Modellazione della turbolenza: differenze tra le versioni
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La '''modellazione della turbolenza''' è la rappresentazione, attraverso un [[modello matematico]], degli effetti della turbolenza sulla fluidodinamica di un flusso. La necessità di questi modelli è legata alla non chiusura delle [[equazioni di Navier-Stokes]], quando esse vengono scritte applicando la media di Reynolds. I [[Regime turbolento|flussi turbolenti]] rappresentano la maggior parte dei flussi presenti nel mondo reale (ad esempio il flusso dell'aria su un'ala d'aereo<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Rhie|nome=C|cognome2=Chow|nome2=Li|titolo=Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation|rivista=AIAA Journal|data=1983|url=http://www.academia.edu/download/44716428/rhie1983.pdf|urlmorto=sì}}</ref> o come il flusso del sangue all'interno del [[Apparato circolatorio|sistema cardiovascolare]]<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Sallam|nome=Ahmed|cognome2=Hwang|nome2=Ned|titolo=Human red blood cell hemolysis in a turbulent shear flow: contribution of Reynolds shear stresses|rivista=Biorheology|data=1984|url=https://content.iospress.com/articles/biorheology/bir21-6-05}}</ref>). La ricerca in questo ambito ha subito una accelerazione dagli anni '60, con lo sviluppo del trasporto aereo commerciale e l'incremento nella disponibilità di [[Computer|potenza computazionale]]<ref name="NASA">{{Cita web|titolo=Computational Fluid Dynamics Past, Present and Future |url=http://aero-comlab.stanford.edu/Papers/NASA_Presentation_20121030.pdf |editore=Department of Aeronautics & Astronautics - Stanford University}}</ref>. Dato l'interesse e la non esistenza di una soluzione analitica per flussi turbolenti (eccetto che per i casi più semplici), l'evoluzione di metodi simulativi per prevederne il comportamento ha richiesto lo sviluppo parallelo di modelli di turbolenza più avanzati. In particolare, si è passati da modelli basati su assunzioni sulle caratteristiche della turbolenza stessa (come i modelli basati sulla lunghezza di miscelazione) a modelli a una equazione (come lo Spalart-Allmaras) e infine a modelli a due equazioni e l'RSM.
==Il problema della chiusura==
Le equazioni fondamentali della fluidodinamica sono rappresentate dalle [[equazioni di Navier-Stokes]]. La risoluzione di questo [[sistema di equazioni]] permette di prevedere il comportamento di un flusso, dal punto di vista [[Cinematica|cinematico]] e [[Termodinamica|termodinamico]]. Vista la natura intrinsecamente [[Tridimensionalità|tridimensionale]], tempo dipendente e [[Aleatorietà|aleatoria]] della turbolenza<ref name="Pope">{{Cita libro|cognome1=Pope |nome1=Stephen B. |titolo=Turbulent flows |data=2000 |editore=Cambridge University Press |isbn=978-0-511-84053-1}}</ref>, diversi [[Statistica|approcci statistici]] sono stati sviluppati per catturarne gli effetti sul flusso medio. Per catturare questa caratteristica dei flussi turbolenti, ogni proprietà del flusso può essere scritta come somma della [[Media (statistica)|componente media]] e di quella fluttuante del [[Campo (fisica)|campo]] stesso. Le equazioni ottenute mediando le Navier-Stokes riscritte utilizzando questa decomposizione sono chiamate [[Equazioni di Navier-Stokes mediate|''Reynolds-Averaged Navier-Stokes'']] (RANS) ''equations''. Questa procedura di media presenta diverse proprietà, e in particolare quando essa viene applicata al prodotto di componenti medie e fluttuanti risulta che:
* La media di una componente fluttuante è nulla:
:: <math> \overline{\phi'} = 0 </math>
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:: <math> \overline{\phi' \phi'} \neq 0 </math>
In particolare questa ultima proprietà del processo di media applicata alle equazioni della [[Legge di conservazione della quantità di moto|conservazione della quantità di moto]] e dell'[[Legge di conservazione dell'energia|energia]] porta all'emergere di componenti che non possono essere determinate [[Analisi matematica|analiticamente]], ma che richiedono di una trattazione [[Analisi numerica|modellistica]].
