E=mc²: differenze tra le versioni
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[[File:Relativity4 Walk of Ideas Berlin.JPG|thumb|Sesta e ultima scultura della "Berliner Walk of Ideas", realizzata in occasione del [[Campionato mondiale di calcio 2006]] ([[Berlino]], [[Lustgarten]], di fronte
'''''E = mc<sup>2</sup>''''' esprime la relazione tra l'[[energia]] e la [[Massa (fisica)|massa]] di un [[sistema fisico]]. ''E'' indica l'[[energia totale relativistica]] del sistema, ''m'' la sua [[massa relativistica]] e ''c'' la costante [[velocità della luce]] nel vuoto. Se si considera un [[sistema di riferimento]] solidale a un corpo, in cui la velocità del corpo risulta quindi nulla, l'equazione va riformulata come ''E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub> c<sup>2</sup>'', in cui ''m<sub>0</sub>'' è la [[massa a riposo]] ed ''E<sub>0</sub>'' l'energia di massa.<ref group="Nota">In [[meccanica classica]], un corpo fermo e posto al livello zero dell'[[energia potenziale]] ha energia nulla. In [[relatività ristretta]], tale corpo risulta invece dotato di un'enorme ''energia di massa'': ''E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub> c<sup>2</sup>''.</ref> In questa forma, stabilisce un'equivalenza tra massa ed energia e, di conseguenza, un principio di conservazione massa-energia. Tale principio segna un superamento rivoluzionario della separazione tra la [[Legge della conservazione della massa (chimica)|legge della conservazione della massa]] e la [[legge di conservazione dell'energia]].
La relazione fu enunciata, in una forma diversa (vedi [[E=mc²#Derivazioni relativistiche di Einstein (1905 e 1907)|Derivazioni relativistiche di Einstein]]), da [[Albert Einstein]] nell'ambito della [[relatività ristretta]]; tuttavia non nel primo articolo dedicato alla teoria (''[[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]]''), del giugno 1905, ma in quello intitolato ''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?'',<ref name="einstein">{{cita pubblicazione|cognome= Einstein |nome=A. |titolo= Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? |titolotradotto= L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? |rivista= Annalen der Physik |volume= 18 |anno= 1905 |pp= 639-641}} Traduzione italiana in {{cita libro |nome=A. |cognome= Einstein |titolo= Opere scelte |curatore = E. Bellone |anno= 1988 |editore= Bollati Boringhieri|città= Torino |pp = 178-180}}</ref> del settembre dello stesso anno. Era già stata proposta precedentemente, ad esempio da [[Henri Poincaré]] nel 1900 (vedi [[E=mc²#Aspetti storici|Aspetti storici]]), senza acquisire la valenza di principio generale, assunta dopo il 1905 grazie ad Einstein.
== Significato dell'equazione ==
Fino allo sviluppo della relatività ristretta
:<math> E = E_0 + K = m_0 c^2 + (\gamma - 1) \, m_0 c^2 = \gamma \, m_0 c^2 = m c^2 = \sqrt{p^2 c^2 \,+\, m_0^2 c^4}</math>
{| class="wikitable floatright"
! Massa a riposo
|align="center"|<math>m_0</math>
|-
! Massa relativistica
|align="center"|<math>m = \gamma \, m_0</math>
|-
! Energia di massa
|align="center"|<math>E_0 = m_0 c^2</math>
|-
! Energia totale
|align="center"|<math>E = m c^2 = \gamma \, m_0 c^2</math>
|}
in cui <math>p = \gamma \, m_0v</math> è la [[quantità di moto]] relativistica, definita da [[Max Planck]] nel 1906.<ref name=hecht/>
La massa relativistica <math>m</math> è legata alla massa a riposo tramite il [[fattore di Lorentz]] <math>\gamma</math>:
:<math>m = \gamma \, m_0 = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \; m_0</math>
e appare nella versione relativistica del [[secondo principio della dinamica]]
Poiché la massa relativistica dipende dalla velocità, il concetto classico di [[
Nella [[fisica classica]] [[XIX secolo|ottocentesca]] esistevano due leggi (o princìpi) di conservazione ben distinte e separate: la [[Legge della conservazione della massa (fisica)|legge di conservazione della massa]], scoperta da [[Lavoisier]] (''«In natura nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma»'') e la [[legge di conservazione dell'energia]], o [[primo principio della termodinamica]], alla cui scoperta hanno contribuito, nel corso dell'Ottocento, diversi scienziati ([[Julius Robert von Mayer|Mayer]], [[James Prescott Joule|Joule]], [[Nicolas Léonard Sadi Carnot|Carnot]], [[Joseph John Thomson|Thomson]], [[Rudolf Clausius|Clausius]], [[Michael Faraday|Faraday]]).
A partire dai primi anni del [[XX secolo|Novecento]], la conservazione dell'[[energia meccanica]] comprende invece, oltre all'[[energia cinetica]] e all'[[energia potenziale]] (dovuta alla presenza di masse esterne), anche un contributo proporzionale alla massa a riposo ''m<sub>0</sub>'' quale ulteriore forma di energia. [[Einstein]] ha quindi unificato le due leggi pre-esistenti in un unico [[principio di conservazione]], che coinvolge unitariamente tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, dato che l'una può trasformarsi nell'altra secondo la relazione ''E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub> c²''. Ciò che resta sempre costante, nei singoli sistemi fisici come nell'intero universo, è la somma di massa ed energia: il ''principio di conservazione [[Massa (fisica)|massa]]-[[energia]]''. La concezione einsteiniana getta una luce unificante sulla realtà fisica: con l{{'}}''equivalenza [[Massa (fisica)|massa]]-[[energia]]'', la massa diventa una forma di energia. In determinati processi, la massa può essere trasformata in altre forme d'energia ([[Annichilazione|annichilazioni]] [[Particella (fisica)|particella]]-[[antiparticella]], [[reazioni nucleari]], [[Radioattività|decadimenti radioattivi]], ecc.), così come l'energia può trasformarsi in massa, come si verifica negli [[Acceleratore di particelle|acceleratori di particelle]] e nella [[produzione di coppia]] <math>(\gamma + \gamma \to e^+ + e^-)</math>.
L'equazione di Einstein è stata verificata sia per fenomeni fisici macroscopici, come ad esempio la produzione d'[[energia solare]], sia a livello subatomico. Si hanno varie classi di fenomeni subatomici in cui si verifica l'equivalenza massa-energia:
# [[Produzione di coppia|Produzione di una coppia]] [[particella (fisica)|particella]]-[[antiparticella]] <math>(\gamma + \gamma \to e^+ + e^-)</math>
# [[Annichilazione|Annichilazioni]] [[particella (fisica)|particella]]-[[antiparticella]] <math>(e^+ + e^- \to \gamma + \gamma \quad ; \quad
q + \bar{q} \to \gamma + \gamma)</math>
# [[Decadimento particellare|Decadimenti particellari]] <math>(\pi^0 \to \gamma + \gamma)</math>
# [[Trasmutazione|Trasmutazioni]] o [[Radioattività|decadimenti radioattivi]] <math>(A \to C + D)</math>
# [[Reazioni nucleari]] <math>(A + B \to C + D)</math>
# [[
# [[Fusione nucleare]] (unione di due nuclei leggeri in uno più pesante)
Nella produzione di coppia si può avere una totale conversione d'energia in materia. La completa conversione di massa in energia si verifica invece
L'energia liberata nel singolo processo nucleare sotto forma d'[[energia cinetica]], [[radiazione elettromagnetica]], [[calore]] o altra forma d'energia risulta essere
==Conseguenze==
Misurando la massa di diversi [[Nucleo atomico|nuclei atomici]] si può ottenere una stima dell'[[energia di legame]] disponibile all'interno di un nucleo atomico. È quindi possibile stimare la quantità
L'energia prodotta in una centrale nucleare da una singola fissione è data dalla differenza tra le masse dei nuclei iniziali ([[uranio]] + [[neutrone]]) e le masse nucleari dei prodotti di fissione.
