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[[File:SoftGravitonTheorem.svg|miniatura|[[Scattering]] di ''n'' particelle in entrata e ''m'' in uscita con un [[gravitone]] uscente aggiunto a una gamba in uscita.]]

L''''effetto Maxwell-Lodge''' è un fenomomeno di [[Legge di Faraday|induzione elettromagnetica]] per cui una [[carica elettrica]], posta nei pressi di un [[solenoide]] il cui campo varia lentamente, ad una distanza trascurabile rispetto alla longhezza del medesimo, sperimenta una [[Interazione elettromagnetica|forza elettromagnetica]], pur essendo il [[campo magnetico]] praticamente nullo e statico. Può essere considerato un analogo classico dell'[[effetto Aharonov-Bohm]], dove invece il campo è assolutamente statico.

In [[fisica]], il '''teorema del gravitone ''molle''''' (''soft'' in inglese), formulato la prima volta da [[Steven Weinberg]] nel 1965,<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|nome=Steven|cognome=Weinberg|data=1965-10-25|titolo=Infrared Photons and Gravitons|rivista=Physical Review|volume=140|numero=2B|pp=B516–B524|accesso=2021-08-19|abstract=x|doi=10.1103/PhysRev.140.B516|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.140.B516}}</ref> permette di calcolare la [[matrice S]], usata nel calcolo dell'esito degli [[Urto|urti]] tra [[Particella subatomica|particelle]], quando entrano in gioco [[Gravitone|gravitoni]] a bassa energia (''molli'').

In particolare, se in una [[Urto|collisione]] tra ''n'' particelle entranti da cui scaturiscono ''m'' particelle uscenti, l'esito della collisione dipende da una certa matrice ''S'', aggiungendo uno o più gravitoni alle ''n + m'' particelle, la matrice ''S'' risultante (sia ''S''<nowiki/>') differisce dalla ''S'' iniziale soltanto per un fattore che non dipende in alcun modo, se non per il [[Quantità di moto|momento]], dal tipo di particelle a cui i gravitoni si accoppiano.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Temple He|autore2=Vyacheslav Lysov|autore3=Prahar Mitra|coautori=Andrew Strominger|titolo=BMS Supertranslations and Weinberg's Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/abs/1401.7026}}</ref>

Il nome viene da un articolo del [[1889]] del fisico [[Oliver Joseph Lodge|Oliver Lodge]].<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Oliver Lodge|anno=1889|titolo=On an Electrostatic Field produced by varying Magnetic Induction|rivista=The Philosophical magazine|volume=27|numero=|pp=469-479}}</ref>, unito a quello di [[James Clerk Maxwell]].

Il teorema vale anche mettendo dei fotoni al posto dei gravitoni, ottenendo così un corrispondente '''teorema del fotone ''molle'''''.

== Definizione ==

Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]], cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica.<ref>{{Cita web|url=https://www.hri.res.in/~strings/verma.pdf|titolo=Soft Graviton Theorem in Generic Quantum

Secondo Kontsevich “un periodo è un [[numero complesso]] le cui parti reale e immaginaria sono i valori di [[Integrale#Assoluta integrabilità|integrali assolutamente convergenti]] di [[Funzione razionale|funzioni razionali]] a coefficienti razionali su domini in [[Spazio euclideo|<math>\mathbb{R}^n</math>]]<nowiki/>definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali"<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|p=3|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|citazione=}}</ref>.

Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>

Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali quelli [[Numero algebrico|algebrici]].

