Meccanica razionale: differenze tra le versioni

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[[File:Carl Jacobi.jpg|thumb|[[Carl Jacobi|Carl Gustav Jacobi]]]]

In [[fisica classica]] la '''meccanica razionale''' (o '''meccanica analitica''') è la branca della [[fisica matematica]] che studia il [[moto (fisica)|moto]] dei sistemi meccanici con un numero finito di [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]]. L'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei [[modello matematico|modelli]] studiati con i dati sperimentali, quanto allo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate in questi modelli.

La '''meccanica razionale''' (o '''meccanica analitica''') è la branca della [[fisica matematica]] che studia il [[moto (fisica)|moto]] e l'[[Equilibrio meccanico|equilibrio]] dei sistemi meccanici con un numero finito di [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]]. Essa rappresenta una formulazione della [[meccanica classica]] alternativa a [[Meccanica newtoniana|quella newtoniana]]. Il principio fondamentale che, assieme al [[principio di relatività galileiana]], sta alla base della meccanica analitica è il [[principio di minima azione]]. La meccanica razionale si è sviluppata tra la seconda metà del [[XVIII secolo]] e la fine del [[XIX secolo]], grazie al contributo di scienziati come [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]], [[Carl Jacobi]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Jacques Charles François Sturm]], [[Joseph Liouville]], [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Pierre-Louis de Maupertuis]], [[Emmy Noether]] e [[Siméon-Denis Poisson]].

== Descrizione ==

[[File:Simeon Poisson.jpg|thumb|upright=1.0|[[Simeon Poisson]]]]

=== Meccanica lagrangiana e hamiltoniana ===

{{vedi anche|Meccanica lagrangiana|Meccanica hamiltoniana}}

All'interno della meccanica razionale è possibile distinguere due differenti formulazioni: la [[meccanica lagrangiana]] e la [[meccanica hamiltoniana]]. La principale distinzione tra di esse è rappresentata da una diversa scelta operata nel selezionare le [[Coordinate lagrangiane|coordinate]] usate per generare lo [[spazio delle fasi]]. In particolare, tramite la formulazione hamiltoniana si arriva allo studio delle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

La ''meccanica lagrangiana'' è una formulazione della [[meccanica newtoniana]] introdotta nel [[XVIII secolo]] da [[Joseph-Louis Lagrange]]. Si tratta di un formalismo in cui le [[equazione del moto|equazioni del moto]] sono descritte tramite le cosiddette [[equazioni di Eulero-Lagrange]], in cui la [[funzione scalare]] argomento è la [[lagrangiana]], la differenza tra energia cinetica e potenziale.<ref>{{Cita libro|cognome=Goldstein|nome= H. |titolo=Classical Mechanics|edizione=3rd|p=35 |editore=Addison-Wesley|anno= 2001}}</ref> In questo modo, non è necessario utilizzare [[campi vettoriali]] come nel caso invece delle [[equazioni di Newton]] o delle [[equazioni di Navier-Stokes]].

Le tecniche matematiche utilizzate permettono di distinguere all'interno della meccanica razionale la [[meccanica lagrangiana]] e la [[meccanica hamiltoniana]], che arriva allo studio delle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

La ''meccanica hamiltoniana'' è un'altra riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da [[William Rowan Hamilton]]. In questa trattazione la grandezza di riferimento è la hamiltoniana, ovvero la somma di energia cinetica e energia potenziale. Le equazioni che essa deve soddisfare sono le [[equazioni di Hamilton-Jacobi]].

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a [[forza (fisica)|forze]], sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]] (come la [[retta]], il [[piano (geometria)|piano]] o lo [[spazio tridimensionale]] ordinario), sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]]. Dal momento che gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]], sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]] (come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]]) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.

=== Caratteristiche ===

La meccanica razionale ha importanti legami con la teoria generale dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], con la [[teoria della relatività]] e con la [[meccanica quantistica]]; nonostante ciò, i sistemi studiati da questa disciplina appartengono prevalentemente alla [[meccanica classica]].

[[File:Joseph liouville.jpeg|thumb|[[Joseph Liouville]]]]

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a [[forza (fisica)|forze]], sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]], (come la [[retta]], il [[piano (geometria)|piano]] o lo [[spazio tridimensionale]] ordinario), sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]] ([[Curva (matematica)|curve]] o [[Superficie|superfici]]). Dal momento che gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]], sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]] (come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]]) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.

La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]], sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]], come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]], che ne rendono finito il numero di gradi di libertà. Un altro importante campo di applicazione della meccanica razionale è rappresentato dalla teoria generale dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]]. Tuttavia, va sottolineato che l'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei [[modello matematico|modelli]] con i dati sperimentali, quanto allo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate da questi modelli, come ad esempio il [[calcolo delle variazioni]].