La conversione massa-energia fu cruciale anche nello sviluppo della [[bomba atomica]]. La [[Bombardamento atomico di Hiroshima e Nagasaki|bomba di Hiroshima]] era di 13 [[kilotone|kilotoni]], pari a 54,6
L'[[uranio]]-238, di per sé non fissile, costituisce oltre il 99% dell'uranio che si trova in natura; solo lo 0,7% dell'uranio reperibile naturalmente è uranio-235, necessario per la fissione nucleare. Per tale motivo l'uranio-238 viene arricchito dell'[[isotopo]] 235 prima di essere usato per usi civili (centrali nucleari) o militari.
Durante una reazione nucleare il [[numero di massa]] '''A''' (numero dei [[nucleoni]] = [[protoni]] + [[neutroni]]) e il [[numero atomico]] '''Z''' (numero dei [[protoni]]) sono conservati, cioè rimangono costanti. Ad esempio, nella reazione nucleare
si ha la conservazione di '''A''': 14 + 4 = 17 + 1 e di '''Z''': 7 + 2 = 8 + 1. Nonostante ciò, la somma delle masse dei reagenti ''non'' è conservata in quanto varia, dopo la reazione, l'[[energia di legame]] con cui i singoli [[nucleoni]] sono legati all'interno dei vari nuclei. Le masse dei reagenti e dei prodotti, espresse in [[unità di massa atomica]] (dalton, [[Unità di massa atomica|Da]]) sono rispettivamente:
:<math>m\mathrm{(^{14}_{~7}N)} + m\mathrm{(^{4}_{2}He)} = 14{,}003074 + 4{,}002603= 18{,}005677\text{ Da}</math>
:<math>m\mathrm{(^{17}_{~8}O)} + m\mathrm{(^{1}_{1}p)} = 16{,}999132 + 1{,}008665 = 18{,}007797\text{ Da}</math>
In questo caso, il ''difetto di massa'' è negativo:
= - 3,52 \times 10^{-30} \; \mathrm{kg} </math>
La reazione è endoenergetica, ovvero necessita d'energia esterna per avvenire. Oltre all'[[energia di barriera]], necessaria per vincere la repulsione coulombiana, l'energia minima perché tale reazione possa avvenire è
Tale energia viene fornita dall'[[energia cinetica]] del nucleo di elio (particella α) che va a collidere col nucleo d'azoto. La velocità minima della particella α dev'essere
equivalente al 3,25% della velocità della luce.
Anche il processo di [[fusione nucleare]], come tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, avviene rispettando il ''principio di conservazione della massa–energia''. Nel [[Sole]], che ha una temperatura interna di 15 milioni di [[kelvin]], mediante le reazioni di fusione termonucleare (fusione [[protone]]-protone dei nuclei di idrogeno), ogni secondo 600 milioni di tonnellate d'[[idrogeno]] si trasformano in 595,5 milioni tonnellate di [[elio]]. Quindi, dopo questa trasformazione, mancano ogni secondo 4,5 milioni di tonnellate (pari allo 0,75% della massa iniziale). Questo ''difetto di massa'' si è trasformato direttamente in [[radiazione elettromagnetica]], ossia in energia, secondo l'equazione ''E'' = ''mc''<sup>2</sup>. Tutta la potenza del Sole è dovuta alla conversione in energia di questa massa mancante, paragonabile approssimativamente alla massa di un piccolo gruppo di montagne sulla Terra. La massa convertita in energia durante 10 miliardi di anni di fusione termonucleare è pari a 1,26 × 10<sup>27</sup> kg. Siccome la massa del Sole è di 2 × 10<sup>30</sup> kg, 10 miliardi di anni di fusione consumano solo lo 0,063 % della massa solare.
Inserendo il valore della massa mancante ogni secondo nell'equazione di Einstein (dove l'energia è espressa in [[joule]] = Ws, la massa in kg e ''c'' in m/s), si calcola che a esso corrisponde una potenza pari a (4,5 × 10<sup>9</sup> kg) × (9 × 10<sup>16</sup> m<sup>2</sup>/s<sup>2</sup>) / 1 s = 4 × 10<sup>26</sup> W ([[watt]]), ossia a 4 × 10<sup>14</sup>
La completa conversione di 1 [[chilogrammo]] di [[massa (fisica)|massa]] equivarrebbe a:
* {{formatnum:89875517873681764}} [[joule]] (circa {{
* {{formatnum:24965421632000}} [[wattora]] (circa 25 TWh, equivalenti al consumo d'energia elettrica in Italia nel 2017 in 4 settimane);
* 21,48076431 [[megaton]];
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==Velocità della luce come limite==
{{vedi anche|Meccanica relativistica}}
La velocità della luce non può essere raggiunta o superata da un corpo per la natura del termine <math>\gamma</math>
Infatti se
e di conseguenza
Alla velocità della luce, la massa relativistica e l'energia totale diverrebbero infinite:
In altre parole, per accelerare un corpo alla velocità della luce serve una quantità infinita di energia. Tale fatto viene spiegato dal punto di vista dinamico con l'aumento dell'[[inerzia]] al crescere della velocità.
== Approssimazione per basse velocità ==
{{vedi anche|Meccanica relativistica}}
L'[[Energia totale relativistica|energia relativistica totale]] comprende anche l'energia di massa del corpo, dipendente solo dalla [[massa a riposo]] <math>m_0</math>, che non compare invece nella definizione classica dell'[[energia]]. L'[[energia cinetica]] relativistica <math>K</math> è, di conseguenza, data dalla differenza tra l'energia relativistica totale <math>E = m c^2</math> e l'[[energia a riposo]] <math>E_0 = m_0 c^2</math>:
:<math> K = E - E_0 = m c^2 - m_0 c^2 = \gamma \, m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) \, m_0 c^2</math>
che per piccole velocità (''v'' << ''c'') è approssimativamente uguale all'espressione classica dell'energia cinetica,
:<math> K = \frac{1}{2} \, m_0 v^2 </math>.
Si può mostrare che le due
in [[serie di Taylor]], in funzione di <math>\beta = v/c</math>:
Arrestando lo sviluppo al prim'ordine
:<math>\gamma \,\simeq\, 1 + \frac{1}{2} \beta^2 = 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 </math>
ed inserendolo nell'equazione iniziale, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:
:<math> K = \left(\gamma - 1 \right) \, m_0 c^2 \simeq \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 \simeq \frac{1}{2} \, m_0 v^2</math>.
L'espressione dell'energia cinetica relativistica è quindi equivalente a quella classica per basse velocità ''v'' rispetto a ''c''. Questo mostra come la relatività ristretta sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.
== Massa invariante ==
{{Citazione|''All’inizio Einstein abbracciò l’idea ''[di Lorentz]'' di una massa dipendente dalla velocità, ma cambiò idea nel 1906 e da allora in poi evitò accuratamente quella nozione. Evitò, e rifiutò esplicitamente, quella che in seguito divenne nota come “massa relativistica”. ''[...]'' Egli ha costantemente messo in relazione l'“energia a riposo” di un sistema con la sua massa inerziale invariante.'' |Eugene Hecht,<ref name=hecht/> 2009}}
La [[massa relativistica]] non è più usata nel linguaggio relativistico odierno, in quanto potenziale espressione dell'errore concettuale per cui la [[Massa (fisica)|massa]], piuttosto che l'[[inerzia]],<ref group="Nota">Per inerzia s'intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione '''a''' per effetto di una forza esterna '''F'''. Con l'introduzione del concetto di ''massa invariante'', la massa ''m'' non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la ''massa relativistica''. Invece l'inerzia, definita ora come <math>\gamma \, m</math>, risulta essere una funzione della velocità ''v'' tramite il fattore di Lorentz <math>\gamma</math>.</ref> vari con la velocità. Per questa ragione oggi si indica con ''m'' (che coincide numericamente con la [[massa a riposo]] <math>m_0</math>) la ''massa invariante'' a ogni velocità ''v'' < ''c'' in un dato [[sistema di riferimento inerziale]] ''S''. Essendo ''relativisticamente invariante'', tale massa ''m'' conserva il proprio valore non solo nel [[sistema di riferimento inerziale]] ''S'', ma anche in qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale ''S<nowiki>'</nowiki>'' in moto a velocità costante ''v<nowiki>'</nowiki>'' rispetto a ''S''.
