Trasformata di Fourier: differenze tra le versioni

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[[File:Joseph Fourier.jpg|thumb|[[Jean Baptiste Joseph Fourier]]]]

In [[analisi matematica]], la '''trasformata di Fourier''', abbreviata spesso in '''F-trasformata''', è una [[trasformata integrale]], concioè numeroseun applicazionioperatore nellache [[fisica]]trasforma una efunzione nellin un'[[ingegneria]].altra Fufunzione mediante un'integrazione, sviluppata dal matematico francese [[Jean Baptiste Joseph Fourier]] nel [[1822]], nel suo trattato ''Théorie analytique de la chaleur'' (Teoria analitica del calore).

ÈLa unotrasformata deglidi strumentiFourier matematiciassocia maggiormentea utilizzatiuna nell'ambitofunzione dellei [[scienza|scienze]]valori puredei ecoefficienti [[scienzedi applicate|applicate]].questi Essasviluppi permettelineari, didandone scriverein unaquesto funzionemodo dipendenteuna dal temporappresentazione nel [[dominio della frequenza|dominio delle frequenze]], eche perviene farespesso ciòchiamata decompone''spettro'' ladella funzione nella(la baserelazione dellecon il concetto di [[funzionespettro esponenziale(matematica)|funzionispettro esponenziali]] condi un [[prodotto scalareoperatore]]. Questapuò rappresentazioneessere vienecompresa chiamatase spessosi considera l''spettro''operatore delladi convoluzione con la funzione (talein nomeesame). nonA èvolte legatosi alintende concettoper trasformata di [[spettroFourier (matematica)|spettrola funzione che risulta dall'applicazione di unquesto operatore]]).

Trova numerose applicazioni nella [[fisica]] e nell'[[ingegneria]] ed è uno degli strumenti matematici maggiormente usati nell'ambito delle [[scienza pura|scienze pure]] e [[scienze applicate|applicate]], permettendo di scrivere una funzione dipendente dal tempo come combinazione lineare (eventualmente continua) di funzioni di base [[funzione esponenziale|esponenziali]].

La trasformata è invertibile: a partire dalla trasformata di una funzione <math>\hat x</math> è possibile risalire alla funzione <math>x</math> tramite il [[teorema di inversione di Fourier]]. Nel caso di [[funzione periodica|funzioni periodiche]], può essere semplificata con il calcolo di un insieme discreto di ampiezze complesse, chiamati coefficienti della [[serie di Fourier]].

== Generalità ==

Nel caso di [[funzione periodica|funzioni periodiche]], può essere semplificata con il calcolo di un insieme discreto di ampiezze complesse, chiamati coefficienti della [[serie di Fourier]]. Il suo uso più comune è quello di trasformare una funzione che varia nel tempo, come un suono, in una funzione relativa alle frequenze, che spesso è più facile da analizzare; poiché applicando due volte la trasformata si ritorna alla funzione di partenza, è anche possibile sfruttarla per modificare la funzione originale, per esempio "ripulendo" una registrazione piena di fruscii eliminando le frequenze più alte che per la maggior parte sono legate a questi ultimi. Grazie alla trasformata di Fourier è possibile ad esempio individuare un criterio per compiere un [[campionamento (teoria dei segnali)|campionamento]] in grado di digitalizzare un segnale senza ridurne il [[informazione|contenuto informativo]]: ciò è alla base dell'intera [[teoria dell'informazione]] che si avvale, inoltre, della trasformata di Fourier (in particolare della [[trasformata di Fourier discreta|sua variante discreta]]) per l'elaborazione di segnali numerici.

La trasformata è invertibile: a partire dalla trasformata di una funzione <math>\hat x</math> è possibile risalire alla funzione <math>x</math> tramite il [[teorema di inversione di Fourier]]. Formalmente, la trasformata di Fourier <math>\mathcal{F}\left\{x(t)\right\}(\omega)</math> di una funzione <math>x(t)</math> è equivalente al valutare la [[trasformata di Laplace|trasformata di Laplace bilatera]] <math>\mathcal{L}</math> di <math>x</math> ponendo <math>s = i\omega</math>, e tale definizione è valida [[se e solo se]] la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.