== Formulazione ==

In pratica un periodo ''p'' si presenta nella forma:

Date delle particelle la cui interazione è descritta da una certa matrice ''S'' iniziale, aggiungendo un gravitone molle (cioè la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle) che si accoppia a una delle particelle in entrata o uscita, la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cita libro|nome=Andrew|cognome=Strominger|titolo=Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory|url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691179506/lectures-on-the-infrared-structure-of-gravity-and-gauge-theory|accesso=2023-01-18|data=2018-03-06|editore=[[Princeton University Press]]|lingua=en|pp=35-36|ISBN=978-0-691-17950-6}}</ref>

:<math>p = \int\limits_{ \Delta} \frac{f(x_1,...,x_n)}{g(x_1,...,x_n)}dx_1...dx_n</math>,

dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilon_{\mu\nu}</math> è la sua polarizzazione e il fattore'' ''<math>\eta</math> è uguale a 1 per le particelle uscenti e a -1 per quelle entranti.

dove <math>\Delta\subset\R^n</math>e ''f'' e ''g'' sono polinomi con coefficienti in [[Spazio euclideo|<math>\mathbb{Q}</math>]].

La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono <math>\pi</math> e suoi multipli, i quali sono, appunto, i [[Funzione periodica|periodi di funzioni periodiche]] fondamentali, come ad esempio <math>sin(x)</math>, <math>cos(x)</math>e <math>e^{ix}</math>, o periodi di [[Funzione ellittica|funzioni ellittiche]].

Nel caso di più gravitoni molli coinvolti, il fattore davanti a ''S'' è la somma dei fattori dovuti a ogni singolo gravitone.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo <math>\mathbb{P}</math>.

Se al posto del gravitone si aggiunge un fotone molle (la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle), la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

== Esempi ==

<math>{\cal S}' = \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon} {\cal S} + O(p_\gamma^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1" />

* Tutti i [[Numero algebrico|numeri algebrici]], come<br />

:<math>\sqrt2=\int_{2x^2\le1}\mathrm dx \qquad</math>ossia<math> \qquad \sqrt2=\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\mathrm dx</math>.<br />In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

* I [[Numero trascendente|numeri trascendenti]] come ''<math>\pi</math>'' sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

:<math>\pi=\int_{x^2+y^2\le1}\mathrm dx\mathrm dy</math>

con gli stessi parametri di prima ma con <math>p_\gamma</math> momento del fotone, <math>\epsilon</math> la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e <math>q</math> la carica della particella accoppiata al fotone.

:<math>2\pi=\int_{x^2+y^2=1}\mathrm dx\mathrm dy</math>

Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.

:<math>2\pi i =\oint \frac{dz}{z} </math>

=== Estensione al termine successivo ===

: nel piano complesso attorno al punto z = 0.

Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,

* I [[Logaritmo|logaritmi]] di numeri algebrici, come:

dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>

:<math>\ln2=\int_{1<x<2}\frac{\mathrm dx}x \qquad </math>ossia <math>\qquad \ln2=\int_1^2\frac{\mathrm dx}x </math>

* Gli [[Integrale ellittico|integrali ellittici]] come ad esempio i ''periodi'' delle [[Funzioni ellittiche di Weierstrass#Equazione integrale|funzioni ellittiche di Weierstrass]] di parametri algebrici ''g''₂, ''g''₃:

[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone

:<math>\omega_i=\int_{e_i}^\infty\frac{\mathrm dt}{\sqrt{4t^3-g_2t-g_3}}\quad(i=1,2)</math>

[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.

* I valori interi della [[funzione zeta di Riemann]], come

:<math>\zeta (3)=\iiint\limits_{0<x<y<z<1}\frac{\mathrm dx dy dz}{(1-x)yz} </math>

* La [[Funzione Gamma|fuzione gamma]] <math>\Gamma (p/q)^q </math> per ''p'' e ''q'' [[Numero naturale|numeri naturali]], come

:<math>\Gamma (1/3)^3 = 2^{4/3}3^{1/2} \pi \int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^3}} </math>

[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.

== Caratteristiche ==

La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un [[Anello (algebra)|anello]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|p=6|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|citazione=periods form an algebra, so we get new periods by taking sums and products of known ones}}</ref>.

=== InclusioneDimostrazione ===

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e descritta dalla matrice ''S'' iniziale.