Nel sistema di riferimento ''S'' l'equivalenza massa-energia si scrive <math>E = \gamma \, mc^2</math> per un oggetto in moto con velocità ''v'' < ''c'' oppure <math>E_0 = mc^2</math> se in quiete (<math>\gamma = 1</math>).<ref>{{cita pubblicazione|titolo=The concept of mass|autore=Lev B. Okun |rivista= Physics Today |volume=42 |pp=31-36 |anno=1989 |lingua=en}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|nome=Elio |cognome=Fabri|anno=1981| titolo=Dialogo sulla massa relativistica|rivista=La Fisica nella Scuola|volume=14|numero=25|url=http://www.sagredo.eu/articoli/dialogo-mr.pdf}}</ref>
{| class="wikitable floatright"
! Massa invariante
|align="center"|<math>m</math>
|-
! Energia a riposo
|align="center"|<math>E_0 = m c^2</math>
|
! Energia totale
|align="center"|<math>E = \gamma \, m c^2</math>
|}
Poiché la massa invariante, a differenza di quella relativistica, non dipende dalla velocità del corpo, il concetto classico di [[Massa (fisica)|massa]], coincidente con la definizione [[Isaac Newton|newtoniana]] di [[costante di proporzionalità]] fra la [[forza]] applicata a un corpo e l'[[accelerazione]] risultante, è nuovamente appropriato. La versione relativistica del [[secondo principio della dinamica]] diventa ora
:<math>\vec{F} = m \, \frac{d}{dt} (\gamma \vec{v}) </math>.
Avendo riunificato, con l'introduzione della massa invariante, il concetto di [[Massa (fisica)|massa]], è concettualmente legittimo interpretare l'energia a riposo <math>E_0 = m c^2</math> come il limite per <math>\gamma \to 1</math> (ovvero per <math>v \to 0</math> ) dell'[[Energia totale relativistica|energia relativistica totale]] <math>E = \gamma \, m c^2</math>. La relazione tra queste due energie e la [[quantità di moto]] relativistica (definita<ref name=hecht/> nel 1906 da [[Max Planck]] come <math>p = \gamma \, m v</math>) è data da
:<math>E = E_0 + K = m c^2 + (\gamma - 1) \, m c^2 = \gamma \, m \, c^2 = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}</math>
Questa notazione è sempre più diffusa tra i fisici contemporanei, mentre quella con la [[massa a riposo]] <math>m_0</math> e la [[massa relativistica]] <math>m</math> dipendente dalla velocità riveste un significato prevalentemente storico. Lo stesso Einstein utilizzò la formula con la massa invariante
:<math>E = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
in un manoscritto del 1912.<ref name=manoscritto_1912>{{cita libro|nome=A. |cognome=Einstein |titolo=Einstein's 1912 Manuscript on the Special Theory of Relativity: A Facsimile |anno= 2000 |editore= George Braziller |ISBN=9780807614174}}</ref>
In una lettera del 19 giugno 1948 all'editore Lincoln Burnett (autore di un'introduzione divulgativa alla relatività dal titolo ''The Universe and Doctor Einstein''), Einstein scrisse: «Non è bene introdurre il concetto di massa <math>M = m/(1 - v^2/c^2)^{1/2}</math> di un corpo in movimento, perché di essa non può essere data una definizione chiara. È meglio non parlare di altri concetti di massa che non siano quello della massa a riposo m. Piuttosto che introdurre M, è meglio menzionare l'espressione della quantità di moto e dell'energia di un corpo in movimento».<ref>{{Cita web|url=https://www.asimmetrie.it/as-radici-da-newton-a-higgins |titolo=Da Newton a Higgs, breve storia della massa |autore=Pasquale Tucci |data=giugno 2009 |accesso=13 ottobre 2023}}</ref>
== Aspetti storici ==
Einstein non fu il
=== Luce e materia da Newton a Soldner (1704-1804) ===
L'idea di un'equivalenza, convertibilità o effetto della materia sulla radiazione risale già a [[Isaac Newton]]. Nel quesito 30 dell
Nel [[1783]] [[John Michell]], docente a [[Università di Cambridge|Cambridge]], suggerì in una lettera a [[Henry Cavendish]] (successivamente pubblicata nei rendiconti della [[Royal Society]]<ref>{{cita pubblicazione|nome= [[Johann von Soldner]] fu tra i primi ad avanzare l'ipotesi che la [[luce]], in base alla [[teoria corpuscolare della luce|teoria corpuscolare]] di [[Isaac Newton|Newton]], possa subire una deviazione quando passa in prossimità di un corpo celeste.<ref name=ricker/> In un articolo del 1801, pubblicato nel 1804,<ref>{{cita pubblicazione|nome=J.|cognome= von Soldner |titolo= Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung |titolotradotto= Sulla deflessione di un raggio di luce dal suo movimento rettilineo |rivista= Berliner Astronomisches Jahrbuch |anno= 1804 |pp= 161-172|lingua=de}}</ref> calcolò il valore della deviazione di un raggio luminoso proveniente da una [[stella]] quando passa in prossimità del [[Sole]]. Il valore angolare da lui trovato era la metà<ref>{{cita web|url=http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/08/20/soldner-la-relativita-generale-a-meta/|titolo= Soldner: la relatività generale a metà|accesso=14 maggio 2020}}</ref> di quello calcolato da Einstein nel 1915 utilizzando la [[relatività generale]]. Sulla misura di tale effetto durante un'eclisse totale di Sole si baserà la più importante conferma sperimentale della relatività generale, ottenuta da [[Arthur Eddington]] nel 1919.
=== L'etere come causa dell'equivalenza massa-energia (1851-1904) ===
[[Julius Robert von Mayer]] (1814 - 1878) usò <math>mc^2</math> nel 1851 per esprimere la pressione esercitata dell'[[etere (fisica)|etere]] su un corpo di massa <math>m</math>:
''«Se una massa <math>m</math>, originariamente a riposo, mentre attraversa lo spazio efficace <math>s</math>, sotto l'influenza e nella direzione della pressione <math>p</math>, acquisisce la velocità <math>c</math>, abbiamo <math>ps = mc^2</math>. Tuttavia, poiché ogni produzione di movimento implica l'esistenza di una pressione (o di una trazione) e uno spazio efficace (e anche l'esaurimento di almeno uno di questi fattori, lo spazio effettivo), ne consegue che il movimento non può mai entrare in esistenza tranne al costo di questo prodotto, <math>ps = mc^2</math>.»''<ref name="ricker" /><ref>{{cita pubblicazione|nome=J. R.|cognome= von Mayer |titolo=Bemerkungen über das mechanische Aequivalent der Wärme |titolotradotto= Osservazioni sull'equivalente meccanico del calore|rivista= Pamphlet |anno=1851 |lingua=de |città= Heilbronn, Leipzig}}</ref>
[[Samuel Tolver Preston]] (1844 - 1917), ingegnere e fisico inglese, pubblicò nel 1875 il libro ''Physics of the Ether'' con l'intento di sostituire la nozione newtoniana d'[[azione a distanza (fisica)|azione a distanza]], ritenuta ''spiritualistica'', con il concetto meccanico di [[etere (fisica)|etere]]. L'energia implicata nel seguente esempio citato da Preston equivale<ref name="ricker" /> a <math>mc^2</math>:
''«Per dare un'idea, in primo luogo, dell'enorme intensità del deposito di energia raggiungibile per mezzo di quell'esteso stato di suddivisione della materia che rende praticabile un'alta velocità normale, si può calcolare che [...] una quantità di materia che rappresenta una massa di un chicco munita della velocità delle particelle di etere, racchiude una quantità di energia che, se interamente utilizzata, sarebbe capace di proiettare un peso di centomila tonnellate ad un'altezza di quasi due miglia (1,9 miglia).»''<ref name="ricker" /><ref>{{cita libro|nome=S. T.|cognome= Preston|titolo= Physics of the ether|anno= 1875|editore= E. & F. N. Spon|città= London |p=165 |lingua = en}}</ref>
[[Olinto de Pretto]] (1857 - 1921), agronomo, geologo e astronomo italiano, nel novembre del 1903 presentò al [[Istituto veneto di scienze, lettere ed arti|Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti]] un saggio dal titolo ''Ipotesi dell'etere nella vita dell'universo'', pubblicato il 27 febbraio 1904, assieme ad una lettera dell'astronomo [[Giovanni Schiaparelli]].<ref name="DePretto">{{cita pubblicazione|nome= O.|cognome= De Pretto|titolo= Ipotesi dell'Etere nella Vita dell'Universo|rivista= Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti|anno= 1903-1904|volume= LXIII|pp= 439-500|}}</ref><ref name="Bartocci">Il testo della memoria è reperibile al sito [http://www.cartesio-episteme.net sito web di Umberto Bartocci]: [http://www.cartesio-episteme.net/st/mem-depr-vf.htm ''Ipotesi dell'Etere nella Vita dell'Universo'']</ref> Nella memoria si tentava, con diverse argomentazioni, di dare una spiegazione teorica alla natura dell'[[etere (fisica)|etere]] e alla [[forza gravitazionale]], riprendendo quasi integralmente le tesi di George-Louis Lesage.<ref>{{cita web| |url=https://www.treccani.it/enciclopedia/georges-louis-lesage/ |titolo=Lesage, Georges-Louis |accesso=31 dicembre 2023}}</ref> Tra gli argomenti trattati figurano l'energia dell'etere e l'energia latente nella materia. È stato osservato che «''De Pretto ''[...]'' non va considerato né un precursore della relatività ''[...]'' né esattamente della <math>E_0 = m_0 c^2</math> ''[...]'' ma ''[...]'' comunque esprimente appieno l'intuizione dell'esistenza di un'energia latente nella materia''»<ref name="risposta">{{cita web| |url=http://www.cartesio-episteme.net/st/DEPR-003.htm |titolo=Risposta di Umberto Bartocci all'intervista a Ignazio Marchioro |accesso=31 dicembre 2023}}</ref> proporzionale al quadrato della velocità della luce nel vuoto.
