Funzione iniettiva: differenze tra le versioni

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[[File:Injection.svg|upright|thumb|Un esempio di funzione iniettiva: non esiste alcun elemento di Y che sia puntato da più di un elemento di X]]

[[File:Surjection.svg|upright|thumb|Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C]]

In [[matematica]], una '''funzione iniettiva''' (detta anche '''funzione ingettiva''' oppure '''iniezione''') è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che assegnaassocia, ada elementi distinti del [[Dominio (matematica)|dominio]], elementi distinti del [[codominio]].

In altrialtre termini,parole: una funzione da un insieme <math>X</math> ada un insieme <math>Y</math> è iniettiva se ad ogni elemento di <math>Y</math>non sinon può arrivareessere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di <math>X</math>.

== Definizione ==

Una funzione <math>f\colon X\to Y</math> si dice '''iniettiva''' se due elementi distinti del dominio hanno [[immagine (matematica)|immagini]] distinte, ovveroossia <math>a_1\neq a_2</math> implica <math>f(a_1)\neq f(a_2)</math>; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ovveroossia <math>f(a_1)=f(a_2)</math> implica <math>a_1=a_2</math>.

Simbolicamente:<ref>{{Cita|Herstein, I. N.|Pag. 13|herstein}}.</ref><ref>{{Cita|Hungerford, T. W.|Pag. 4|hungerford}}.</ref>

: <math>\forall x,y \in X, \;\; f(x)=f(y) \Rightarrow x=y</math>

oppure, nella forma [[implicazione logica|contronominale]]:<ref>{{Cita|Soardi, P.M.|Pag.31|soardi}}.</ref>

: <math>\forall x,y \in X, \;\; x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y).</math>

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In particolare, se <math>f</math> è una [[funzione di variabile reale|funzione reale di una variabile reale]] iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle <math>x</math> intersecherà il grafico della funzione in ''al massimo'' un punto.

Se inoltre la funzione iniettiva è definita e [[funzione continua|continua]] su un [[intervallo (matematica)|intervallo]], allora è [[funzione monotona|strettamente monotòna]] (strettamente crescente o strettamente decrescente).<ref>{{cita libro|titolo=Mathematical Analysis I|url=https://archive.org/details/mathematicalanal00vazo_032|autore=Vladimir A. Zorich|traduttore=Roger Cooke|editore=Springer Science & Business Media|anno=2004|ISBN=978-3-540-40386-9|p=[https://archive.org/details/mathematicalanal00vazo_032/page/n181 165]}}</ref>

Viceversa, se <math>f</math> è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, <math>f(a_1)=f(a_2)=b</math>. Dunque la retta <math>y=b</math> interseca il grafico <math>\Gamma(f)</math> in almeno due punti: <math>(a_1,b)</math> e <math>(a_2,b)</math>.

=== Omomorfismi ===

Un [[omomorfismo di gruppi]] è iniettivo (''monomorfismo'') [[se e solo se]] il suo [[nucleo (matematica)|nucleo]] è costituito dal solo [[elemento neutro]].<ref>{{Cita|Herstein, I. N.|Pag. 61|herstein}}.</ref><ref>{{Cita|Hungerford, T. W.|Pag. 31|hungerford}}.</ref>

In particolare, un'[[applicazione lineare]] tra [[spazi vettoriali]] è iniettiva se e solo se il suo [[Nucleo (matematica)|nucleo]] è composto solo dal [[vettore nullo]].<ref>{{Cita|Lang, Serge|Pag. 94|lang}}.</ref>

Equivalentemente in spazi di [[Dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'[[Immagine (matematica)|immagine]] è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

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* Ogni funzione <math>f\colon A\rightarrow B</math> può essere scomposta come composizione <math>f=h\circ g</math> di una funzione suriettiva <math>g\colon A\to f(A)</math> e di una funzione iniettiva <math>h\colon f(A)\to B</math>, definendo <math>g(a)=f(a)</math> e <math>h(b)=b</math>.

== Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività ==

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione <math>f:A \rightarrow B</math> e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

* Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione <math>g:B \rightarrow A</math> tale che <math>g \circ f=\mathrm{id}_A.</math>

* Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme <math>T</math> e per ogni funzione <math>g:T \rightarrow A,</math> e <math>h:T \rightarrow A,</math> tali che <math> f \circ g=f \circ h,</math> si ha <math> g=h.</math>

* Identità della [[controimmagine]] dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni <math>S \subseteq A,</math> si ha <math>f^{-1}(f(S))=S.</math>

== Esempi ==

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* Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, <math>f\colon\{x\}\to Y</math>, è iniettiva.

* Una funzione definita sull'insieme vuoto, <math>f\colon\emptyset\to Y</math>, è iniettiva.

* Una [[funzione costante]], <math>f_y\colon X\to Y\colon x\mapsto y</math>, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.

* Per <math>a,b\in\mathbb{R}</math> e <math>a\neq0</math>, la funzione <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto ax+b</math> è iniettiva (e suriettiva).

* La [[funzione esponenziale]] <math>\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> non è iniettiva.

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== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Herstein| nome= I. N. | wkautore = I. N. Herstein | titolo= Algebra| editore= Editori Riuniti| città= Roma| anno= 1995| isbn= 88-359-3634-9|cid =herstein}}

* {{cita libro | cognome= Hungerford| nome= Thomas W. | titolo= Algebra| url= https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3| editore= Springer-Verlag| città= New York| anno= 1974| isbn= 0-387-90518-9|cid =hungerford}}

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| wkautore=Serge Lang| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn=88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{cita libro | cognome= Soardi | nome= Paolo Maurizio | titolo= Analisi Matematica| editore= CittàStudi| anno= 2007|isbn= 978-88-251-7319-2|cid =soardi}}

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sulle|etichetta=funzioni iniettive}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

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