Geometria euclidea: differenze tra le versioni

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[[File:Dodecahedron.gif|thumb|Dodecaedro]]

La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito al [[matematico]] [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], e nella derivazione, da detti assiomi, di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]]. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|editore=Allyn and Bacon|p=19|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|editore=Allyn and Bacon|p=10|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide iniziano con un'analisi della [[geometria piana]], attualmente insegnata nelle [[scuole secondarie]] ed utilizzata come primo approccio alle [[Dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]], per poi passare alla [[geometria solida]] in [[tre dimensioni]].

La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito allo scienziato [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]].

La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito al [[matematico]] [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], e nella derivazione, da detti assiomi, di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]]. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/19 19]|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera [[Deduzione|deduttiva]] e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/10 10]|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide inizianoincominciano con un'analisi della [[geometria piana]], attualmente insegnata nelle [[scuole secondarie]] ede utilizzata come primo approccio alle [[Dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]], per poi passare alla [[geometria solida]] in [[tre dimensioni]].

Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.

== I cinque postulati ==

I 5cinque [[Assioma (matematica)|postulati]] (o assiomi) di [[Euclide]] sono:<ref>{{cita|Euclide|p. 7}}.</ref>

# ''TraCongiungendo due [[Punto (geometria)|punti]] qualsiasi è possibile tracciaresi unaottiene edun una[[segmento]] soladi [[retta]];''

# ''Si può prolungare un [[segmento]] oltre i due [[Punto (geometria)|punti]] indefinitamente;''

# ''Dato un [[Punto (geometria)|punto]] e una [[lunghezza]], è possibile descrivere un [[cerchio]];''

# ''Tutti gli [[Angolo retto|angoli retti]] sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]] tra loro;''

# ''Se una [[retta]] che taglia altre due rette determina dallo stesso [[Lato (geometria)|lato]] [[Angolo|angoli interni]] minorila cui somma è minore di due [[Angolo retto|angoli retti]], prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sonohanno somma minoriminore di due retti.''

[[File:Euclid's postulates.png |thumb|right|I cinque postulati di Euclide e la formulazione del quinto che oggi si preferisce utilizzare]]

Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di [[matita]], [[Riga (strumento)|righello]] e [[Compasso (strumento)|compasso]], ede il quinto, che non è caratterizzato dall'immediatezza pratica dei primi, mentre presenta una formulazione molto più involuta. LoInfatti stesso Euclide sembra essere a disagio in proposito, tanto cheegli dimostra le prime 28 proposizioni del primo [[Elementi (Euclide)|libro degli ''Elementi'']] senza fare uso del quinto postulato.

[[File:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Il quinto postulato di Euclide]]

Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di matita, righello e compasso, ed il quinto, che non è caratterizzato dall'immediatezza pratica dei primi, mentre presenta una formulazione molto più involuta. Lo stesso Euclide sembra essere a disagio in proposito, tanto che dimostra le prime 28 proposizioni del primo libro degli ''Elementi'' senza fare uso del quinto postulato.

Il quinto postulato è equivalente all'assioma seguente, oggi più usato:

:''Per un punto esterno a una retta data passa una ede una sola parallelaretta ad[[Parallelismo una(geometria)|parallela]] rettaa dataquesta.''

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le [[geometrie non euclidee]], come ad esempio la [[geometria iperbolica]].

=== [[Corollario|Corollari]] ===

Dagli [[assioma (matematica)|assiomi]] si possono dedurre delle relazioni di [[Incidenza (geometria)|incidenza]] fratra punti, rette e [[Piano (geometria)|piani]]. Ad esempio:

* Per un punto passano infinite rette.

* Per due punti distinti passa una ede una sola retta.

* Per una retta nello spazio passano infiniti piani.

* Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano.

* Per tre punti allineati passa una e una sola retta.

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:

* Due rette nello spazio si dicono ''[[Complanarità|complanari]]'' quando giacciono sullo stesso piano.

* Se un punto divide una retta, ciascuna delle due parti si dice [[semiretta]]: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.

* La parte di retta delimitata da due punti è detta [[segmento]].

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=== Sul V postulato ===

{{Vedi anche|V postulato di Euclide}}

[[File:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Il quinto postulato di Euclide]]

Nel [[1899]], [[David Hilbert]] (nato a Konigsberg[[Königsberg]] nelil 23 gennaio del 1862 e morto a [[Gottinga]] nelil 14 febbraio del 1943) propone un [[Assiomi di Hilbert|sistema assiomatico corretto per la geometria]]. Perché se ne sentiva la necessità?Così Anzitutto,facendo si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti: ad esempio, nel primo assioma, è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti; nel secondo, che una retta possegga più di un punto; nel terzo, che nel [[piano cartesiano|piano]] ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un [[segmento]] di retta per [[Traslazione (geometria)|traslazione]] senza deformarlo, e via di questo passo.

Venne così pubblicato ''[[Grundlagen der Geometrie]]'', in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da [[Henri Poincaré]] che la [[geometria iperbolica]], indagata da [[Giovanni Girolamo Saccheri]], fondata correttamente da [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]] e confermata con un modello da [[Eugenio Beltrami]], poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo tale che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.

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Con queste premesse in particolare Euclide comincia le sue proposizioni definendo il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Primo criterio|primo criterio di congruenza]] (proposizione 4), il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Secondo criterio|secondo criterio di congruenza]] (proposizione 6) e il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Terzo criterio|terzo criterio di congruenza]] (proposizione 8).<ref>{{cita|Euclide|pp. 8-14}}.</ref> Ognuno dei criteri rispetta gli assiomi di congruenza:

# ''Proprietà riflessiva'': Ogni figura del piano è congruente a sesé stessa (in simboli: <math>A \cong A</math>)

# ''Proprietà transitiva'': Se una certa figura A è congruente a un'altra figura B e la figura B è congruente alla figura C, allora la figura A è congruente alla figura C (in simboli: Se <math>A \cong B \land B \cong C\Rightarrow A \cong C</math>)

# ''Proprietà simmetrica'': Se una certa figura A è congruente a B allora B è congruente ad A (in simboli: <math>A \cong B \Rightarrow B \cong A</math>)<ref>{{cita|Sasso|p. 32}}.</ref>

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== Bibliografia ==

;Fonti primarie

;Bibliografia primaria

* {{cita libro|autore=Euclide|titolo=Elementi|url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf|anno=2008|ISBN=978-0-6151-7984-1|curatore=Richard Fitzpatrick|lingua=grc, en|cid=Euclide}}

;Fonti secondarie

;Bibliografia secondaria

* {{cita libro|autore=Leonardo Sasso|titolo=La matematica a colori,. Geometria|città=Torino|editore=Petrini|anno=2014|ISBN=978-88-494-1883-5|cid=Sasso}}

== Voci correlate ==

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* [[Geometria algebrica]]

* [[Geometria descrittiva]]

* [[La Geometriageometria del Compassocompasso]]

* [[Geometrie non euclidee]]

* [[Geometria iperbolica]]

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Geometria}}