=== La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906) ===
Nei primi anni del XX secolo molti fisici aderirono ad una ''teoria elettromagnetica della natura'', che riteneva le leggi dell'elettromagnetismo di [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] più fondamentali di quelle meccaniche di [[Isaac Newton|Newton]].<ref>{{cita libro
Oggetti [[carica elettrica|carichi]] possiedono una [[inerzia]] maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta ''reazione di campo''; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del [[corpo (fisica)|corpo]] ed è ricavabile dalle [[equazioni di Maxwell]].
Nel 1881 [[Joseph John Thomson]], che nel 1896 scoprirà l'[[elettrone]], fece un primo tentativo di calcolare il contributo elettromagnetico alla [[massa (fisica)|massa]].<ref name=thomson>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1881 |titolo=On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies |rivista=Philosophical Magazine |volume=11 |serie=5 |numero=68 |pp=
dove <math>E_{\rm em}</math> è l'energia del [[campo elettrico]] della sfera. Chiaramente questo risultato si applica solo ad oggetti carichi e in movimento, quindi non ad ogni corpo dotato di massa. Fu tuttavia il primo serio tentativo di connettere massa ed energia.<ref name=rothman_1>{{cita web|url=https://www.scientificamerican.com/article/was-einstein-the-first-to-invent-e-mc2/?redirect=1 |titolo= Was Einstein the First to Invent E = mc^2?|lingua= en| accesso=5 giugno 2019}}</ref><ref name=rothman_2>{{cita pubblicazione|cognome= Rothman |nome=
[[Walter Kaufmann (fisico)|Walter Kaufmann]] (1901), [[Max Abraham]] (1902, 1904 e 1905) ed [[Hendrik Lorentz]] (1892,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1892 |titolo= La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants |titolotradotto= La teoria elettromagnetica di Maxwell e la sua applicazione ai corpi in movimento |rivista=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles |volume=25 |pp=
Nel 1893 [[Joseph John Thomson]] notò che l'energia e quindi la massa dei corpi carichi dipendono dalla loro velocità, e che la velocità della luce costituisce una velocità limite: ''«una sfera carica che si muove alla velocità della luce si comporta come se la sua massa fosse infinita [...] in altre parole è impossibile aumentare la velocità di un corpo carico che si muove in un dielettrico oltre quella della luce.»''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1893 |titolo=Notes on recent researches in electricity and magnetism |editore=Clarendon Press |città=Oxford |
dove <math>\gamma</math> è il [[fattore di Lorentz]]
Nell'ambito della ''teoria elettromagnetica della natura'', [[Wilhelm Wien]]<ref name=wien>{{Cita pubblicazione|autore= W. Wien |anno=1900 |titolo=Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik |titolotradotto= Sulla possibilità di una fondazione elettromagnetica della meccanica |rivista=Annalen der Physik |volume=310 |numero=7 |pp=
Tuttavia ben presto si dovette rinunciare all'idea di una massa puramente elettromagnetica dell'elettrone. Nel 1904 [[Max Abraham]] sostenne che era necessaria anche un'energia non elettromagnetica (in misura pari ad <math>(1/3) E_{\rm em}</math>) per evitare che l'elettrone contrattile di Lorentz esplodesse<ref>{{Cita pubblicazione|autore=M. Abraham |anno=1904 |titolo=Die Grundhypothesen der Elektronentheorie |titolotradotto= Le ipotesi fondamentali della teoria degli elettroni |rivista=Physikalische Zeitschrift |volume=5 |pp=
Per risolvere i problemi della teoria dell'elettrone di Lorentz, nel 1905<ref>{{Cita pubblicazione|autore=H. Poincaré |anno=1905 |titolo=Sur la dynamique de l'électron |titolotradotto= Sulla dinamica dell'elettrone
Lo stress di Poincaré - che risolve il problema dell'instabilità dell'elettrone di Lorentz - resta inalterato per [[Trasformazione di Lorentz|trasformazioni di Lorentz]] (ovvero è Lorentz invariante). Era interpretato come la ragione dinamica della [[contrazione delle lunghezze|contrazione]] di [[Hendrik Lorentz|Lorentz]]-[[George Francis FitzGerald|FitzGerald]] della dimensione longitudinale dell'elettrone.
Restava da capire l'origine del fattore 4/3 che compare nella massa elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> di [[Oliver Heaviside|Heaviside]], derivabile anche dalle equazioni di
[[Max Abraham|Abraham]]–[[Hendrik Lorentz|Lorentz]] dell'elettrone. Se si calcola il contributo puramente elettrostatico alla massa elettromagnetica dell'elettrone, il termine 4/3 scompare:
mettendo in luce l'origine dinamica del contributo non elettromagnetico <math>E_{\rm po}</math>:
Tenendo conto del termine non elettromagnetico di Poincaré, le relazioni tra le diverse masse ed energie diventano:<ref name=miller>{{cita libro
\frac{E_{\rm em} + \frac{E_{\rm em}}{3}}{c^2} = \frac{E_{\rm em} + E_{\rm po}}{c^{2}} =
\frac{E_0}{c^2}</math>.
Quindi il fattore 4/3 compare quando la massa elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> viene riferita all'energia elettromagnetica <math>E_{\rm em}</math>, mentre scompare se si considera l'energia a riposo <math>E_0</math>:
Le formule precedenti - nonostante contengano il termine non elettromagnetico <math>E_{\rm po}</math> - identificano, come sostenuto da Poincaré,<ref name=poinc/> la massa a riposo dell'elettrone con la massa elettromagnetica: <math>m_{\rm em} = E_0/c^2</math> e presentano quindi un evidente problema interpretativo, che richiederà molti anni per essere risolto.