Per l'equazione della quantità di moto
<math> \frac{\partial \rho \textbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \textbf{U}\textbf{U}) = \rho \textbf{g} - \nabla P + \mu \nabla^2\textbf{U} + \frac{1}{3} \nabla\left(\nabla \cdot \textbf{U}\right) </math>
<math> \overline{\nabla \cdot \rho \left(\overline{\textbf{U}} + \textbf{u'} \right) \otimes \left(\overline{\textbf{U}} + \textbf{u'} \right) } </math>
<math> \nabla \cdot \left(\rho \overline{\textbf{U}} \otimes \overline{\textbf{U}}\right) + \nabla \cdot \left(\rho \overline{\textbf{u'} \otimes \textbf{u'}}\right)</math>,
<math> \overline{\overline{r}} = -\rho \begin{bmatrix}
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\overline{vu} & \overline{v^2} & \overline{vw} \\
\overline{wu} & \overline{wv} & \overline{w^2}
\end{bmatrix} </math>,
<math> tr(\overline{\overline{r}}) = -\rho (\overline{u^2} + \overline{v^2} +\overline{w^2}) = -2 \rho k</math>
==Viscosità turbolenta==
Un primo approccio per trovare una chiusura al set delle RANS fu quello proposto da Joseph Valentin Boussinesq<ref>{{
<math> \overline{\overline{a}} = \overline{\overline{r}} + \rho \frac{2}{3} k = -2 \mu_t \overline{D_{ij}}</math>,
<math> -\rho \overline{uv} = \mu_t \frac{\partial U}{\partial y} </math>
==Lunghezza di miscelazione==
Successivamente a Boussinesq, Taylor (1915) e
<math> -\rho \overline{uv} = \mu_t \frac{\partial U}{\partial y} \propto l_t u_t \frac{\partial U}{\partial y}</math>,
<math> -\rho \overline{uv} \propto l_t^2 (\frac{\partial U}{\partial y})^2 </math>,
==Estensioni del modello==
Nel 1963 Smargorinsky<ref name="Smagorinsky_1963">{{Cita pubblicazione|cognome=Smagorinsky
|nome=Joseph
|titolo=General Circulation Experiments with the Primitive Equations
|rivista=Monthly Weather Review
|data=March 1963
|volume=91
|numero=3
|pp=99-164|bibcode = 1963MWRv...91...99S |doi = 10.1175/1520-0493(1963)091<0099:GCEWTP>2.3.CO;2 }}</ref> propose di estendere il concetto di lunghezza di miscelazione per flussi generici, esprimendo la viscosità turbolenta come funzione del tensore delle deformazioni medie:
<math> \frac{\mu_t}{\rho} = l_t^2 \sqrt{2 \overline{D} : \overline{D}} </math>
Baldwin e Lomax (1978) proposero una espressione simile, utilizzando il tensore delle rotazioni medie invece del tensore delle deformazioni:<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Baldwin
|nome=B.S.
|cognome2=Lomax
|nome2=H.