I vari [[Numero#Tipi%20di%20numeri|tipi di numeri]] sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali <math>\N</math> fino ad arrivare ai complessi <math>\Complex</math>, ottenendo la sequenza classica

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. Il calcolo esatto dell'ampiezza d'interazione richiederebbe la conoscenza della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie si può utilizzare uno sviluppo in [[serie di Laurent]], utilizzando come [[Polo (analisi complessa)|polo]] tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. In base alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.

<math>\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \Complex</math>.

Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici <math>\overline{\Q}</math>, che sono tutti i numeri reali e complessi, non [[Numero trascendente|trascendenti]], per cui

To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and

<math>\begin{array}{lcl} \N \subset \Z & \subset & \Q \subset \overline{\Q} \\ & & \cap \quad \ \ \cap \\ & & \R \subset \Complex\end{array}</math> .

m outgoing particles and then consider adding to it one outgoing photon, denoted

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono [[Insieme numerabile|numerabili]], mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

by a wavy line in figure 2.5, with momentum q. (The derivation for an incoming

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come <math>\pi</math><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Maxim Kontsevich|coautori=Don Zagier|anno=2001|titolo=Periods|rivista=|volume=|numero=|p=2|lingua=en|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|citazione=}}</ref>, e quindi sono inclusi nei complessi.

photon is similar.) In the soft limit, we can write the amplitude as a sum of two

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La [[E (costante matematica)|costante di Nepero ''e'']], è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

types of terms, ones in which the soft photon attaches to an external line and others

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Masahiko Yoshinaga|anno=2008|titolo=Periods and elementary real numbers|rivista=|volume=|numero=|url=https://arxiv.org/abs/0805.0349}}</ref> ha scoperto come produrre un reale [[Computabilità|computabile]] che non sia un periodo.

in which the soft photon attaches to an internal line. The soft photon can attach to

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita web|url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf|titolo=Maxim Kontsevich e Don Zagier, Periods, 2001}}

* {{cita web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/Mahdia-03-2004.pdf|titolo=Michel Waldschmidt, Périodes d’après M. Kontsevich et D. Zagier, 2004}}

* {{cita web|url=https://arxiv.org/abs/0711.4863|titolo=Periods and Feynman integrals, 2007}}

* {{cita web|url=https://planetmath.org/period|titolo=Period}}

* {{cita web|url=http://www2.mathematik.hu-berlin.de/~kreimer/wp-content/uploads/LesHouchesStefan.pdf|titolo=Stefan Müller-Stach, What is a Period?}}

* Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

any one of the n + m external lines, so we must include a '''sum over all such terms'''.

== Voci correlate ==

The full amplitude has a Laurent expansion in q with an infinite number of terms

*[[Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer]]

*[[Equazione di Picard-Fuchs|Equazion di Picard-Fuchs]]

whose detailed form depends on what theory we are talking about. '''For the pole we'''

*[[Funzione L]]

'''need not specify what theory we are studying except that it has a photon'''. That is

one of the beauties of this formula.

The '''LSZ rule''' for computing scattering amplitudes starts out by computing

'''the time-ordered Green’s functions using the Feynman iε prescription and then'''

'''amputating the external legs.''' The Feynman diagrams have factors for vertices and

propagators. What happens when we attach the extra photon to an external leg is,

'''since external legs are amputated, we need only add a vertex and propagator for'''

'''the particle to whose external leg the photon is added'''. The '''difference between the'''

'''diagram with and without the attached external soft photon is just the vertex and'''

'''propagator.'''

Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35

re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Arnab Priya|cognome=Saha|nome2=Biswajit|cognome2=Sahoo|nome3=Ashoke|cognome3=Sen|data=2020-04-23|titolo=Proof of the Classical Soft Graviton Theorem in D=4|rivista=arXiv:1912.06413 [gr-qc, physics:hep-th]|accesso=2023-05-02|url=http://arxiv.org/abs/1912.06413}}</ref>: here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem<ref name=":0" /> is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

== Note ==

<references/>