==Generalità==

La trasformata di Fourier è largamente utilizzata nell'analisi in frequenza dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], nella risoluzione delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] e in [[teoria dei segnali]]. Ad esempio, nell'[[ingegneria dei sistemi]] la trasformata di Fourier della [[risposta impulsiva]] caratterizza la [[risposta in frequenza]] del sistema in oggetto.

Il motivo di una così vasta diffusione risiede nel fatto che si tratta di uno strumento che permette di scomporre un segnale generico in una somma infinita di sinusoidi con [[frequenza|frequenze]], [[ampiezza|ampiezze]] e [[Fase (segnali)|fasi]] diverse; e successivamente permette di ricostruirlo tramite la [[teorema di inversione di Fourier|formula inversa]] di sintesi (o "antitrasformazione"). L'insieme di valori in funzione della frequenza, continuo o discreto, è detto ''spettro di ampiezza'' e ''spettro di fase''.

Se il segnale in oggetto è un [[funzione periodica|segnale periodico]], la sua trasformata di Fourier è un insieme [[Segnale discreto|discreto]] di valori, che in tal caso prende il nome di ''spettro discreto'' o spettro "a pettine": la frequenza più bassa è detta ''armonica fondamentale'' ed è quella che ha peso maggiore nella ricomposizione finale del segnale, mentre le altre frequenze sono multiple della fondamentale e prendono talvolta il nome di "armoniche secondarie". In questo caso la rispettiva formula inversa di sintesi costituisce lo sviluppo in [[serie di Fourier]] della funzione o segnale periodico originario. Se il segnale ha un [[valor medio]] diverso da zero la serie restituisce anche una componente costante che lo rappresenta. Se un segnale periodico viene troncato all'esterno di un certo intervallo in ascissa rimanendo definito solo all'interno di un certo intervallo di definizione, lo spettro risultante sarà quello discreto in cui però ciascuna riga si allarga nel dominio della variabile dipendente di un valore pari all'inverso dell'intervallo di definizione del segnale stesso.

Nel caso in cui la funzione sia non periodica, lo spettro è continuo, e tanto più è esteso lungo l'asse delle frequenze quanto più è limitato nel dominio originario della variabile indipendente, e viceversa. La teoria della trasformata e antitrasformata di Fourier generalizza dunque la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici, ricomprendendo i segnali periodici come caso particolare ed insieme confluiscono nell'[[analisi di Fourier]] e nell'[[analisi armonica]].

La [[trasformata di Laplace]] è(introdotta per la prima volta da [[Eulero]] quasi un'estensione secolo e mezzo prima<ref>{{Cita web|url=https://it.emcelettronica.com/un-altro-portento-della-matematica-la-trasformata-di-laplace|titolo=Un altro portento della matematica: la trasformata di FourierLaplace|autore=Marco cheGiancola|sito=Elettronica Open Source|lingua=it-IT|accesso=2021-06-05}}</ref>) è stataun'estensione introdottadella poichétrasformata di Fourier che consente di trattare funzioni particolari che non sono integrabili secondo Fourier, come le [[continuità a tratti|funzioni continue a tratti]]. Data la trasformata di Laplace di una funzione (o [[teoria dei segnali|segnale]]), sotto determinate ipotesi si può ottenere la sua trasformata di Fourier ponendo <math>s = 2\pi \cdot i \cdot f</math>, dove <math>i</math> è l'[[unità immaginaria]] e <math>f = \omega / 2 \pi</math> la frequenza delle sinusoidi di base la cui [[combinazione lineare]] determina la trasformata di Fourier.

La teoria della trasformata e antitrasformata di Fourier generalizza dunque la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici, ricomprendendo i segnali periodici come caso particolare ed insieme confluiscono nell'[[analisi di Fourier]] e nell'[[analisi armonica]].

La trasformata di Fourier è largamente utilizzata nell'analisi in frequenza dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], nella risoluzione delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] e in [[teoria dei segnali]]. Ad esempio, nell'[[ingegneria dei sistemi]] la trasformata di Fourier della [[risposta impulsiva]] caratterizza la [[risposta in frequenza]] del sistema in oggetto. Il motivo di una così vasta diffusione risiede nel fatto che si tratta di uno strumento che permette di scomporre un segnale generico in una somma infinita di sinusoidi con [[frequenza|frequenze]], [[ampiezza|ampiezze]] e [[Fase (segnali)|fasi]] diverse; e successivamente permette di ricostruirlo tramite la [[teorema di inversione di Fourier|formula inversa]] di sintesi (o "antitrasformazione"). L'insieme di valori in funzione della frequenza, continuo o discreto, è detto ''spettro di ampiezza'' e ''spettro di fase''.

