Legge di potenza: differenze tra le versioni
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dove ''a'' e ''k'' sono costanti e <math>o(x^k)</math> è una funzione asintoticamente piccola di <math>x^k</math>. ''k'' è di solito chiamato ''esponente di scala''.
Leggi di potenza ricorrono nelle [[distribuzione di probabilità|distribuzioni di probabilità]] di molti fenomeni fisici (ad esempio la [[magnitudo (geologia)|magnitudo]] dei terremoti, il diametro dei crateri dei pianeti, la dimensione dei frammenti degli oggetti che si infrangono per urti, l'intensità delle esplosioni solari), sociali (il numero dei morti nelle guerre, la popolazione delle città, il numero di collegamenti ai siti web, il numero di citazioni) ed economici (la [[distribuzione della ricchezza]], le vendite di libri e
Nel caso delle distribuzioni di probabilità, una distribuzione che obbedisce alla legge di potenza è denominata ''power law distribution'', ''scale-free distribution'' (distribuzione a [[invarianza di scala]]), o anche ''distribuzione di Pareto'' - dal nome dell'economista [[Vilfredo Pareto]], che per primo la individuò nella distribuzione del [[reddito]] - o infine ''[[legge di Zipf]]'' - dal linguista [[George Kingsley Zipf]] che la individuò studiando la frequenza d'uso delle parole nei testi.<ref>Più spesso con legge di Zipf si denota la versione discreta della distribuzione.</ref>
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Una '''distribuzione a legge di potenza''', o '''''distribuzione power-law''''', o '''distribuzione di Pareto''', nella sua forma più generale ha la forma:
:<math>\ p(x) \propto L(x) x^{-\alpha}</math>
dove il simbolo <math>
:<math>\ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{L(t\,x)}{L(x)} = 1</math>
con ''t'' costante. Questa proprietà di ''L(x)'' segue direttamente dalla condizione che ''p(x)'' sia asintoticamente invariante alla scala.
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=== Rappresentare graficamente le distribuzioni a legge di potenza ===
Di solito le distribuzioni power-law sono rappresentate su
:<math>\ \log p(x) = \log C - \alpha \log x</math>
e la relazione diventa lineare.<ref>Questo permette di distinguere facilmente una power-law, in cui le code non hanno un limite esponenziale, dalla [[Variabile casuale esponenziale negativa|distribuzione esponenziale]] e dalle altre distribuzioni ([[Variabile casuale normale|normale]], [[Variabile casuale poissoniana|Poisson]], ecc.) in cui invece tale limite esiste.
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cioè se, cambiando la scala o l'unità di misura della variabile ''x'' di un fattore ''b'', la distribuzione di probabilità rimane invariata a meno di una costante moltiplicativa ''f(b)''.
L'invarianza di scala è [[condizione necessaria e sufficiente]] affinché una distribuzione sia ''power-law''.
Infatti, una distribuzione è invariante alla scala se è una distribuzione ''power-law''. Dato
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Nonostante siano molti i fenomeni che presentano distribuzioni ad invarianza di scala per alcuni intervalli, sono rari i casi in cui questo vale lungo tutto il [[Supporto (matematica)|supporto]].
Così, ad esempio, nonostante la [[legge Gutenberg-Richter]] venga di solito citata come un esempio di distribuzione a legge di potenza, la distribuzione reale della magnitudo dei terremoti, visto il limite costituito dall'energia totale racchiusa nella [[crosta terrestre]], smette di essere scalabile quando ci si avvicina ad esso.
Per tenere conto di questo, si usa spesso introdurre un ''cutoff esponenziale'' nella distribuzione originale, adottando la forma seguente:
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| rivista = [[Biometrika]]
| volume = 42
| pp =
| url = https://links.jstor.org/sici?sici=0006-3444%28195512%2942%3A3%2F4%3C425%3AOACOSD%3E2.0.CO%3B2-M
| doi = 10.2307/2333389
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| rivista = Journal of the [[Royal Statistical Society]], Series B (Methodological)
| volume = 44
| pp =
| url = https://links.jstor.org/sici?sici=0035-9246(1982)44%3A1%3C37%3AOSSEOA%3E2.0.CO%3B2-4
| numero = 1
Riga 160:
| rivista = Internet Mathematics
| volume = 1
| pp =
| url = http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/postscripts/im2004a.pdf
|doi = 10.1080/15427951.2004.10129088}}
* {{Cita pubblicazione
|autore = Newman, M. E. J.
|anno = 2005
|titolo = Power laws, Pareto distributions and Zipf's law
|rivista = Contemporary Physics
|volume = 46
|pp =
|url = http://www.journalsonline.tandf.co.uk/openurl.asp?genre=article&doi=10.1080/00107510500052444
|doi = 10.1080/00107510500052444
|urlmorto = sì
|accesso = 2 luglio 2022
|dataarchivio = 20 aprile 2022
|urlarchivio = https://web.archive.org/web/20220420012424/http://www.journalsonline.tandf.co.uk/openurl.asp?genre=article&doi=10.1080%2F00107510500052444
}}
* {{Cita pubblicazione
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* [[Rete a invarianza di scala]];
* [[Variabile casuale paretiana]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
* {{cita web | 1 = http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html | 2 = Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial | accesso = 21 dicembre 2009 | dataarchivio = 26 ottobre 2007 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20071026062626/http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html | urlmorto = sì }}
* {{cita web | 1 = http://simscience.org/crackling/Advanced/Earthquakes/GutenbergRichter.html | 2 = Gutenberg-Richter Law | accesso = 21 dicembre 2009 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20090609172933/http://simscience.org/crackling/Advanced/Earthquakes/GutenbergRichter.html | dataarchivio = 9 giugno 2009 | urlmorto = sì }}
* {{cita web|http://www.physicalgeography.net/fundamentals/10ab.html|Stream Morphometry and Horton's Laws}}
* [https://web.archive.org/web/20140315041730/http://money.cnn.com/magazines/fortune/fortune_archive/2005/07/11/8265256/ "How the Finance Gurus Get Risk All Wrong"] di [[Benoît Mandelbrot]] & [[Nassim Nicholas Taleb]]. da ''Fortune'', 11 luglio, 2005.
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[[Categoria:Teoria della probabilità]]
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