Problema di Thomson: differenze tra le versioni
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L'obiettivo del '''problema di Thomson''' è di determinare la configurazione di minima [[energia potenziale elettrica]] di <math>N</math> [[elettrone|elettroni]] vincolati sulla superficie di una [[sfera unitaria]] e che si respingono a causa della [[forza di Coulomb]]. Il problema fu posto da [[J. J. Thomson]] nel 1904
Problema relativi includono lo studio della geometria della configurazione di minima energia e lo studio del comportamento per <math>N</math> molto grandi.
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== Enunciato matematico ==
Il sistema fisico relativo al problema di Thomson è un caso speciale di uno dei diciotto problemi irrisolti proposti dal matematico [[Stephen Smale]] — "Distribuzione di punti su una 2-sfera".<ref>
{{Cita pubblicazione|nome=S. |cognome= Smale|titolo= Mathematical Problems for the Next Century|rivista= Mathematical Intelligencer|data=1998|volume=20|numero=2|pp=7-15|doi=10.1007/bf03025291}}</ref> La soluzione per ogni <math>N</math> è ottenuta quando la configurazione degli elettroni vincolati sulla
▲}}</ref> La soluzione per ogni <math>N</math> è ottenuta quando la configurazione degli elettroni vincolati sulla superficie della sfera di raggio <math>r=1</math> possiede un minimo globale della energia potenziale elettrica, <math>U(N)</math>.
L'energia di interazione elettrostatica tra ogni coppia di elettroni di uguale carica (<math>e_i = e_j = e</math>, con <math>e</math> la [[carica elementare]] dell'elettrone) è data dalla legge di Coulomb,
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Le configurazioni di minima energia sono state rigorosamente trovate solo in una manciata di casi.
* Per <math>N=1</math>, la soluzione è banale poiché l'elettrone può collocarsi in ogni punto sulla superficie della sfera. L'energia totale della configurazione è definita zero dal momento che non è soggetto a nessun [[campo elettrico]] prodotto da altre cariche.
* Per <math>N=2</math>, la configurazione ottimale consiste di elettroni in [[punti antipodali (matematica)|punti antipodali]].
* Per <math>N=3</math>, gli elettroni risiedono ai vertici di un [[triangolo equilatero]] inscritto in una [[cerchio massimo]].<ref>L. Foppl, "Stabile anordnungen von elektronen im atom", ''J. Reine Angew. Math.'', 141 (1912), 251–301.</ref>
* Per <math>N=4</math>, gli elettroni risiedono ai vertici di un [[tetraedro]] regolare.
* Per <math>N=5</math>, fu riportata nel 2010 una soluzione rigorosa fornita dal computer con gli elettroni collocati ai vertici di un dipiramide triangolare.<ref>https://arxiv.org/abs/1001.3702</ref>
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== Generalizzazioni ==
Si potrebbe anche richiedere lo stato fondamentale di particelle interagenti con potenziali arbitrari.
Per essere matematicamente precisi, sia <math>f</math> una funzione decrescente a valori reali, e si definisce
Tradizionalmente, si considera <math> f(x)=x^{-\alpha} </math> anche conosciute come <math>\alpha</math>-nuclei di Riesz. Per nuclei di Riesz integrabile vedere;<ref>Landkof, N. S. Foundations of modern potential theory. Tradotto dal russo by A. P. Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.</ref> per nuclei non integrabili, vale il ''teorema del bagel ai semi di papavero'', si veda.<ref>Hardin, D. P.; Saff, E. B. Discretizing manifolds via minimum energy points. Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), no. 10, 1186–1194</ref> I casi rilevanti sono: <math>\alpha\to\infty</math>, il ''problema di Tammes'' (impacchettamento); <math>\alpha=1</math>, il ''problema di Thomson''; <math>\alpha=0</math>, il ''problema di Whyte'' (per massimizzare il prodotto di distanze).
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== Relazione ad altri problemi scientifici ==
Il problema di Thomson è una naturale conseguenza del [[Modello atomico di Thomson|''modello a panettone'']] in assenza della carica positiva uniformemente distribuita nell'atomo.<ref>Y. Levin and J. J. Arenzon,
Sebbene le evidenze sperimentali portarono all'abbandono del modello di Thomson sulla struttura atomico, sono state trovate irregolarità nelle soluzioni numeriche del problema di Thomson che corrispondono al riempimento del guscio elettronico negli elementi naturali della [[tavola periodica]].<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=LaFave Jr|nome=Tim|titolo=Correspondences between the classical electrostatic Thomson problem and atomic electronic structure|rivista=Journal of Electrostatics|volume=71|numero=6|pp=
Il problema di Thomson ha un ruolo importante nello studio di altri modelli fisici, inclusi nelle bolle multi-elettroniche e la disposizione superficiale delle gocce di un metallo liquido confinate nella [[trappola ionica quadrupolare|trappola ionica di Paul]].
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==Bibliografia==
*{{cita pubblicazione|autore1=Henry Cohn
*
*{{cita pubblicazione|autore1=T. Erber
*Cris Cecka, Mark J. Bowick, e
*David J. Wales e Sidika Ulker: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/table.html e anche http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson2/table.html
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*[[Impacchettamento di sfere]]
{{portale|fisica|matematica}}
[[Categoria:Problemi matematici]]
[[Categoria:Fisica]]
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