La [[trasformata di Laplace]] è un'estensione della trasformata di Fourier che è stata introdotta poiché consente di trattare funzioni particolari che non sono integrabili secondo Fourier, come le [[continuità a tratti|funzioni continue a tratti]]. Data la trasformata di Laplace di una funzione (o [[teoria dei segnali|segnale]]), sotto determinate ipotesi si può ottenere la sua trasformata di Fourier ponendo <math>s = 2\pi \cdot i \cdot f</math>, dove <math>i</math> è l'[[unità immaginaria]] e <math>f = \omega / 2 \pi</math> la frequenza delle sinusoidi di base la cui [[combinazione lineare]] determina la trasformata di Fourier.

== Definizione ==

Si consideri lail [[Basesistema (algebra lineare)|baseortonormale]] <math>\{ u_n = e^{i n t},n\in\mathbb{Z}\}</math>, [[base ortonormale|ortonormale]] rispetto al [[forma sesquilineare|prodotto interno standard]], di uno [[spazio di Hilbert]] <math>H</math>. Un tale sistema ortonormale in <math>L^2(T)</math>, dove <math>T</math> è lal'intervallo <math>[[circonferenza unitaria]]-\pi,\pi]</math>. Esso è detto ''sistema ortonormale trigonometrico'', ed è un sistema completo.

Si definisce [[serie di Fourier]] di una funzione periodica <math>f(x) \in L^2(T)</math> a [[Funzione quadrato sommabile|quadrato sommabile]] la rappresentazione della funzione per mezzo di una [[combinazione lineare]] dei vettori di base <math>u_n</math> del sistema ortonormale trigonometrico:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 91|rudin}}.</ref>

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) u_n = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{int}.</math>

I coefficienti della combinazione sono dunque lale [[proiezione (geometria)|proiezioneproiezioni ortogonali]] della funzione suisugli spazi generati dai singoli elementi vettoridel disistema baseortonormale stessitrigonometrico:

:<math>f(n) := \frac{(f,u_n)}{\| u_n \|^2} = (f,u_n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-inx}dx,</math>

e sono detti ''coefficienti di Fourier della funzione <math>f</math>''.<ref>{{Cita|Reed, e Simon|Pagp. 46|reed}}.</ref>

Si supponga di estendereora <math>Tf \in L^2(\mathbb{R})</math> ad un intervallo sufficientemente ampio in modo che ila [[Supporto (matematica)|supporto]] dicompatto, unae funzionesi periodicaconsideri <math>f</math>un con periodo <math>T = 2\pi</math> sia contenuto inintervallo <math>[-T / 2,T / 2]</math> sufficientemente grande da contenerne il supporto. Allora l'''<math>n''</math>-esimo coefficiente <math>f(n)</math> è dato da:

:<math>f(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,e^{-i2\pi \left(\frac n T \right)x}dx.</math>

In modo informale si può affermare che all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo <math>T</math> sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione <math>f(x)</math> i coefficienti della serie approssimano il valore della trasformata di Fourier <math>\mathcal{F}\{f\}</math> della funzione stessa, e la somma della serie approssima il valore della [[Trasformata inversa di Fourier|trasformata inversa]]. In particolare, i coefficienti della serie sono i valori della trasformata di Fourier campionata ad intervalli di larghezza <math>1/T</math>, e nel caso in cui <math>f(x)</math> sia identicamente nulla al di fuori dell'intervallo di integrazione <math>[-T / 2,T / 2]</math> il valore dell'n-esimo coefficiente di Fourier è pari a <math>\mathcal{F}\{f\}\left( {n \over T} \right)</math>.

