

=== Esempi ===

[[File:Double-Pendulum.svg|thumb|[[Doppio pendolo]]]]

Comportamenti caotici si incontrano in [[meteorologia]] ([[attrattore di [[Edward Lorenz|Lorenz]]), [[climatologia]], [[fluidodinamica]] ([[turbolenza]]), teoria del [[laser]], [[ecologia]].

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici con transizione al caos:

* Sistemi discreti

** [[mappa logistica]]

** [[attrattore di Hénon]]

** [[mappa di Poincaré]]

* Sistemi continui

** [[doppio pendolo]]

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== Applicazioni ==

La teoria del caos si applica in molte discipline: [[matematica]], [[fisica]], [[chimica]], [[biologia]], [[Dinamica delle popolazioni|dinamica di popolazione]], [[informatica]], [[geologia]], [[ingegneria]], [[economia]], [[finanza]], [[filosofia]], [[politica]], [[psicologia]], e [[robotica]].<ref>{{cita web|sito=Metaculture.net, [|url=http://metalinks.metaculture.net/science/fractal/applications/default.asp|titolo= metalinks|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20071128010730/http://metalinks.metaculture.net/science/fractal/applications/default.asp|data=28 Applied Chaos],novembre 2007.|lingua=en}}</ref>

La teoria del caos viene attualmente applicata anche allo studio medico dell'[[epilessia]] e specificamente alla predizione di attacchi apparentemente casuali attraverso l'osservazione delle condizioni iniziali.<ref>{{cita web|sito=Comdig.org, [|url=http://www.comdig.org/index.php?id_issue=1999.06#194 |titolo=Complexity Digest 199.06]|lingua=en|accesso=13 novembre 2007|dataarchivio=29 settembre 2011|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20110929025952/http://www.comdig.org/index.php?id_issue=1999.06#194|urlmorto=sì}}</ref>

=== Applicazione nella finanza ===

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Secondo i teorici gli investitori non reagiscono alle informazioni man mano che le ricevono, ma hanno memoria dei fatti passati, di quello che è accaduto. I mercati funzionano secondo un'ottica dinamica e non lineare. Viene contestato anche l'''indice beta'', per le difficoltà che incontra da solo a misurare il rischio di un titolo. Troppi sono i fattori che possono inficiarlo e le diverse modalità di calcolo complicano ancora di più la questione. Viene proposta l'esigenza di avere altri indicatori, come l'indicatore ''h'' che distingue una serie casuale da una normale. Se ha valore uguale a 0,5 è casuale, se maggiore sarà di tipo non normale.

== NeiNella mediacultura edi nella fictionmassa ==

Il termine "teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'''[[effetto farfalla]]''. Quest'ultimo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di [[Ray Bradbury]], ''[[Rumore di tuono]]'', pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di [[James Joyce]] ''[[Finnegans Wake]]'', per la creazione del neologismo ''caosmosi'', {{Senza fonte| concetto poi molto utilizzato nella [[filosofia contemporanea]] e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica.}} Un altro esempio è uno dei personaggi del libro di [[Michael Crichton]] ''[[Jurassic Park (romanzo)|''Jurassic Park'']]'' e del [[Jurassic Park (film)|film che ne venne tratto]], [[Ian Malcolm]], un matematico specializzato nella teoria del caos.

{{F|letteratura|ottobre 2012}}

Il termine "teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'''[[effetto farfalla]]''. Quest'ultimo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di [[Ray Bradbury]], ''[[Rumore di tuono]]'', pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di [[James Joyce]] ''[[Finnegans Wake]]'', per la creazione del neologismo ''caosmosi'', {{Senza fonte| concetto poi molto utilizzato nella filosofia contemporanea e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica.}} Un altro esempio è uno dei personaggi del libro di [[Michael Crichton]] [[Jurassic Park (romanzo)|''Jurassic Park'']] e del [[Jurassic Park (film)|film che ne venne tratto]], un matematico specializzato nella teoria del caos.

== Note ==

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== Bibliografia ==

* {{cita web|url=http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521663857|titolo=Badii R., Politi A., ''Complexity: hierarchical structures and scaling physics'', Cambridge University Press, 1997}}

* {{cita libro|autore1=Bergé P., |autore2=Pomeau Y.|autore3=Vidal, Vidal C.,|wkautore2=Yves ''Pomeau|titolo=L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence'', |editore=Herrmann, |anno=1984|lingua=fr}}

* {{cita libro|autore=Bertagna A., ''[|url=http://www.quodlibet.it/schedap.php?id=1941 |titolo=Il controllo dell'indeterminato. Potëmkin villages e altri nonluoghi]'', |editore=Quodlibet, |città=Macerata |anno=2010|ISBN=978-88-74-62354-9}}

* {{cita libro|autore1=Bertuglia, C. S.|autore2=Vaio, Vaio F., ''|titolo=Non linearità, caos, complessità'', |città=Torino, |editore=Bollati Boringhieri, |anno=2003|ISBN=978-88-33-91768-9}}

