Partizione di un intero: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], una '''partizione''' di un [[Numero intero|intero]] positivo <math>n</math> è un modo di scrivere <math>n</math> come somma di interi positivi, senza tener conto dell'ordine degli [[addizione|addendi]]. Formalmente, una partizione di <math>n</math> è una sequenza[[Ennupla|m-tupla]] di interi positivi <math>(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m)</math> tali che

:<math>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots\geq \lambda_m ~~\text{e}~~ \lambda_1 + \lambda_2 + \dots +\lambda_m = n.</math>

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[[James Victor Uspensky|J.V. Uspensky]] ritrovò la stessa formula, indipendentemente, nel [[1920]].

Hardy e Ramanujan trovarono un 'espansione asintotica con questa approssimazione come primo termine:

<math>p(n) \sim \frac{1}{2\pi \sqrt{2}} \sum_{k=1}^v A_k(n)\sqrt{k}

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\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}}\,\,\,\right]}\right) </math>

Nel [[1937]], [[Hans Rademacher]] migliorò la formula di Hardy e Ramanujan, elaborando una [[serie (matematica)|serie convergente]] che tende a <math>p(n)</math>:

:<math>p(n)=\frac{1}{\pi \sqrt{2}} \sum_{k=1}^\infty \sqrt{k} \; A_k(n)\; \frac{\mathrm d}{\mathrm dn}

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con la somma effettuata sui numeri naturali compresi tra <math>0</math> e <math>k</math> che sono [[numeri coprimi|coprimi]] con <math>k</math> e con <math>s(m,k)</math> che indica la [[somma di Dedekind]].

Nel gennaio del [[2011]], il matematico statunitense [[Ken Ono]], della [[Emory University]] di [[Atlanta]], [[Georgia (Stati Uniti d'America)|Georgia]], insieme ai suoi collaboratori ha fatto grossi progressi nella comprensione del comportamento della funzione di partizione. Estendendo alcune formule di Ramanujan, è riuscito a mostrare che i numeri di partizione hanno un comportamento di tipo [[frattale]]: apparentemente essi sono disordinati, senza alcun legame logico o alcuna congruenza, ma se analizzati a fondo si scoprono essere scoperti da schemi ordinati con un preciso ordine di ripetizione. Inoltre, Ken Ono, insieme ai suoi collaboratori, è riuscito a ottenere una formula esplicita che permette di calcolare le partizioni <math>p(n)</math>di qualsiasi numero intero attraverso una somma di un numero finito di termini.<ref name="Ono">[httphttps://www.wired.com/wiredscience/2011/01/partition-numbers-fractals/ Hidden Fractals Suggest Answer to Ancient Math Problem], 28 gennaio 2011.</ref><ref>[[American Institute of Mathematics]], [http://www.aimath.org/news/partition/ Fractal Structure to Partition Function]</ref>

== Note ==

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==Collegamenti esterni==

* {{collegamenti esterni}}

*{{en}} [httphttps://oeis.org/A000041 I primi valori di ''p''(''n'')] nell'enciclopedia delle sequenze numeriche

* [httphttps://www.emory.edu/home/index.html Emory University Home Page].

* {{cita web|http://web.archive.org/web/20061110032720/http://www.btinternet.com/~se16/js/partitions.htm|Partition and composition calculator}}

* {{cita web | 1 = http://www.btinternet.com/~se16/js/partitions.htm | 2 = Partition and composition calculator | accesso = 3 maggio 2019 | dataarchivio = 10 novembre 2006 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20061110032720/http://www.btinternet.com/~se16/js/partitions.htm | urlmorto = sì }}

* {{cita web|http://www.numericana.com/data/partition.htm|First 4096 values of the partition function}}

* {{cita web|http://www.numericana.com/answer/numbers.htm#partitions|An algorithm to compute the partition function}}

* [https://www.sciencenews.org/articles/20050618/bob9.asp Pieces of Number] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080423230958/http://www.sciencenews.org/articles/20050618/bob9.asp |date=23 aprile 2008 }} da Science News Online

* {{MathWorld|Partition|Partition}}

* {{MathWorld|PartitionFunctionP|Partition Function P}}

* [http://www.sciencenews.org/articles/20050618/bob9.asp Pieces of Number] da Science News Online

* [http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/PIMS/PIMSLectures.pdf Lectures on Integer Partitions] di Herbert S. Wilf

* {{cita web|http://www.luschny.de/math/seq/CountingWithPartitions.html|Counting with partitions}}

* [http://search.cpan.org/perldoc?Integer::Partition Integer::Partition Perl module] dal [[CPAN]]

* {{cita web | 1 = http://www.site.uottawa.ca/~ivan/F49-int-part.pdf | 2 = Fast Algorithms For Generating Integer Partitions | accesso = 29 gennaio 2011 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20090220004749/http://www.site.uottawa.ca/~ivan/F49-int-part.pdf | dataarchivio = 20 febbraio 2009 | urlmorto = sì }}

* {{cita web|httphttps://arxiv.org/abs/0909.2331|Generating All Partitions: A Comparison Of Two Encodings}}

* Amanda Folsom, Zachary A. Kent, e Ken Ono, [http://www.aimath.org/news/partition/folsom-kent-ono.pdf ''l''-adic properties of the partition function].

* Jan Hendrik Bruinier e Ken Ono, [http://www.aimath.org/news/partition/brunier-ono.pdf An algebraic formula for the partition function].