Estendendo <math>T</math> all'intero asse reale si definisce trasformata di Fourier di una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>f</math> appartenente allo [[spazio di Schwartz]] l'integrale:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 180|rudin}}.</ref>

:<math>\mathcal{F}\{f\}(t) = \hat{f}(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} f(x)e^{-ixt}\,dx,\qquad\forall t\in\R.</math>

Dal momento che <math>f</math> appartiene a <math>L^1(\R)</math>, l'integrale è ben definito per ogni [[numero reale]]. Come conseguenza del [[teorema di Plancherel]], la trasformata si può estendere in modo unico anche nello [[spazio di Hilbert]] <math>L^2</math>, tuttavia come funzione puntuale è definita [[quasi ovunque]] in tale insieme.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 189|rudin}}.</ref>

Indicando l'operazione con la lettera ''<math>\mathcal{F}</math> (F'' calligrafica), con il termine trasformata di Fourier si identifica anche l'[[Operatore (matematica)|operatore]] funzionale:

:<math>\mathcal{F}: f\mapsto\hat{f}.</math>

Si può estendere la definizione anche per funzioni di Schwartz di una variabile vettoriale <math>f(\mathbf{x})\in L^1(\R^n)</math>:

:<math>\mathcal{F}\{f\}(\mathbf{t}) = \hat{f} (\mathbf{t}) := \frac{1}{(2\pi)^{n \over 2}} \int_{\R^n} e^{-i\mathbf{t}\cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},\qquad\forall\mathbf{t}\in\R^n,</math>

dove <math>\mathbf{t}\cdot \mathbf{x}</math> rappresenta il [[prodotto scalare]] dei due vettori.

La trasformata di Fourier è un [[endomorfismo]] dello spazio di Schwartz.<ref>{{Cita|Reed, e Simon|Pagp. 319|reed}}.</ref> In particolare, mappa dal dominio <math>x</math> al dominio <math>t = 2 \pi f</math>, ed è una funzione complessa della variabile <math>t</math>. La trasformata è quindi esprimibile in modulo e argomento tramite rispettivamente lo ''spettro di ampiezza'' e lo ''spettro di fase''.

=== Il teorema di inversione di Fourier ===

{{vedi anche|Teorema di inversione di Fourier}}

Il teorema di inversione di Fourier afferma che se <math>f</math> e la sua trasformata appartengono ad <math>L^1</math> allora, per quasi-ogni <math>x \in \R</math>, vale:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 186|rudin}}.</ref>

:<math>f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt.</math>

In modo informale si può affermare che, all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione, la somma della serie approssima il valore della trasformata inversa.

Esso si esprime dicendo che matematicamente una funzione <math>f(x)</math> è scomponibile come la somma infinita su tutte le frequenze di sinusoidi con peso pari alla trasformata o spettro <math>X(f)</math> di <math>f(x)</math>. Equivalentemente, si dice invece che la grandezza <math>f(x)</math> è data dalla sovrapposizione di infinite [[onda (fisica)|onde]] a differente frequenza con peso pari alla trasformata (o spettro) di <math>f(x)</math>.

== Esistenza ed unicità ==

Sia <math>\phi \in L^1</math> un [[omomorfismo]] a valori complessi tale che:

: <math> \phi(f*g)= \phi(f)\phi(g), \qquad f,g \in L^1,</math>

dove l'asterisco denota la [[convoluzione]]. Si dimostra che:

* Esiste un'unica <math>\beta \in L^\infty</math> tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 193|rudin}}.</ref>

: <math> \phi(f)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\beta(x)dx.</math>

* Vale la proprietà:

: <math> \phi(f*g) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(y)\phi (f(x-y))dy.</math>

Dato che:

: <math> \phi(f)\phi(g) = \phi(f)\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(y)\beta(y)dy,</math>

dall'uguaglianza (per ipotesi) dei membri alla destra nelle precedenti due relazioni segue che allora è possibile scrivere, portando <math>\phi</math> dentro l'integrale nella seconda e uguagliando gli integrandi:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 194|rudin}}.</ref>

: <math> \phi(f)\beta(y) = \phi (f(x-y)) \ .</math>

Assumendo che <math>\beta</math> sia una [[funzione continua]] e sostituendo <math>y</math> con <math>x+y</math> e <math>f</math> con <math>f(y-x)</math> si ottiene:

: <math> \phi(f(z))\beta(x+y) = \phi(f (z-(x+y))) = \phi(f(z-x))\beta(y)= \phi(f(z))\beta(x)\beta(y) \ ,</math>

e quindi:

: <math>\beta(x+y) = \beta(x)\beta(y) \ ,</math>

il che implica che <math>f\beta(0)=1</math>. Si mostra inoltre che <math>\beta</math> è differenziabile. Differenziando la precedente relazione rispetto a <math>y</math> e valutando in <math>y=0</math> si ottiene:

: <math>\beta'(x) = \beta'(0)\beta(x) ,</math>

con <math>\beta'(0)</math> una costante, da cui:

: <math>\beta(x) = e^{\beta'(0)x} \ .</math>

Dalla limitatezza di <math>\beta</math> segue che <math>\beta'(0)</math> è un numero puramente immaginario. Esiste quindi un <math>t</math> reale tale che:

: <math>\beta'(x) = e^{-itx} \ .</math>

L'unicità di <math>t</math> discende considerando una traslazione <math>f = e^{-|x|}</math> e notando che <math>s \ne t</math> implica che la trasformata <math>\hat f</math> è diversa se valutata in <math>t</math> oppure <math>s</math>. Si può pertanto associare ad ogni omomorfismo a valori complessi non identicamente nullo <math>\phi \in L^1</math> un unico <math>t</math> reale in modo che si verifichi la relazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 195|rudin}}.</ref>

: <math>\phi(f) = \hat f(t) \ .</math>

== Proprietà ==

Dalla linearità dell'integrale consegue immediatamente la linearità della trasformata di Fourier, esplicitamente:

:<math>\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g),</math>

per ogni <math>f, g \in L^1(\mathbb{R})</math> e <math>\alpha , \beta \in \mathbb{C}</math>.

Segue immediatamente dalla definizione che una traslazione della funzione risulta nella moltiplicazione con un esponenziale della trasformata, e viceversa.

Siano <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> e <math>\alpha \in \mathbb{CR}</math>, allora valgono le seguenti proprietà:<ref name=prop>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 181|rudin}}.</ref>

* Se <math>g(t) = f(t - \alpha) </math> allora:

Riga 133 ⟶ 132:

* Se <math>g(t) = f(-t)^* </math> allora:

: <math> \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*</math>

:dove l'asterisco denota il [[complesso coniugato]]. In particolare, se ''<math>f''</math> è reale e [[Funzioni pari e dispari|pari]], allora <math>\hat{f}</math> è reale e pari; se invece ''<math>f''</math> è reale e dispari, allora <math>\hat{f}</math> è immaginaria e dispari.

* Attraverso un [[Regola della sostituzione|cambio di variabile]] si ottiene che se:

::<math>g(t) = f(t/\lambda) \ ,</math>

:allora:

: :<math> \hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega), \quad \lambda > 0.</math>.

===Il teorema di convoluzione===

{{vedi anche|Convoluzione|Teorema di convoluzione}}

Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di una convoluzione è data dal prodotto delle trasformate. Siano <math>f</math> e <math>g</math> funzioni a descrescenza rapida in <math>\R^n</math>. La loro convoluzione è data dall'integrale:<ref>{{Cita|Reed, e Simon|Pagp. 323|reed}}.</ref>

:<math>(f*g)(t) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} f(t-i \omega) g(i \omega) \mathrm{d}\omega.</math>

Sia <math>\ \mathcal{F}</math> l'operatore trasformata di Fourier, sicché <math>\ \mathcal{F}\{f\}</math> e <math>\ \mathcal{F}\{g\}</math> sono le trasformate di <math>\ f</math> e <math>\ g</math> rispettivamente. Allora si ha:

: <math>\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\},</math>

dove <math>\cdot</math> denota la moltiplicazione. Si ha anche che:

: <math>\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}.</math>

Applicando la trasformata inversa <math>\mathcal{F}^{-1}</math>, si ottiene:

: <math>f*g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F}\{f\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\big\}.</math>

Si può dimostrare questa proprietà applicando il [[teorema di Fubini]].