Nonostante i sistemi studiati da questa disciplina appartengano al campo [[meccanica classica]], la meccanica razionale ha importanti legami con teorie non classiche, quali la [[teoria della relatività]] e la [[meccanica quantistica]], ad esempio la formulazione lagrangiana costituisce un formalismo naturale per la cosiddetta [[Meccanica quantistica|''prima quantizzazione'']], includendo [[Commutatore (matematica)|commutatori]] tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.

== Note ==

<references />

==Bibliografia==

*{{cita libro|autore=[[Joseph-Louis Lagrange]]|url=http://books.google.com/books?id=TmMSAAAAIAAJ|titolo=Mécanique analytique|città=Parigi|anno=1788|lingua=fr}}

* Arthur Gordon Webster ''[httphttps://www.archive.org/details/dynamicsofpartic00websrich The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies]'' Teubner, 1904;

*[[Horace Lamb]] ''[httphttps://www.archive.org/details/highermechanics00lambuoft Higher mechanics]'' Cambridge University Press, 1920;

* Alexander Ziwet e P. Field ''[httphttps://www.archive.org/details/introductiontoan00ziweuoft Introduction to analytical mechanics]'' MacMillan, 1921;

* {{cita libro|autore=Paul Appell|url=httphttps://gallicabooks.bnfgoogle.frit/noticebooks/about/Trait%C3%A9_de_m%C3%A9canique_rationnelle.html?Nid=lEWf0AEACAAJ&redir_esc=FRBNF35484834y|titolo= Traité de Mécanique Rationnelle|urlmorto=yesno|editore=Gauthier-Villars|anno=1921|lingua=fr}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Cinematica: principi e statica|url=http://mathematica.sns.it/opere/306/|anno=1938|volume=1}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Dinamica: cenni di meccanica dei sistemi continui|url=http://mathematica.sns.it/opere/307/|anno=1938|volume=2}}

*Herbert Goldstein, Charles Poole, John L. Safko (2002): ''Classical Mechanics'', 3rd ed., Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3, pp.&nbsp;680

*Edmund Whittaker, ''[httphttps://www.archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies]'', 4ª ed., Cambridge University Press 1959;

*[[Lev Davidovič Landau|Lev Landau]] e [[Evgenij Michajlovič Lifšic|Evgenij Lifšic]] ''[[Corso di Fisica Teorica|Meccanica]]'', Editori Riuniti, 1976;

*R. Abraham, Jerrold E. Marsden, ''[https://web.archive.org/web/20080111150348/http://caltechbook.library.caltech.edu/103/ Foundations of mechanics]'', 2ª ed. rivista e ampliata, Benjamin/Cummings Publishing Co. 1978;

*[[Vladimir Igorevič Arnol'd]], Mathematical Methods of Classical Mechanics, seconda edizione, Graduate Texts in Mathematics '''60''', Springer-Verlag 1989;

*[[Giuseppe Arcidiacono]] ''Problemi di meccanica razionale'', Di Renzo Editore - Roma, 1994.

*Jerrold E. Marsden, Tudor Ratiu, ''Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems'', 2ª ed., Texts in Applied Mathematics '''17''', Springer-Verlag 1999.

*{{cita libro|autore=Valter Moretti|titolo=ElementiMeccanica diAnalitica, Meccanica RazionaleClassica, Meccanica AnaliticaLagrangiana e Hamiltoniana e Teoria della Stabilità (2020) Springer - Milano|url= httphttps://www.science.unitnspringer.com/it/~morettibook/dispense.html9788847039971}}

==Voci correlate==

* [[Coordinate generalizzate]]

* [[Azione (fisica)]]

*[[Calcolo delle variazioni]]

* [[Lagrangiana]]

* [[Meccanica hamiltoniana]]

* [[Meccanica lagrangiana]]

* [[ParentesiTeorema di PoissonSturm]]

* [[PrincipioTeoria di minima azioneSturm-Liouville]]

* [[TeoriaParentesi di Hamilton-JacobiPoisson]]

* [[TrasformataPrincipio di Legendreminima azione]]

* [[Principio di minima azione|Teorema di Liouville]]

*[[Trasformazione canonica]]

* [[Teoria delle piccole oscillazioni]]

* [[Teoria di Hamilton-Jacobi]]

*[[Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)]]

* [[Trasformata di Legendre]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|b|preposizione=sulla|wikt=meccanica razionale}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web |autore=Raffaele Esposito| 1 = http://wwwpeople.matematicamentedisim.univaq.it/appunti~serva/meccanica_razionale_(universita)teaching/Esposito.pdf | 2 = Appunti di Meccanica Razionale a cura di LeonardoRaffaele Esposito|editore=Universit`a degli Studi de L’Aquila| accesso = 22 febbraio 2023 Latella}}

*{{Cita web|url=http://www.treccani.it/enciclopedia/meccanica/|titolo=meccanica {{!}} definizione Treccani}}

{{Settori della Fisica}}