[[Max von Laue]] nel 1911<ref>{{cita libro
Invece nel sistema complessivo la massa a riposo <math>m_0</math> e l'energia risultano connesse dalla formula di Einstein,<ref name=macklenburg/> il cui fattore è uguale a 1
La definitiva soluzione al problema dei 4/3 fu trovata, nell'arco di oltre 60 anni, da ben quattro autori diversi: [[Enrico Fermi]] (1922),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= E. Fermi |anno=1922 |titolo=Über einen Widerspruch zwischen der elektrodynamischen und relativistischen Theorie der elektromagnetischen Masse
[[Paul Dirac]] (1938),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= P. A. M. Dirac |anno=1938 |titolo=Classical Theory of Radiating Electrons |rivista=Proceedings of the Royal Society of London A |volume=167 |numero=929 |pp=148-169 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56260v/f164 |doi=10.1098/rspa.1938.0124|lingua=en}}</ref> [[Fritz Rohrlich]] (1921 - 2018), fisico americano, (1960),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= F. Rohrlich, Fritz |anno=1960 |titolo=Self-Energy and Stability of the Classical Electron|rivista=American Journal of Physics |volume=28 |numero=7 |pp=639-643 |doi=10.1119/1.1935924|lingua= en}}</ref> [[Julian Schwinger]] (1983).<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. Schwinger |anno=1983 |titolo=Electromagnetic mass revisited |rivista=Foundations of Physics |volume=13 |numero=3 |pp=373-383 |doi=10.1007/BF01906185|lingua= en}}</ref> Divenne chiaro che la stabilità dell'elettrone e la presenza del fattore 4/3 nella massa elettromagnetica sono problemi diversi. Venne inoltre dimostrato che le precedenti definizioni dei [[quadrimpulso|quadrimpulsi]] erano intrinsecamente non relativistiche. Ridefinendoli nella forma relativisticamente corretta di [[quadrivettore|quadrivettori]], anche la massa elettromagnetica viene scritta come
:<math>m_{\rm em} = \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>
e quindi il fattore 4/3 scompare completamente.<ref name=macklenburg/> Ora non solo il ''sistema chiuso'' nella sua totalità, ma ogni parte del sistema si trasforma correttamente come un [[quadrivettore]]. Forze di legame come gli stress di Poincaré sono ancora necessarie per evitare che, per repulsione coulombiana, l'elettrone esploda. Ma si tratta ora di un problema di stabilità dinamica, del tutto distinto dalle formule d'equivalenza massa-energia.
=== La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900
La [[pressione di radiazione]] o tensione del campo elettromagnetico
Nel 1895 [[Hendrik Lorentz]] riconobbe che tali tensioni del campo elettromagnetico si debbono manifestare anche nella teoria dell'[[etere luminifero]] stazionario da lui proposta.<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1895 |titolo=Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern |titolotradotto=Tentativo di una teoria dei fenomeni elettrici e ottici nei corpi in movimento |città=Leiden |editore=E. J. Brill|lingua=de}}</ref> Ma se l'etere è in grado di mettere in moto dei corpi, per il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] anche l'etere deve essere messo in moto dai corpi materiali. Tuttavia il moto di parti dell'etere è in contraddizione con la caratteristica fondamentale dell'etere, che deve essere immobile. Quindi, per mantenere l'immobilità dell'etere, Lorentz ammetteva esplicitamente un'eccezione al [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]].
Nel 1900 [[Henri Poincaré]] analizzò il conflitto tra il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] e l'etere di Lorentz.<ref>{{Cita testo |autore=H. Poincaré |anno=1900 |titolo=[[s:fr:La théorie de Lorentz et le principe de réaction|La théorie de Lorentz et le principe de réaction]] |titolotradotto= La teoria di Lorentz e il principio di reazione |pubblicazione=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles |volume=5 |pp=252-278 |lingua= fr}} Vedi anche la [http://www.physicsinsights.org/poincare-1900.pdf traduzione inglese].</ref> Mediante l'[[esperimento mentale]] della ''scatola di Poincaré'' (descritta nella Sezione [[E=mc^2#Derivazioni non relativistiche di Einstein (1906 e 1950)|Derivazioni non relativistiche di Einstein (1906 e 1950)]]) cercò di capire se il baricentro o [[centro di massa]] di un corpo si muova ancora a velocità uniforme quando sono coinvolti campo elettromagnetico e radiazione. Notò che il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] non vale per la sola materia, in quanto il campo elettromagnetico ha una sua [[quantità di moto]] (già derivata anche da [[Joseph John Thomson]] nel 1893,<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1893 |titolo= Notes on recent researches in electricity and magnetism |editore=Clarendon Press|città=Oxford|lingua=en}}</ref> ma in maniera più complicata). Poicaré concluse che il campo elettromagnetico agisce come un [[fluido]] ''fittizio'' con una [[massa (fisica)|massa]] equivalente a
:<math>m_{\rm em} = \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>.
Se il [[centro di massa]] è definito usando sia la massa ''m'' della materia sia la massa <math>m_{\rm em}</math> del fluido ''fittizio'', e se quest'ultimo non viene né creato né distrutto, allora il moto del [[centro di massa]] risulta uniforme. Ma il fluido elettromagnetico non è indistruttibile, in quanto può essere assorbito dalla materia (per questo motivo Poincaré aveva chiamato il fluido ''fittizio'' anziché ''reale''). Quindi il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] verrebbe ancora violato dall'etere di Lorentz. La soluzione al problema (equivalenza [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]]) sarà trovata da Einstein col suo articolo<ref name="einstein"/> del 1905: la massa del campo elettromagnetico viene trasferita alla materia nel processo d'assorbimento. Ma Poincaré formulò invece una diversa ipotesi, assumendo che in ogni punto dello spazio esista un fluido immobile d'energia non-elettromagnetica, dotato di una massa proporzionale alla sua energia. Quando il fluido fittizio elettromagnetico è emesso o assorbito, la sua massa/energia non è emessa o assorbita dalla materia, ma viene invece trasferita al fluido non-elettromagnetico, rimanendo esattamente nella stessa posizione. Con questa improbabile ipotesi, il moto del [[centro di massa]] del sistema (materia + fluido ''fittizio'' elettromagnetico + fluido ''fittizio'' non-elettromagnetico) risulta uniforme.
Tuttavia - siccome solo la materia e la radiazione elettromagnetica, ma non il fluido
non-elettromagnetico, sono direttamente osservabili in un esperimento - quando si considera empiricamente un processo d'emissione o assorbimento, la soluzione proposta da Poicaré viola ancora il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]]. Ciò conduce ad esiti paradossali quando si cambia il [[sistema di riferimento]]. Studiando l'emissione di radiazione da un corpo e il rinculo dovuto alla [[quantità di moto]] del fluido ''fittizio'', Poincaré notò che una [[trasformazione di Lorentz]] (al primo ordine in ''v/c'') dal sistema di riferimento del laboratorio al sistema di riferimento del corpo in movimento risulta conservare l'[[energia]], ma non la [[quantità di moto]]. Ciò comporterebbe la possibilità di un [[moto perpetuo]], ovviamente impossibile. Inoltre le leggi di natura sarebbero differenti nei due diversi [[sistema di riferimento|sistemi di riferimento]], ed il principio di relatività sarebbe violato. Concluse quindi che nell'[[etere luminifero|etere]] debba agire un altro sistema di compensazione, diverso da quello dei [[fluidi]] ''fittizi''.<ref name=miller/><ref>{{Cita pubblicazione|autore= O. Darrigol |titolo=The Genesis of the theory of relativity |anno=2005 |rivista=Séminaire Poincaré |volume=1 |pp=
Poincaré tornò sull'argomento nel 1904,<ref>{{Cita pubblicazione|autore=H. Poincaré |anno=1904 |capitolo=[[s:The Principles of Mathematical Physics|The Principles of Mathematical Physics]]|titolo=Congress of arts and science, universal exposition, St. Louis, 1904 |volume=1 |pp=
=== La massa della radiazione di corpo nero: Hasenöhrl (1904-1905) e Planck (1907) ===
L'idea di Poincaré d'associare una massa e una [[quantità di moto]] alla radiazione elettromagnetica si dimostrò feconda. Nel 1902 [[Max Abraham]] introdusse<ref name=abraham/> il termine "momento elettromagnetico" con densità di campo pari a <math>E_{\rm em}/c^2</math> per cm
Nel 1904 [[Friedrich Hasenöhrl]], studiando la dinamica di un [[corpo nero]] in movimento, associò il concetto d'[[inerzia]] alla radiazione elettromagnetica della cavità.<ref>{{Cita pubblicazione|autore= F. Hasenöhrl |anno=1904 |titolo=Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern
Hasenöhrl suggerì che parte della massa del corpo (che denominò ''massa apparente'') può essere attribuita alla radiazione che rimbalza dentro la cavità. Siccome ogni corpo riscaldato emette radiazione elettromagnetica, la ''massa apparente'' della radiazione dipende dalla temperatura e risulta proporzionale alla sua [[energia]]: <math>m_{\rm ap} = (8/3) E/c^2</math>. Abraham corresse questo risultato di Hasenöhrl: in base alla definizione del "momento elettromagnetico" e della massa elettromagnetica longitudinale <math> m_L = {\gamma}^3 \, m_{\rm em}</math>, il valore della costante di proporzionalità avrebbe dovuto essere 4/3:
:<math>m_{\rm ap} = \frac{4}{3} \, \frac{E}{c^2}</math>,
come per la massa elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> di un corpo elettricamente carico in movimento. Nel 1905 Hasenöhrl rifece i calcoli, confermando il risultato di Abraham. Notò inoltre la similarità tra la ''massa apparente'' <math>m_{\rm ap}</math> di un [[corpo nero]] e quella elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> di un corpo carico.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=F. Hasenöhrl|anno=1905|titolo=Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung|rivista=Annalen der Physik |volume=321 |numero=3 |pp=589-592 |titolotradotto=Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento. Correzione|lingua=de}}</ref><ref>{{cita libro|nome=A. I.| cognome= Miller|titolo= Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911)|anno= 1981|editore= Addison–Wesley|città= Reading |pp=359-360 |isbn=978-0-201-04679-3 |lingua=en}}</ref> Circa il termine 4/3 e la sua successiva eliminazione, si veda la parte finale della Sezione [[#La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906)|''La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906)'']].