Riga 164 ⟶ 163:

=== Correlazione incrociata ===

{{vedi anche|Correlazione incrociata}}

In modo analogo alla convoluzione, si mostra che se <math>h(x)</math> è la [[correlazione incrociata]] di <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math>:

:<math>h(x)=(f\star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f(y)}\,g(x+y)\,dy,</math>

allora la trasformata di Fourier di <math>h(x)</math> è:

:<math>\mathcal{F}\{h \}(\xi) = \overline{\mathcal{F}\{f\}(\xi)}\,\mathcal{F}\{g\}(\xi).</math>

Come caso particolare, l'[[autocorrelazione]] di <math>f(x)</math> è data da:

:<math>h(x)=(f\star f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f(y)}f(x+y)\,dy,</math>

e si ha:

:<math>\mathcal{F}\{h\}(\xi) = \overline{\mathcal{F}\{f\}(\xi)}\,\mathcal{F}\{f\}(\xi) = |\mathcal{F}\{f\}(\xi)|^2.</math>

===Trasformata della derivata===

Con un'[[integrazione per parti]] si può dimostrare che se:

:<math>g(t) = -itf(t) \ ,</math>

ed <math>f,g \in L^1(\mathbb{R})</math>, allora <math>\hat{f}</math> è differenziabile e la [[derivata]] è data da:<ref name=prop/>

:<math>\hat{f}\text{ }'(\omegat) = \hat{g}(\omegat).</math>

Se, al contrario, <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> è differenziabile e la derivata è a sua volta assolutamente integrabile, ovvero <math>f' \in L^1(\mathbb{R})</math>, allora la trasformata della derivata è:

:<math>\widehat{f'\text{ }} (\omegat) = i\omegait \hat{f}(\omegat).</math>

Questa proprietà permette di trovare le soluzioni di alcune [[equazione differenziale|equazioni differenziali]], trasformandoli in equazioni algebriche per la trasformata di Fourier della soluzione.

Riga 199 ⟶ 198:

Il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier a funzioni che appartengono all'intersezione dello spazio delle [[Funzione integrabile|funzioni integrabili]] secondo [[integrale di Lebesgue|Lebesgue]], denotato con <math>L^1</math>, e lo spazio delle [[Spazio Lp|funzioni a quadrato sommabile]], denotato con <math>L^2</math>. In particolare, l'applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad <math>L^2</math>, è un'[[isometria]] da <math> L^1 \cap L^2</math> in <math>L^2</math> che può essere estesa in maniera unica ad un'isometria da <math>L^2</math> in sé.

Il teorema di Plancherel afferma che è possibile associare ad ogni funzione <math>f</math> di <math>L^2</math> una funzione <math>\hat f</math> di <math>L^2</math> tale da soddisfare le seguenti proprietà:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pagp. 187|rudin}}.</ref>

* Se <math>f \in L^1 \cap L^2</math>, allora <math>\hat f</math> è la trasformata di Fourier di <math>f</math>.

* Per ogni <math>f \in L^2</math> si ha:

::<math>\| \hat f \|_2 = \| f \|_2.</math>

* L'applicazione <math>f \to \hat f</math> è un [[isomorfismo]] da <math>L^2</math> in sé in uno [[spazio di Hilbert]].

* Se:

::<math>\phi_A(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A f(x)e^{-ixt}\,dx \ ,</math>

:e se:

::<math>\psi_A(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt,</math>

:allora:

::<math>\lim_{A \to \infty} \|\phi_A - \hat{f}\|_2 = 0, \qquad \lim_{A \to \infty} \|\psi_A - f \|_2 = 0 .</math>

Dal momento che <math>L^1 \cap L^2</math> è [[insieme denso|denso]] in <math>L^2</math>, le prime due proprietà implicano che l'applicazione <math>f \to \hat f</math> è unica, mentre l'ultima è detta anche ''teorema di inversione di'' <math>L^2</math>.

Riga 223 ⟶ 222:

Siano <math>A(x)</math> e <math>B(x)</math> due funzioni [[integrale di Riemann|Riemann-integrabili]], a valori complessi e definite su <math>\R</math>. Siano esse periodiche con periodo <math>2\pi</math> e sia la rappresentazione per mezzo della [[serie di Fourier]]:

:<math>A(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_ne^{inx}, \qquad B(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_ne^{inx}.</math>

Allora:

:<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx.</math>

Nel caso particolare in cui <math>A(x)=B(x)</math> il teorema stabilisce che, data una funzione in <math>C^2</math> su <math>\R</math> con derivata prima e seconda assolutamente convergenti, allora l'area sottesa dal modulo al quadrato della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier:

:<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx.</math>

Una scrittura integrale equivalente alla precedente relazione è:

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} | A(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} | \hat A(\omega) |^2 d\omega ,</math>

dove <math>\hat A(\omega) = \mathcal{F} \{ A(t) \}</math> è la trasformata di Fourier normalizzata di <math>A(x)</math> e <math>\omega</math> la frequenza di <math>A</math>.

