Numero perfetto: differenze tra le versioni

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[[File:Perfect number Cuisenaire rods 6.png|thumb|Illustrazione dello stato di numero perfetto del [[6 (numero)|6]]]]

In [[matematica]], un [[numero naturale]] <math>N</math> si dice '''perfetto''' quando <math>\sigma\left(N\right)=2N</math> dove la funzione <math>\sigma\left(N\right)</math> è la [[funzione sigma]], cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di <math>N</math>.

In [[matematica]], un '''numero perfetto''' è un [[numero naturale]] che è uguale alla somma dei suoi [[divisore|divisori]] positivi, escludendo il numero stesso. In termini formali, un numero naturale <math>N</math> si dice '''perfetto''' quando <math>\sigma\left(N\right)=2N</math>, dove la funzione <math>\sigma\left(N\right)</math> è la [[funzione sigma]], cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di <math>N</math>.

Poiché fra i divisori positivi di <math>N</math> c'è <math>N</math> stesso, questo equivale a dire che <math>N</math> è uguale alla somma dei suoi [[Divisore#Ulteriori informazioni|divisori propri]].

Ad esempio, il numero <math>28</math>, divisibile per <math>1, 2, 4, 7, 14</math> è un numero perfetto e lo stesso vale per <math>6</math> che è divisibile per <math>1</math>, <math>2</math> e <math>3</math>.:

:<math>28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14</math>

:<math>6 = 1 + 2 + 3</math>

== Cenni storiciStoria ==

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai [[Pitagora|pitagorici]]. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da [[Euclide]] rivelò che se <math>2^n-1</math> è un [[numero primo]], allora <math>2^{n-1}\cdot(2^n-1)</math> è perfetto. Successivamente [[Eulero]] dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma <math>2^n-1</math> che sono primi sono detti [[primi di Mersenne]]. Si dimostra facilmente che se <math>n</math> non è primo allora non lo è neanche <math>2^n-1</math>.

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai [[Pitagora|pitagorici]].

Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da [[Euclide]] rivelò che se <math>2^n-1</math> è un [[numero primo]], allora <math>2^{n-1}\cdot(2^n-1)</math> è perfetto. Successivamente [[Eulero]] dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma <math>2^n-1</math> che sono primi sono detti [[primi di Mersenne]]. Si dimostra facilmente che se <math>n</math> non è primo allora non lo è neanche <math>2^n-1</math>.

ISecondo numeri perfetti godevano[[Filone di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l'ebraismo,Alessandria]] il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario[[mese ebraicolunare]] sisiderale basavaè sulquasi mesedi lunare,28 digiorni proprio perché 6 e 28 giornisono numeri perfetti. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo trattato [http://www.augustinus.it/italiano/genesi_lettera/index2.htm "''La Genesi alla lettera''"], libro IV, par. 7,14, Sant'Agostino scrisse: «Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l'opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto».

== Conoscenze attuali ==

Ad oggi<ref name=":0" />, si conoscono 5052 numeri perfetti, il più grande dei quali ha {{formatnum:44677235}}82048639 cifre.

Esempio: <math>6 = 2^1\cdot (2^2 - 1)

</math>

Per via dell'espressione <math>2^{n-1}\cdot (2^n - 1)</math>, ogni numero perfetto pari è necessariamente:

* un [[numero triangolare]], visto che si può scrivere

:<math>2^{n-1} (2^{n}-1) = {(2^{n}-1) \cdot 2^{n} \over 2} = {k(k+1) \over 2}</math>

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:8128₁₀ = 1111111000000₂

:33550336₁₀ = 1111111111111000000000000₂.

Questi numeri sono stati ottenuti per ''n'' = 2, 3, 5, 7, 13. Il caso ''n'' = 11 fornisce un valore di <math>k=2^n-1 =2047 = 23\cdot 89 </math> che non è primo.