Nel 1907 [[Max Planck]], generalizzando il lavoro di Hasenöhrl, fornì una derivazione non relativistica della formula <math>\Delta E =
===
{{Citazione|''[...] molti libri di testo e articoli gli attribuiscono la relazione'' <math>E = m c^2</math>, ''dove'' <math>E</math> ''è l'energia totale,'' <math>m</math> ''la massa relativistica e'' <math>c</math> ''è la velocità della luce nel vuoto. Einstein non ha mai derivato questa relazione, almeno non con quella interpretazione del significato dei suoi termini. Egli ha costantemente messo in relazione l'"energia a riposo" di un sistema con la sua massa inerziale invariante.''|Eugene Hecht,<ref name=hecht/> 2009}}
Nel suo articolo del 1905 "''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?''"<ref name="einstein"/> (entrato a far parte della raccolta chiamata [[Annus Mirabilis Papers]]), Einstein non utilizzò i simboli che diverranno usuali solo dal 1912.<ref name=manoscritto_1912/><ref name=farmelo>{{Cita libro |autore=P. Galison |titolo= L'equazione del sestante. E=mc²}} in {{Cita libro |curatore=G. Farmelo |titolo=Equilibrio perfetto. Le grandi equazioni della scienza moderna |editore=Il Saggiatore |anno=2016 |p=109}}</ref> In quell'articolo esaminò la diminuzione dell'energia di un corpo in quiete per emissione di radiazione in due direzioni opposte (al fine di garantire la conservazione della quantità di moto totale). Giunse all'equazione:
:<math>\Delta m_0 = - \frac{L}{V^2}</math>
dove <math>V</math> è la velocità della luce nel vuoto ed <math>L</math> rappresenta l'energia elettromagnetica irraggiata, proporzionale alla perdita di massa da parte del corpo immobile. Nel formalismo relativistico successivo al 1912 tale relazione sarebbe stata scritta come:
:<math>\Delta m_0 = - \frac{E_{em}}{c^2}</math>
Einstein generalizzò quindi il concetto affermando che:
«''Se un corpo perde energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/V². Il fatto che l'energia sottratta al corpo diventi energia di radiazione non fa alcuna differenza, perciò siamo portati alla più generale conclusione che la massa di qualunque corpo è la misura del suo contenuto di energia; se l'energia varia di L, la massa varia nello stesso senso di <math>L \,/\, (9 \times 10^{20})</math>, misurando l'energia in erg e la massa in grammi.''»
In queste parole c'è la chiara consapevolezza di Einstein circa la validità universale della sua scoperta.
Nella parte finale dell'articolo, Einstein suggerì d'indagare il [[Radio (elemento chimico)|radio]], un elemento radioattivo, per verificare l'equivalenza massa-energia nel caso d'[[radioattività|emissione radioattiva]]: ''«Non è impossibile che nei corpi nei quali il contenuto in energia sia variabile in sommo grado (per esempio nei [[Cloruro di radio|sali di radio]]) la teoria possa essere sperimentata con successo.»''. In effetti, sarà proprio nel campo della fisica nucleare che si avranno sistematiche conferme della validità delle equazioni <math>E = mc^2</math> ed <math>E_0 = m_0 c^2</math>.
{{Citazione|''Il fatto che il procedimento seguito da Einstein, [...] quale fu pubblicato nel suo articolo su "Annalen der Physik", fosse fondamentalmente errato, rappresenta un curioso incidente nella storia del pensiero scientifico. Infatti quella formula [...] non era altro che il risultato di una ''petitio principii'', la conclusione cioè dell'aver posto il quesito. Quest'affermazione non intende, naturalmente, sminuire l'importanza del contributo dato da Einstein su questo punto, dal momento che la relazione fra massa ed energia è una conseguenza necessaria della teoria della relatività e si può dedurre dalle ipotesi fondamentali della teoria con vari metodi, e non soltanto con quello impiegato da Einstein nella sua pubblicazione originale. L'illegittimità logica della deduzione fattane da Einstein fu dimostrata da [[Herbert Eugene Ives|Ives]].''<ref>{{cita pubblicazione |autore= H. E. Ives |titolo= Derivation of the Mass-Energy Relation |rivista=Journal of the Optical Society of America |volume= 42 |anno= 1952 |pagine=540-543 |lingua=en}}</ref><ref group="Nota">Una discussione approfondita degli argomenti di Ives contro la dimostrazione di Einstein e dei commenti, sia favorevoli sia contrari alle tesi di Ives, si trova nel 3º capitolo (''The Mass-Energy Relation'') del libro di {{cita libro|autore=M. Jammer |titolo=Concepts of Mass in Contemporary Physics and Philosophy |anno= 1999 |editore=Princeton}} Come lì riportato, Albert Einstein, che morì nell'aprile 1955, non replicò mai all'articolo di [[Herbert Eugene Ives|Ives]] del 1952.</ref>|[[Max Jammer]],<ref>{{cita libro|autore=M. Jammer|titolo= Concept of Mass in Classical and Modern Physics |editore= Harvard University Press |lingua=en |anno=1961}} Traduzione italiana: {{cita libro |titolo= Storia del concetto di massa nella fisica classica e moderna|anno= 1974 |editore=Feltrinelli |pagina= 181}}</ref> 1961}}
Nel 1907 Einstein tornò sulla derivazione relativistica dell'equivalenza massa-energia,<ref>{{cita pubblicazione|cognome= Einstein |nome=A. |titolo= Die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie |titolotradotto= L'inerzia dell'energia richiesta dal principio di relatività |rivista= Annalen der Physik |volume= 23 |anno= 1907 |pp= 371-384}} Traduzione inglese in {{cita web|url= https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/252 |titolo= On the inertia of energy required by the relativity principle |autore= A. Einstein|accesso= 30 ottobre 2020}}</ref> a riprova del fatto che non considerasse quella del 1905 come definitiva. La formula che viene ricavata in diverse situazioni d'interesse fisico è
dove <math>V</math> è la velocità della luce nel vuoto e «<math>\mu</math> ''denota la massa (nel senso usuale del termine) di un corpo rigido''». Nel formalismo relativistico successivo al 1912,<ref name=farmelo/> tale relazione diventa
in cui si fa esplicito riferimento all'energia a riposo <math>E_0</math> e alla [[massa (fisica)|massa newtoniana]], ovvero alla [[E=mc^2#Massa invariante|massa invariante]] <math>m_{inv}</math>.
=== Derivazioni non relativistiche di Einstein (1906 e 1950) ===
Nel 1906 Einstein fornì una derivazione non relativistica,<ref>{{cita pubblicazione|cognome= Einstein |nome=A. |titolo= Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie |titolotradotto= Il principio di conservazione del moto del centro di gravità e l'inerzia dell'energia|rivista= Annalen der Physik |volume= 20 |anno= 1906 |pp= 627-633}} Traduzione inglese in {{cita web|url=https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/214 |titolo= The principle of conservation of motion of the center of gravity and the inertia of energy |autore= A. Einstein|accesso= 6 ottobre 2020}}</ref> basata solo sulle leggi della meccanica e dell'elettromagnetismo, della formula <math>\Delta m_0 = - E_{em} / c^2</math> pubblicata l'anno precedente. La dimostrazione utilizzava la ''scatola di Poincaré'' (introdotta da [[Henri Poincaré]] nel 1900) e il nuovo risultato risulta approssimato al prim'ordine in (v/c).
