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[[File:SoftGravitonTheorem.svg|miniatura|[[Scattering]] di ''n'' particelle in entrata e ''m'' in uscita con un [[gravitone]] uscente aggiunto a una gamba in uscita.]]

In [[matematica]], un '''periodo''' è un [[Numero#Tipi%20di%20numeri|tipo di numero]] che può essere espresso mediante l'[[integrale]] di una [[funzione algebrica]] su un dominio algebrico, cioè un insieme numerico definito tramite un’equazione o una disuguaglianza. Tale nozione è stata ufficialmente introdotta da [[Maxim Kontsevich]] e [[Don Zagier]] nel 2001<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf}}</ref>, riprendendo un discorso tenuto da Kontsevich nel 1999 per il Journée Annuelle della [[Société mathématique de France]].

In [[fisica]], il '''teorema del gravitone ''molle''''' (''soft'' in inglese), formulato la prima volta da [[Steven Weinberg]] nel 1965,<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|nome=Steven|cognome=Weinberg|data=1965-10-25|titolo=Infrared Photons and Gravitons|rivista=Physical Review|volume=140|numero=2B|pp=B516–B524|accesso=2021-08-19|abstract=x|doi=10.1103/PhysRev.140.B516|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.140.B516}}</ref> permette di calcolare la [[matrice S]], usata nel calcolo dell'esito degli [[Urto|urti]] tra [[Particella subatomica|particelle]], quando entrano in gioco [[Gravitone|gravitoni]] a bassa energia (''molli'').

In particolare, se in una [[Urto|collisione]] tra ''n'' particelle entranti da cui scaturiscono ''m'' particelle uscenti, l'esito della collisione dipende da una certa matrice ''S'', aggiungendo uno o più gravitoni alle ''n + m'' particelle, la matrice ''S'' risultante (sia ''S''<nowiki/>') differisce dalla ''S'' iniziale soltanto per un fattore che non dipende in alcun modo, se non per il [[Quantità di moto|momento]], dal tipo di particelle a cui i gravitoni si accoppiano.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Temple He|autore2=Vyacheslav Lysov|autore3=Prahar Mitra|coautori=Andrew Strominger|titolo=BMS Supertranslations and Weinberg's Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/abs/1401.7026}}</ref>

== Definizione ==

Il teorema vale anche mettendo dei fotoni al posto dei gravitoni, ottenendo così un corrispondente '''teorema del fotone ''molle'''''.

Secondo Kontsevich “un periodo è un [[numero complesso]] le cui parti reale e immaginaria sono i valori di [[Integrale#Assoluta integrabilità|integrali assolutamente convergenti]] di [[Funzione razionale|funzioni razionali]] a coefficienti razionali su domini in [[Spazio euclideo|<math>\mathbb{R}^n</math>]]<nowiki/>definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali"<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|p=3|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|citazione=}}</ref>.

Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]], cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica.<ref>{{Cita web|url=https://www.hri.res.in/~strings/verma.pdf|titolo=Soft Graviton Theorem in Generic Quantum

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali quelli [[Numero algebrico|algebrici]].

Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>

Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>

In pratica un periodo ''p'' si presenta nella forma:

== Formulazione ==

:<math>p = \int\limits_{ \Delta} \frac{f(x_1,...,x_n)}{g(x_1,...,x_n)}dx_1...dx_n</math>,

Date delle particelle la cui interazione è descritta da una certa matrice ''S'' iniziale, aggiungendo un gravitone molle (cioè la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle) che si accoppia a una delle particelle in entrata o uscita, la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cita libro|nome=Andrew|cognome=Strominger|titolo=Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory|url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691179506/lectures-on-the-infrared-structure-of-gravity-and-gauge-theory|accesso=2023-01-18|data=2018-03-06|editore=[[Princeton University Press]]|lingua=en|pp=35-36|ISBN=978-0-691-17950-6}}</ref>

dove <math>\Delta\subset\R^n</math>e ''f'' e ''g'' sono polinomi con coefficienti in [[Spazio euclideo|<math>\mathbb{Q}</math>]].

dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilon_{\mu\nu}</math> è la sua polarizzazione e il fattore'' ''<math>\eta</math> è uguale a 1 per le particelle uscenti e a -1 per quelle entranti.

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono <math>\pi</math> e suoi multipli, i quali sono, appunto, i [[Funzione periodica|periodi di funzioni periodiche]] fondamentali, come ad esempio <math>sin(x)</math>, <math>cos(x)</math>e <math>e^{ix}</math>, o periodi di [[Funzione ellittica|funzioni ellittiche]].

La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo <math>\mathbb{P}</math>.

Nel caso di più gravitoni molli coinvolti, il fattore davanti a ''S'' è la somma dei fattori dovuti a ogni singolo gravitone.

== Esempi ==

Se al posto del gravitone si aggiunge un fotone molle (la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle), la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

* Tutti i [[Numero algebrico|numeri algebrici]], come<br />

:<math>\sqrt2=\int_{2x^2\le1}\mathrm dx \qquad</math>ossia<math> \qquad \sqrt2=\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\mathrm dx</math>.<br />In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

* I [[Numero trascendente|numeri trascendenti]] come ''<math>\pi</math>'' sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

:<math>\pi=\int_{x^2+y^2\le1}\mathrm dx\mathrm dy</math>

<math>{\cal S}' = \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon} {\cal S} + O(p_\gamma^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1" />

:<math>2\pi=\int_{x^2+y^2=1}\mathrm dx\mathrm dy</math>

con gli stessi parametri di prima ma con <math>p_\gamma</math> momento del fotone, <math>\epsilon</math> la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e <math>q</math> la carica della particella accoppiata al fotone.