I primi 12 numeri perfetti sono:

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* [[496 (numero)|496]]

* [[8128|8 128]]

* {{formatnum:33550336}}33 550 336 (8 cifre)

* {{formatnum:8589869056}}8 589 869 056 (10 cifre)

* {{formatnum:137438691328}}137 438 691 328 (12 cifre)

* {{formatnum:2305843008139952128}}2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)

* {{formatnum:2658455991569831744654692615953842176}}2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)

* 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)

* {{formatnum:191561942608236107294793378084303638130997321548169216}} (54 cifre)

* 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128 (65 cifre)

* {{formatnum:13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128}} (65 cifre)

* 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 (77 cifre)

* {{formatnum:14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128}} (77 cifre)

L'undicesimoIl successivo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimotredicesimo, daè 77 e il tredicesimocomposto da ben 314 cifre. Fino ad ora<ref name=":0">Fino a gennaioottobre 20182024.</ref> si conoscono solo 5052 [[Numero primo di Mersenne|primi di Mersenne]], e quindi 5052 numeri perfetti<ref>[httphttps://www.mersenne.org/ GIMPS Home<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. Il più grande tra questi è {{TA|2^{77232916136279841} × (2^{77232917136279841}&nbsp; −&nbsp; 1),}} formato (in base 10) da {{formatnum:46498850}}82048639 cifre.

I primi 4649 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come {{TA|2^{''p-1'' − 1}(2^''p'' − 1)}} con:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281<ref>{{OEIS|A000043}}</ref>.

Si conoscono altri tre numeri perfetti maggiori, con

p = 5788516177232917, 7420728182589933, 77232917136279841

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne siano altri in mezzo.,<ref>{{Cita web|url=httphttps://www.mersenne.org/report_milestones|titolo=GIMPS Milestones Report|accesso=82 aprilegennaio 20182019}}</ref> né si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito e se esistano numeri perfetti dispari.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tuttiTutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

:Infatti, da 2^{''n-1'' − 1} × (2^''n'' − 1) si ha che:

:* 2''^{''n-'' − 1}'' è pari e termina per 2, 4, 8, 6;

:* (2^''n'' − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

:La cifra finale '5' va scartata perché sappiamo che (2^''n'' − 1) dev'essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

Se la somma dei divisori di <math>N</math> è maggiore di <math>2N</math>, il numero <math>N</math> viene detto ''[[numero abbondante|abbondante]]'', mentre se risulta minore di 2N esso viene chiamato ''[[numero difettivo|difettivo]]''. Ogni numero <math>N</math> che verifica <math>\sigma\left(N\right) = 2N+1</math> viene detto ''[[Numero lievemente abbondante|lievemente abbondante]], ''mentre un numero che verifica'' ''<math>\sigma\left(N\right) = 2N-1</math> viene detto ''[[Numero lievemente difettivo|lievemente difettivo]]''. Finora nessuno è riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti. D'altra parte, mentre è facile verificare che tutte le potenze di due sono numeri lievemente difettivi, non si sa ancora se esistono numeri lievemente difettivi diversi dalle potenze di due.

Non è esclusa la possibilità che esista un numero perfetto dispari. In tal caso, è facilmente dimostrabile che esso non possa essere un [[quadrato perfetto]]. Infatti, preso un numero dispari, tutti i suoi divisori saranno dispari. Siccome la somma di una quantità pari di numeri dispari è pari, ne consegue che un numero perfetto dispari debba necessariamente avere un numero dispari di divisori propri (cioè escluso il numero stesso) e quindi un numero pari di divisori positivi. Questo è possibile esclusivamente se tale numero non è un quadrato perfetto in quanto deve avere almeno un [[fattore primo]] con esponente dispari.

== Note ==

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|cognome=Gardner |nome=Martin |wkautore=Martin Gardner |titolo=Mathematical Magic Show|anno=1990|lingua=inglese|pp=160-172|capitolo=Perfect, Amicable, Sociable}}

* Kevin G. Hare, ''[httphttps://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-02033-9/S0025-5718-07-02033-9.pdf New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number]'', Math. Comp. 76 (2007), 2241-2248

== Voci correlate ==

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* [[Numero pratico]]

* [[Funzione aritmetica]]

* [[Teorema di Euclide-Eulero]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=numero perfetto}}

{{VoceLibro|Pitagorismo}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers] di David Moews

* {{en}} [httphttps://www-history.mcsmathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html/ Perfect numbers - History and Theory] in [[MacTutor]]

* {{MathWorld|2=Perfect Number}}

* (EN) Successione [[OEIS:A000396|A000396]] della ''[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]''