La derivazione di Einstein fu modificata da [[Max Born]] in due suoi libri, pubblicati rispettivamente nel 1920<ref>Max Born, ''Die Relativitätstheorie Einsteins'' [''La teoria della relatività di Einstein''], 1920. Traduzione italiana dell'edizione inglese ''Einstein's Theory of Relativity'' del 1922: ''La sintesi einsteniana'', Bollati Boringhieri, 1969, pp. 334-338.</ref> e nel 1925.<ref>Max Born, ''Vorlesungen über Atommechanik'' [''Lezioni sulla meccanica atomica''], 1925. Traduzione italiana: ''Fisica atomica'', Bollati Boringhieri, 1968, pp. 78-79 e 403.</ref> La dimostrazione di Born viene qui riportata in una versione elaborata dai fisici italiani Enrico Smargiassi<ref>Enrico Smargiassi ([[Rocca San Casciano]], 1961) è un fisico italiano, docente all'[[Università di Trieste]].</ref><ref name=smargiassi>{{cita web|url=http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia/physics/emc2.html |titolo= È possibile ricavare l'equazione E = mc^2 dalla fisica classica ? |autore= E. Smargiassi|accesso= 14 luglio 2020}}</ref> e Gianluca Introzzi<ref>Gianluca Introzzi ([[Milano]], 1960) è un fisico italiano, docente all'[[Università di Pavia]].</ref> (intermittenza dell'emettitore <math>S</math> e formalismo più dettagliato), in modo da introdurre il [[moto perpetuo]] come esito paradossale che richiede l'equivalenza massa-energia <math>m_{em} = E_{em} / c^2</math> per essere eliminato.
Si abbia una scatola a forma di parallelepipedo isolata, non soggetta a forze o attriti esterni e ferma rispetto ad un riferimento inerziale. All'interno sono fissati, sulle due pareti minori, una sorgente direzionale di luce intermittente <math>S</math> a sinistra ed un assorbitore <math>A</math> a destra, di ugual massa e distanti <math>l</math> tra loro. La massa complessiva del sistema scatola, emettitore e assorbitore sia <math>M</math>. Se <math>E_{em}</math> è l'energia di un segnale luminoso, il momento associato risulta essere <math>p = E_{em}/c</math> (si veda la seconda dimostrazione, più sotto, per la sua derivazione). L'emissione del segnale luminoso verso destra da parte della sorgente <math>S</math> produce un rinculo della scatola verso sinistra. Il momento lineare della scatola è <math>q = Mv</math>, dove <math>v</math> è la sua velocità di spostamento. La scatola continuerà a muoversi verso sinistra, fino a che il segnale luminoso non sarà assorbito dall'assorbitore <math>A</math>. Il momento lineare <math>p</math> trasferito dalla luce all'assorbitore compenserà esattamente quello <math>q</math> della scatola, arrestando il movimento del sistema. Il risultato netto sarà uno spostamento della scatola verso sinistra di una distanza <math>x = v \, t</math>.
Dalla conservazione della quantità di moto ( <math>\vec p + \vec q = p - q = 0</math>) scritta esplicitamente:
:<math> \frac{E_{em}}{c} - M v = 0</math>
si ricava la velocità della scatola:
:<math>v = \frac{E_{em}}{cM} </math>.
Il tempo <math>t</math> è quello di volo del segnale luminoso dalla sorgente <math>S</math> all'assorbitore <math>A</math>:
:<math>t = \frac{l - x}{c} </math>.
Approssimare il suo valore con
:<math>t \simeq \frac{l}{c} </math>
equivale ad assumere <math>(l - x)/l = 1</math>, quindi <math>(c - v)/c = 1</math>, ovvero a trascurare termini correttivi dell'ordine di <math>v/c</math>. Allora in un'approssimazione al prim'ordine si ha:
:<math>x = v \, t \simeq \frac{l}{M} \, \frac{E_{em}}{c^2} </math>.
Tale risultato è paradossale: un sistema isolato fermo in un riferimento inerziale non può spostare il proprio centro di massa (sarebbe equivalente ad uscire dalle [[sabbie mobili]] tirandosi per i propri capelli, come raccontava d'aver fatto il [[barone di Münchhausen]]).
L'emissione di un secondo segnale luminoso sposterà ulteriormente la scatola a sinistra di una lunghezza <math>x</math>. Continuando l'emissione e l'assorbimento di segnali luminosi nella scatola, sembrerebbe possibile ottenerne lo spostamento per distanze arbitrariamente grandi, senza che nessun altro cambiamento avvenga dentro la scatola o nelle sue vicinanze. Sarebbe la realizzazione del [[moto perpetuo]], ovviamente impossibile. I due apparenti paradossi (spostamento del centro di massa e moto perpetuo) scompaiono se si tien conto dell'equivalenza massa-energia di Einstein. Con l'emissione del segnale luminoso, l'emettitore <math>S</math> perde l'energia <math>E_{em}</math>, e quindi si ha una differenza di massa <math>\Delta m_0</math> (per ora incognita, ma certamente negativa). Similmente, l'energia e quindi la massa dell'assorbitore <math>A</math> aumentano delle stesse quantità dopo l'assorbimento. Definiamo la massa associata alla radiazione emessa <math>( m_{em} > 0 ) </math> a partire dal difetto di massa <math>( \Delta m_0 < 0 )</math> della sorgente <math>S</math>:
:<math>m_{em} = - \Delta m_0</math>.
Per la conservazione della quantità di moto, il momento lineare totale dovuto allo spostamento delle due masse <math>M</math> ed <math>m_{em}</math> durante il tempo di volo <math>t</math> della luce deve essere nullo:
:<math>m_{em} c - M v = 0</math>
:<math>m_{em} \frac{l}{t} - M \frac{x}{t} = 0</math>
:<math>m_{em} l - M x = 0</math>
da cui si ricava
Lo spostamento <math>x</math> dovuto alle due masse deve uguagliare esattamente quello prodotto dall'impulso della radiazione.
Sostituendo nella relazione precedente il valore approssimato di <math>x</math>, dovuto all'impulso radiativo, si ottiene infine
:<math>m_{em} \simeq \frac{E_{em}}{c^2}</math>
ovvero
:<math>\Delta m_0 \simeq - \frac{E_{em}}{c^2}</math>.
Va osservato che tutti i risultati formali ottenuti da Einstein nel 1906 erano già stati anticipati da Poincaré sei anni prima (vedi [[E=mc^2#La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900 e 1904)|La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900 e 1904)]]). Tuttavia, anche per l'equivalenza massa-energia, si è ripetuto quanto avvenuto nel 1905 per l'etere: Poincaré aveva svolto e pubblicato prima di Einstein i calcoli relativi alla cinematica relativistica, fermandosi però ad un passo dall'affermare la non esistenza dell'etere. Quel passo, decisivo e rischioso ad un tempo, sarà fatto da Einstein nell'articolo del 1905 ''[[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]]'': «''L'introduzione di un "etere luminifero" si rivelerà superflua in quanto, secondo l'interpretazione sviluppata, non si introduce uno "spazio assoluto in quiete" dotato di proprietà speciali [...]''» La stessa dinamica si ripete con l'equivalenza massa-energia: Poincaré dopo il 1904 preferisce convivere con esiti paradossali (possibilità del moto perpetuo, non conservazione della quantità di moto, violazione del principio di relatività) pur di mantenere la tradizionale distinzione tra massa ed energia. La scelta risolutiva di unificare i due concetti, fatta da Einsten col lavoro del 1905 "''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?''",<ref name="einstein"/> sarà da lui ribadita nel 1906 utilizzando come [[esperimento mentale]] proprio quella ''scatola di Poincaré'' introdotta nel 1900 dal fisico-matematico francese.