=== Proprietà di dualità ===

Un'utile proprietà della trasformata di Fourier è la dualità fra trasformata e antitrasformata: poiché esse differiscono solo per il segno è immediato applicare un risultato ottenuto trasformando dal [[dominio del tempo]] a quello della frequenza all'operazione duale.<ref>[{{Cita web |url=http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/html/libro/libro-3.3.html |titolo=Prime proprietà della trasformata di Fourier<!-- Titolo generato automaticamente -->] |accesso=13 agosto 2015 |dataarchivio=4 marzo 2016 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160304094338/http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/html/libro/libro-3.3.html |urlmorto=sì }}</ref>

Formalmente:

:<math>\mathcal{F}\left\{x(t)\right\} = X(\omega)</math>

operando la sostituzione formale fra le variabili <math>\omega</math> e <math>t</math>

:<math>\mathcal{F}\left\{X(t\omega)\right\} = x(-\omegat)</math>

analogamente

:<math>\mathcal{F}^{-1}\left\{X(\omega)\right\} = x(t)</math>

operando la sostituzione formale fra le variabili <math>t</math> e <math>\omega</math>

:<math>\mathcal{F}^{-1}\left\{Xx(t)\right\} = xX(-\omega)</math>

tale proprietà è particolarmente utile per applicare risultati quali la [[formula di sommazione di Poisson]] al [[teorema del campionamento]], o ricavare immediatamente la trasformata di una generica funzione periodica (grazie alla trasformata della [[delta di Dirac]]).

=== Il lemma di Riemann-Lebesgue ===

{{vedi anche|Lemma di Riemann-Lebesgue}}

Sia <math>f\colon \R \to \CComplex</math> una [[funzione misurabile]]. Se <math>f</math> è [[spazio Lp|sommabile]] allora:

:<math>\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) e^{-izx}\,dx \rightarrow 0\text{ per } z\rightarrow \pm\infty.</math>

La trasformata di Fourier di <math>f</math> tende quindi a <math>0</math> per valori infiniti di <math>z</math>. Il lemma si estende anche al caso pluridimensionale.

==Relazione con la trasformata di Laplace==

La trasformata di Fourier <math>\mathcal{F}\left\{f(t)\right\}(\omega)</math> di una funzione <math>f(t)</math> è equivalenteuguale alla [[trasformata di Laplace|trasformata di Laplace bilatera]] <math>\mathcal{L}</math> di <math>f</math> valutata per <math>s = i\omega</math>, ovveroossia:

:<math> \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t .</math>

Tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.

Riga 272 ⟶ 271:

* Sia <math>u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)</math>, cioè la [[funzione rettangolare]] di ampiezza due. Allora:

::<math>\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} =</math>

:<math>=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}.</math>

:<math>=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}</math>

* Sia <math>u(t) = \frac{1}{1+t^2}</math>. Allora:

::<math>\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-i\omega t}}{1 + t^2}dt.</math>

:Si può usareapplicare il [[teorema dei residui]], notandofacendo attenzione poiché il [[lemma di Jordan]] chegarantisce la funzioneconvergenza hasono dueper polialcuni semplicivalori indi <math> t = \pm iomega</math>, ottenendoquindi persi <math>applica yil =teorema dei residui a cammini diversi a seconda del valore di -i<math>\omega</math>:.