:<math>2\pi i =\oint \frac{dz}{z} </math>

Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.

: nel piano complesso attorno al punto z = 0.

=== Estensione al termine successivo ===

* I [[Logaritmo|logaritmi]] di numeri algebrici, come:

Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,

:<math>\ln2=\int_{1<x<2}\frac{\mathrm dx}x \qquad </math>ossia <math>\qquad \ln2=\int_1^2\frac{\mathrm dx}x </math>

dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>

* Gli [[Integrale ellittico|integrali ellittici]] come ad esempio i ''periodi'' delle [[Funzioni ellittiche di Weierstrass#Equazione integrale|funzioni ellittiche di Weierstrass]] di parametri algebrici ''g''₂, ''g''₃:

:<math>\omega_i=\int_{e_i}^\infty\frac{\mathrm dt}{\sqrt{4t^3-g_2t-g_3}}\quad(i=1,2)</math>

[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone

* I valori interi della [[funzione zeta di Riemann]], come

:<math>\zeta (3)=\iiint\limits_{0<x<y<z<1}\frac{\mathrm dx dy dz}{(1-x)yz} </math>

* La [[Funzione Gamma|fuzione gamma]] <math>\Gamma (p/q)^q </math> per ''p'' e ''q'' [[Numero naturale|numeri naturali]], come

:<math>\Gamma (1/3)^3 = 2^{4/3}3^{1/2} \pi \int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^3}} </math>

[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.

== Caratteristiche ==

La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un [[Anello (algebra)|anello]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|p=6|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|citazione=periods form an algebra, so we get new periods by taking sums and products of known ones}}</ref>.

[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.

=== Inclusione ===

I vari [[Numero#Tipi%20di%20numeri|tipi di numeri]] sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali <math>\N</math> fino ad arrivare ai complessi <math>\Complex</math>, ottenendo la sequenza classica

== Dimostrazione ==

<math>\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \Complex</math>.

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e descritta dalla matrice ''S'' iniziale.

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. Il calcolo esatto dell'ampiezza d'interazione richiederebbe la conoscenza della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie si può utilizzare uno sviluppo in [[serie di Laurent]], utilizzando come [[Polo (analisi complessa)|polo]] tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. In base alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici <math>\overline{\Q}</math>, che sono tutti i numeri reali e complessi, non [[Numero trascendente|trascendenti]], per cui

Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).

<math>\begin{array}{lcl} \N \subset \Z & \subset & \Q \subset \overline{\Q} \\ & & \cap \quad \ \ \cap \\ & & \R \subset \Complex\end{array}</math> .

To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono [[Insieme numerabile|numerabili]], mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

m outgoing particles and then consider adding to it one outgoing photon, denoted

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come <math>\pi</math><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|p=2|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|citazione=}}</ref>, e quindi sono inclusi nei complessi.

by a wavy line in figure 2.5, with momentum q. (The derivation for an incoming

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La [[E (costante matematica)|costante di Nepero ''e'']], è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

photon is similar.) In the soft limit, we can write the amplitude as a sum of two

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Masahiko Yoshinaga|anno=2008|titolo=Periods and elementary real numbers|rivista=|volume=|numero=|url=https://arxiv.org/abs/0805.0349}}</ref> ha scoperto come produrre un reale [[Computabilità|computabile]] che non sia un periodo.

types of terms, ones in which the soft photon attaches to an external line and others

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita web|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|titolo=Maxim Kontsevich e Don Zagier, Periods, 2001}}

* {{cita web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/Mahdia-03-2004.pdf|titolo=Michel Waldschmidt, Périodes d’après M. Kontsevich et D. Zagier, 2004}}

* {{cita web|url=https://arxiv.org/abs/0711.4863|titolo=Periods and Feynman integrals, 2007}}

* {{cita web|url=https://planetmath.org/period|titolo=Period}}

* {{cita web|url=http://www2.mathematik.hu-berlin.de/~kreimer/wp-content/uploads/LesHouchesStefan.pdf|titolo=Stefan Müller-Stach, What is a Period?}}

* Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

in which the soft photon attaches to an internal line. The soft photon can attach to

== Voci correlate ==

any one of the n + m external lines, so we must include a '''sum over all such terms'''.

*[[Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer]]

*[[Equazione di Picard-Fuchs|Equazion di Picard-Fuchs]]

The full amplitude has a Laurent expansion in q with an infinite number of terms

*[[Funzione L]]

whose detailed form depends on what theory we are talking about. '''For the pole we'''

'''need not specify what theory we are studying except that it has a photon'''. That is

one of the beauties of this formula.

The '''LSZ rule''' for computing scattering amplitudes starts out by computing

'''the time-ordered Green’s functions using the Feynman iε prescription and then'''

'''amputating the external legs.''' The Feynman diagrams have factors for vertices and

propagators. What happens when we attach the extra photon to an external leg is,

'''since external legs are amputated, we need only add a vertex and propagator for'''

'''the particle to whose external leg the photon is added'''. The '''difference between the'''

'''diagram with and without the attached external soft photon is just the vertex and'''

'''propagator.'''

Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35

re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Arnab Priya|cognome=Saha|nome2=Biswajit|cognome2=Sahoo|nome3=Ashoke|cognome3=Sen|data=2020-04-23|titolo=Proof of the Classical Soft Graviton Theorem in D=4|rivista=arXiv:1912.06413 [gr-qc, physics:hep-th]|accesso=2023-05-02|url=http://arxiv.org/abs/1912.06413}}</ref>: here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem<ref name=":0" /> is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

== Note ==

<references/>