Un altro modo di derivare l{{'}}''equivalenza [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]]'' è basato sulla [[pressione di radiazione]] o tensione del campo elettromagnetico, introdotta da [[James Clerk Maxwell]] nel 1874 e da [[Adolfo Bartoli (fisico)|Adolfo Bartoli]] nel 1876. Nel 1950 [[Albert Einstein]] attribuì l'origine della formula <math>E = mc^2</math> alle equazioni di campo di Maxwell.<ref>{{cita libro |nome=A.|cognome= Einstein|titolo= Out of My Later Years|anno = 1950| città = New York| editore= Philosophical Library| lingua= inglese}}</ref> La pressione di radiazione è
:<math>P = \frac{\phi(E)}{c}</math>
dove <math>\phi(E)</math> è il [[flusso]] d'[[energia]] elettromagnetica. Siccome
:<math>P = \frac{F}{S} = \frac{1}{c S} \, \frac{dE}{dt} = \frac{\phi(E)}{c} </math>
con <math>dE/dt</math> tasso di variazione dell'[[energia]] ricevuta dal corpo, la forza <math>F</math> esercitata su un corpo assorbente della radiazione elettromagnetica risulta essere
:<math>F = \frac{1}{c} \, \frac{dE}{dt}</math>.
D'altra parte, per la [[quantità di moto]] <math>p</math> assorbita dal corpo, vale
:<math> F = \frac{dp}{dt} </math>.
Dal confronto tra le due equazioni si ricava
:<math> \frac{dp}{dt} = \frac{1}{c} \, \frac{dE}{dt} \quad \Longrightarrow \quad p = \frac{E}{c} </math>
Se la [[quantità di moto]] <math>p</math> viene scritta come prodotto della massa <math>m</math> acquisita dal corpo assorbendo la radiazione per la velocità <math>c</math> della radiazione incidente (ipotesi ''ad hoc'' necessaria per ottenere il risultato voluto), si ricava
:<math> p = mc = \frac{E}{c} \quad \Longrightarrow \quad m = \frac{E}{c^2}</math>
Va specificato che l'implicazione sopra indicata ''non'' costituisce una prova della relazione <math>E = mc^2</math> e che l'equivalenza ''ad hoc'' <math>p = mc</math> non si trova né in Maxwell né in Bartoli, ma è stata proposta solo ''a posteriori'' (nel 1950) da Einstein.
=== Derivazione non relativistica di Rohrlich (1990) ===
Il fisico americano [[Fritz Rohrlich]] (1921 - 2018) è riuscito a dimostrare nel 1990 la formula <math>E = mc^2</math> senza servirsi di relazioni di tipo relativistico, basandosi esclusivamente sulle leggi della fisica classica, quali il principio di [[conservazione della quantità di moto]] e l'[[effetto Doppler]].<ref>{{cita pubblicazione|nome=F.|cognome=Rohrlich|titolo=An elementary derivation of E{{=}}mc²|rivista=American Journal of Physics|anno=1990|mese=aprile|volume=58|numero=4|p=348|lingua=en}}</ref>
Si consideri un corpo materiale <math>C</math> di massa <math>m_1</math> che si muova rispetto a un osservatore <math>O</math> con la velocità costante <math>v_1</math> molto bassa rispetto a quella della luce. Inoltre si prenda in considerazione un secondo osservatore <math>O_c</math> in quiete rispetto a <math>C</math>.
Si supponga che a un certo istante <math>t</math> il corpo <math>C</math> emetta due fotoni con la stessa energia <math>E = h\nu</math>, dove <math>h</math> è la [[costante di Planck]] e <math>\nu</math> la frequenza dei fotoni osservata da <math>O_c</math>, in quiete rispetto a <math>C</math>. I due fotoni sono emessi uno nella direzione del moto, l'altro in direzione opposta. Tenendo conto dell'effetto Doppler, l'osservatore <math>O</math> misurerà invece una frequenza pari a
per il fotone emesso in direzione del moto e pari a
per quello emesso in direzione opposta.
L'energia radiante <math>E</math> emessa all'istante <math>t</math> che è osservata da <math>O</math> sarà dunque
Inoltre, per il principio di conservazione, la quantità di moto del corpo <math>C</math> osservata da <math>O</math> prima dell'emissione deve essere pari alla somma delle quantità di moto di <math>C</math> e dei due fotoni dopo l'emissione (si noti che la quantità di moto del secondo fotone, poiché emesso in direzione contraria al moto, va presa col segno negativo), quindi:
dove:
* <math>m_1</math> = massa del corpo C prima dell'emissione
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Data la natura simmetrica dell'effetto, l'osservatore <math>O_c</math> non rileverà dopo l'emissione dei due fotoni alcun cambiamento di moto del corpo <math>C</math>, che continuerà quindi a trovarsi in quiete rispetto a lui. Quindi per l'osservatore <math>O</math> dopo l'emissione sia l'osservatore <math>O_c</math>, sia il corpo <math>C</math> continueranno a muoversi con velocità <math>v_1</math> invariata. Perciò si conclude che <math>v_1 = v_2</math>.
Sostituendo <math>v_2</math> con <math>v_1</math> nell'equazione sulla quantità di moto ed introducendo la riduzione di massa <math>m</math> del corpo <math>C</math> dopo l'emissione pari a <math>m = m_1 - m_2</math>, dopo facili passaggi algebrici dalla si ottiene:
da cui, tenendo presente che <math> E = 2h\nu</math>, si ottiene:
ovvero che l'energia <math>E</math> irradiata dal corpo <math>C</math> è pari alla perdita di massa subita da <math>C</math> in seguito all'emissione, moltiplicata per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.
== Note ==
;Approfondimenti
<references group="Nota" />
;Fonti
<references/>
==Bibliografia==
* V. Barone, ''Relatività - Principi e applicazioni'', Bollati Boringhieri, Torino 2004.
* V. Barone, ''E=mc² - La formula più famosa'', il Mulino, Bologna 2019.
* D. Bodanis, ''[[E=mc²: Biografia dell'equazione che ha cambiato il mondo]]'', Mondadori, Milano 2005.
* G. Chinnici, ''Assoluto e relativo - La relatività da Galileo ad Einstein e oltre'', Hoepli, Milano 2015.
* A. Einstein, E. Bellone (a cura di), ''Opere scelte'', Bollati Boringhieri, Torino 1988.
* A. Einstein, ''Relatività - Esposizione divulgativa e scritti classici su spazio geometria fisica'', Bollati Boringhieri, Torino 2011.
* C. Garfald, ''Come capire E=mc²'', Bollati Boringhieri, Torino 2019.
* M. Guillen, ''[[Le 5 equazioni che hanno cambiato il mondo]] - Potere e poesia della matematica'', TEA, Milano 2018.
* I. Stewart, ''Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo'', Einaudi, Torino 2018.
* L. Susskind, ''Relatività ristretta e teoria classica dei campi - Il minimo indispensabile per fare della (buona) fisica'', Raffaello Cortina, Milano 2018.
== Voci correlate ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [https://www.ajuronline.org/uploads/Volume_13_1/AJUR_January_2016p5.pdf Einstein’s 1905 Paper on E=mc2]
* {{Collegamenti esterni}}
* {{en}} [http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/4457020.stm Happy 100th Birthday E=mc²] BBC
* {{en}} [http://news.bbc.co.uk/2/hi/entertainment/4145797.stm Einstein's E=mc² inspires ballet] BBC
* {{cita web|1=http://www.rambert.org.uk/index.html|titolo=Rampart Dance Company: Constant Speed E=mc²|lingua=en
* {{cita web|1=http://www.edwardmuller.com/right17.htm|2=Edward Muller's Homepage > Antimatter Calculator|lingua=en
* {{cita web|http://hypertextbook.com/facts/2000/MuhammadKaleem.shtml|Energy of a Nuclear Explosion|lingua=en}}
* {{cita web|https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/|Albert Einstein’s Sep. 27, 1905 paper|lingua=en}}
* {{cita web|url=http://www.symmetrymag.org/cms/?pid=1000067|titolo=Einstein's 1912 manuscript page displaying E=mc²|lingua=en|accesso=11 gennaio 2006|dataarchivio=2 ottobre 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20061002182826/http://www.symmetrymag.org/cms/?pid=1000067|urlmorto=sì}}
* {{en}} [http://www.pbs.org/wgbh/nova/einstein/ NOVA - Einstein's Big Idea] (PBS Television)
* {{cita web|http://www.cartesio-episteme.net/libro2.htm|Presentazione del libro di Umberto Bartocci}}
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