* {{cita libro|autore1=Bischi, G. I.|autore2=Carini, Carini R.|autore3=Gardini, Gardini L.|autore4=Tenti, Tenti P., ''|titolo=Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici'', |editore=Mondadori, |anno=2004|ISBN=978-88-42-49591-8}}

* {{cita libro|autore1=Coli, M.|autore2=Ercolani, Ercolani A.|autore3=Falco, Falco G. ''|titolo=Modelli di sistemi dinamici ed evoluzione verso il caos''. |editore=Ingegneria 2000, |anno=2001 |ISBN =88-86658-14-1}}

* {{cita libro|autore1=Deleuze, G., |autore2=Guattari, F., ''|capitolo=Dal caos al cervello'', in ''|titolo=Che cos'è la filosofia?'', |città=Torino, |editore=Einaudi, |anno=1996|ISBN=978-88-06-16394-5}}

* {{cita libro|autore1=De Toni, A. F., |autore2=Comello L., ''|titolo=Prede o ragni'', |città=Torino, |editore=Utet Libreria, |anno=2005|ISBN=978-88-60-08268-8}}

* {{cita libro|autore1=De Toni, A. F., |autore2=Comello L., ''|titolo=Viaggio nella complessità'', |città=Venezia, |editore=Marsilio Editori, |anno=2007|ISBN=978-88-31-79358-2}}

* {{cita libro|autore=Ekeland Ivar, ''|titolo=Il Caos''. |città=Milano, |editore=il Saggiatore, |anno=1997|ISBN=978-88-42-80689-9}}

* {{cita libro|autore=Smith Leonard, ''|titolo=Caos'', ed. |editore=Codice, Edizioni|anno=2008|ISBN=978-88-75-78113-2}}

* {{cita libro|autore=Vulpiani Angelo,|wkautore=Angelo ''Vulpiani|titolo=Determinismo e Caos'', |città=Roma, |editore=La Nuova Italia Scientifica, |anno=1994|ISBN=978-88-43-00111-8}}

* [{{cita libro|url=http://www.internetbookshop.it/code/9788817258753/gleick-james/caos-nascita-una.html|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080511230745/http://www.internetbookshop.it/code/9788817258753/gleick-james/caos-nascita-una.html |autore=Gleick James: ''[[|titolo=Caos. La nascita di una nuova scienza]]'', |editore=BUR Biblioteca Univ. Rizzoli |anno=2000]|ISBN=978-88-17-10357-2}}

* {{en}}cita libro|autore=Hao Bai-Lin, ''|titolo=Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984))'', |editore=World Scientific Publishing Co., |anno=1990|lingua=en|ISBN=978-98-10-20095-4}}

* {{en}}cita [[libro|autore=H.R. Pagels|wkautore=Heinz Rudolf Pagels]], ''|titolo=The Dreams of Reason. The Computer and the Rise of the Sciences of Complexity''|url=https://archive. org/details/dreamsofreason00hein|editore=Bantam Books, |città=New York |anno=1989|lingua=en|ISBN=978-06-71-62708-9}}

* {{en}}cita libro|autore=Ott, E.|wkautore=Edward, ''Ott|titolo=Chaos in Dynamical systems'', |url=https://archive.org/details/chaosindynamical0000otte|editore=Cambridge University Press, |anno=1993|lingua=en|ISBN=978-05-21-81196-5}}

* {{en}}cita libro|autore1=Schuster, Heinz Georg and |autore2=Just, Wolfram ''|titolo=Deterministic Chaos. An Introduction'', |editore=Wiley-VCH, Berlin, |città=Berlino|anno=2005 |ISBN =3-527-40415-5|lingua=en}}

== Voci correlate ==

* [[CausalitàCausa (filosofia)]]

* [[Consiglio Nazionale delle Ricerche]]

* [[Effetto farfalla]]

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== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

{{Interprogetto|commons=Category:Chaos theory}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web|http://mathworld.wolfram.com/Chaos.html|Il caos da mathworld.wolfram.com|lingua=en}}

* [https://web.archive.org/web/20080107010108/http://www.csdc.unifi.it/ Centro Interdipartimentale per lo Studio delle Dinamiche Complesse] [[Firenze]]

* {{en}}[https://web.archive.org/web/20120204195514/http://www.mpipks-dresden.mpg.de/index_en.html Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems] [[Dresda]]

* {{en}}[Cita web | url = http://www.ct.infn.it/cactus/ | titolo = Caos and Complexity University Study (CACTUS) Group ]| lingua = en | accesso = 31 dicembre 2022 | urlarchivio = https://archive.is/20130413043329/http://oldweb.ct.infn.it/cactus/ | urlmorto = sì }} [[Catania]]

* {{cita web|url=http://www.climatemonitor.it/?p=8106|titolo=Che caos! I sistemi climatico e solare visti come sistemi caotici}}

{{Teoria del caos}}

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