Isoperimetria: differenze tra le versioni

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In [[geometria]], l''''isoperimetria''' è la caratteristica di due figure aventi il [[perimetro]] uguale.

Nei problemi classici di isoperimetria si chiede scazzoolitamentesolitamente di individuare la figura che a parità di perimetro e sotto determinati vincoli sia in grado di [[massimizzazione|massimizzare]] l'[[area]]; a parità di perimetro e di lati i [[poligono regolare|poligoni regolari]] sono quelli che massimizzano l'area, mentre il [[cerchio]] è quella che la massimizza in assoluto.

== Problema isoperimetrico nel piano ==

[[Image:Isoperimetric inequality illustr1.svg|thumb]]

Il classico ''problema isoperimetrico'' risale all'antichità. Il problema può essere posto nel modo seguente: Frafra tutte le [[Curva (matematica)|curve]] chiuse nel piano di fissato perimetro, quale curva (se esiste) massimizza l'area della regione inclusa? Si può mostrare che questo problema equivale a cercare fra le curve chiuse nel piano, fissata l'area della regione inclusa, quella che (se esiste) minimizza il perimetro.

Il problema è concettualmente legato al [[principio di minima azione]] in [[fisica]], e può essere riformulato nel modo seguente: qual è il principio dell'azione che racchiude l'area maggiore con il minimo sforzo?

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:<math>4\pi A \le P^2.</math>

Nel caso di un cerchio di raggio ''r'' si ha ''<math> A'' = π''\pi r''<sup>^2</supmath> e ''<math>P'' = 2π''2\pi r''</math>, e sostituendo queste nella disuguaglianza si vede che il cerchio, fra tutte le curve di perimetro fissato, massimizza l'area. In effetti, il cerchio è l'unica curva che massimizza l'area.

Ci sono dozzine di dimostrazioni della disuguaglianza classica; parecchie di esse sono discusse nell'articolo di Triberg (vedi bibliografia). Nel [[1901]] [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] diede una [[dimostrazione]] analitica della disuguaglianza isoperimetrica basata sulla [[serie di Fourier]] e sul [[teorema di Green]].

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Le formulazioni moderne dei problemi isoperimetrici sono nei termini della [[geometria sub-riemanniana]]; nello specifico, il [[problema di Didone]] trova espressione nei termini del [[gruppo di Heisenberg]]: dato un [[Arco (geometria)|arco]] che connette due punti, l'"altezza" ''z'' di un punto nel gruppo di Heisenberg corrisponde all'area sottesa dall'arco.

Il teorema isoperimetrico si generalizza a [[Spazio (fisica)|spazi]] di dimensioni maggiori: il dominio con volume fissato e minima superficie è sempre la sfera. Questo risultato generalizzato fu dimostrato da [[Ennio De Giorgi|De Giorgi]] per tutti gli insiemi di perimetro finito.

===Problema di Didone===

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== Collegamenti esterni ==

* {{cita web|http://www.math.utah.edu/~treiberg/isoperim/isop.pdf|Treiberg: Several proofs of the isoperimetric inequality}}

* {{cita web|httphttps://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml|Isoperimetric Theorem}}

* Di Meglio, G. (2010) ''[https://www.matematicamente.it/rivista-il-magazine/numero-13-agosto-2010agosto2010/139-ilDimeglio-problema-isoperimetrico-classico-storia-e-mito/.pdf Il Problema Isoperimetrico Classico: Storia e Mito]'', Matematicamente.it Magazinemagazine, n. 13, pagg.su 15-21''www.matematicamente.it''

* {{cita web|https://www.docenti.unina.it/webdocenti-be/allegati/materiale-didattico/377226|Fusco: The classical isoperimetric problem}}

{{Analisi matematica}}