:Per <math>\omega \ge 0</math> si estende la funzione al dominio complesso e si sceglie come cammino di integrazione <math>\Gamma</math> una semicirconferenza di raggio <math>R</math> nel semipiano inferiore centrata in <math>z = 0</math>, in questo modo si ha dunque:

::<math>\hat u (\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_oint_{t \rightarrow -iGamma} (-2\pi i)frac{e^{-i\omega tz}} \frac{1 + z^2}{2t}\,dz =\rightarrow -\frac{\pi1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \frac{e^{-i\omega t}}{1 + t^2}\,dt, \qquad\text{per } R \rightarrow +\infty.</math>

:Si osservi che la funzione ha due poli semplici in <math>z = \pm i</math>, tuttavia soltanto quello in <math>z = -i</math> è circondato dal cammino di integrazione; esso è dunque l’unico residuo a dover essere incluso nel computo dell’integrale tramite il teorema. Il residuo in <math>z = -i</math> vale:

:mentre per <math> y = +i</math>:

::<math>\hat u (\omega) =\fracoperatorname{1Res}_{\sqrt{2\pi}z = -i}= \lim_{tz \rightarrow +-i} (-2\pi i)e^{-i\omega tz} \frac{1z+i}{2tz^2+1} = -\frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{-\omega} }{2i}.</math>

:La trasformata per <math>\omega \ge 0</math> risulta:

:Unendo i due residui si ha infine:

::<math>\hat u (\omega) = -\frac{2 \pi i}{\sqrt{2\pi}}\Bigbig(e^{-\omega} + frac{e^{-\omega}}{2i}\Bigbig) = \sqrt{2\frac{\pi}{2}} \cosh(e^{-\omega)}.</math>

:Analogamente, per <math>\omega < 0</math> e scegliendo come cammino di integrazione <math>\Gamma</math> una semicirconferenza nel semipiano superiore, rimane incluso solamente il residuo in <math>z = +i</math> che viene avvolto in senso antiorario:

::<math>\operatorname{Res}_{z=+i}= \lim_{z\rightarrow +i} e^{-i\omega z} \frac{z-i}{z^2+1} = +\frac{e^{+\omega}}{2i}.</math>

:Si ha, infine la trasformata complessiva su tutto il dominio:

::<math>\hat u (\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|\omega|}.</math>

== Note ==

Riga 296 ⟶ 303:

== Bibliografia ==

*{{cita libro | cognomeautore=[[Walter Rudin]]| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudinRudin| lingua= en}}

*{{cita libro | cognomeautore2=[[Barry Reed Simon]]| nomeautore= Michael Reed|coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reedReed e Simon|lingua= en}}

== Voci correlate ==

Riga 308 ⟶ 315:

* [[Teorema di Parseval]]

* [[Teorema di Plancherel]]

* [[Teorema di Wiener-KhinchinChinčin]]

* [[Trasformata di Fourier a tempo discreto]]

* [[Trasformata di Fourier veloce]]

* [[Trasformata discreta di Fourier]]

* [[Trasformata inversa di Fourier]]

* [[Trasformata di SteinmetzFourier quantistica]]

* [[Trasformata di Laplace]]

* [[Trasformata di Steinmetz]]

== Altri progetti ==

==Collegamenti esterni==

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}}[http://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121215040738/http://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft |data=15 dicembre 2012 }} — A Matlab tutorial

* {{SpringerEOM|titolo=Fourier transform|autore= P.I. Lizorkin}}

* {{en}}[http://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples] — A Matlab tutorial

* {{en}}[http://www.thefouriertransform.com The Fourier Transform Tutorial Site] (thefouriertransform.com)

* {{en}}[http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Fourier.htm Fourier Series Applet] (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).

Riga 325 ⟶ 334:

* {{cita web|http://www.academicearth.org/courses/the-fourier-transform-and-its-applications|Stanford Video Course on the Fourier Transform|lingua=en}}

* {{en}}[http://blogs.zynaptiq.com/bernsee/dft-a-pied/ The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day] previously found at The DSP Dimension

* {{cita web|1=http://www.fourier-series.com/f-transform/index.html|2=An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform|lingua=en|accesso=7 aprile 2013|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20130111115020/http://www.fourier-series.com/f-transform/index.html|dataarchivio=11 gennaio 2013|urlmorto=sì}}

* {{cita web|https://pulse.embs.org/january-2016/highlights-in-the-history-of-the-fourier-transform/|Highlights in the History of the Fourier Transform|autore=Alejandro Dominguez|sito =IEEE Pulse|data=2016|accesso=27 gennaio 2018|lingua=en}}

*[http://www.treccani.it/enciclopedia/trasformata-di-fourier_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/]

{{Controllo di autorità}}