|titolo=Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flows
|rivista=AIAA Paper
|data=1978
}}</ref>
<math> \frac{\mu_t}{\rho} = l_t^2 \sqrt{2 \overline{R} : \overline{R}} </math>
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==Modelli a una equazione: modello di Prandtl==
Con l'obiettivo di sviluppare modelli più generici, nel 1945 Prandtl propose di legare direttamente la viscosità turbolenta all'energia cinetica turbolenta:
<math> \mu_t = c' l_t \sqrt{k} </math>
Per valutare l'energia cinetica turbolenta <math>k</math>,
<math> \rho \frac{\partial k}{\partial t} + \rho \overline{\textbf{V}} \cdot \nabla k = \overline{\overline{r}} : \nabla \overline{\textbf{V}} - 2\mu \overline{(\overline{d}:\overline{d})} + \nabla \cdot (\overline{-P' \textbf{v}} + \mu \nabla k - \frac{1}{2} \overline{v^2 \textbf{v}})</math>
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<math>\overline{\overline{r}} : \nabla \overline{\textbf{V}} </math>
e gli effetti di dissipazione di energia cinetica turbolenta dovuti alla viscosità:
<math>2\mu \overline{(\overline{d}:\overline{d})} </math>
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dove <math>\overline{\overline{d}} = \frac{1}{2}(\nabla \textbf{v} + \nabla \textbf{v}^T) </math> è il tensore delle deformazioni.
<math> \epsilon = 2\mu \overline{(\overline{d}:\overline{d})} \cong C_D \frac{k^{\frac{3}{2}}}{l_t} </math>,
mentre il termine di trasporto assume la forma:
<math> -P' \textbf{v} - \frac{1}{2} \overline{v^2 \textbf{v}} \cong \frac{\mu_t}{\sigma_k} \nabla k </math>
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==Modelli a una equazione: Spalart-Allmaras==
Vista la necessità di utilizzare comunque un modello per la lunghezza di miscelazione, Spalart-Allmaras (1994)<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Spalart
|nome=P.R.
|cognome2=Allmaras
|
|titolo=A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows
|rivista=Recherche Aerospatiale, No. 1
|data=1994
|pp=5-21
}}</ref> proposero una equazione di bilancio per la viscosità turbolenta, nella forma:
<math> \rho \frac{\partial \mu_t}{\partial t} + \rho \overline{\textbf{V}} \cdot \nabla \mu_t = \nabla \cdot (\mu_t \nabla \mu_t) + S</math>
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==I modelli a due equazioni==
Questa classe di modelli di turbolenza si propone di valutare la lunghezza di miscelazione e la viscosità turbolenta a partire da due parametri: l'energia cinetica turbolenta e la sua velocità di dissipazione (<math> \epsilon</math>).
===Modello <math>k-\epsilon</math>===
Il [[Modello k-epsilon|modello k- ε]] venne proposto da Jones e Launder (1972)
|nome=W.P.
|cognome2=Launder
|nome2=B.E.
|titolo=The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence
|rivista=International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 15
|data=1972
|pp=301-314
}}</ref> introducendo una seconda equazione di trasporto per la velocità di dissipazione dell'energia cinetica turbolenta <math>k</math>:
<math> \frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \overline{\textbf{V}} \cdot \nabla \epsilon = C_{\epsilon1} \frac{\epsilon}{k} \overline{\overline{r}} : \nabla \overline{\textbf{V}} - C_{\epsilon2} \frac{\epsilon^2}{k} + \nabla \cdot ((\frac{\mu}{\rho} + \frac{\mu_t}{\rho \sigma_\epsilon})\nabla \epsilon) </math>
I termini di produzione, ovvero il
===Modello <math>k-\omega</math>===
Per evitare il problema della singolarità a parete, Wilcox (1988)
|nome=D.C.
|titolo=Re-assessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models
|rivista=AIAA Journal, vol. 26, no. 11
|data=1988
|pp= 1299-1310
}}</ref> propose il modello <math> k-\omega</math>, dove la seconda equazione di trasporto è scritta per <math>\omega</math>, la frequenza caratteristica dei vortici:
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===Modello <math>k-\omega SST</math>===
Per combinare i vantaggi di questi due modelli, Menter (1994)
|nome=F.R.
|titolo=Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications
|rivista=AIAA Journal, vol. 32, no 8.
|data=1994
|pp= 1598-1605
}}</ref> propose una versione modificata del modello <math> k-\omega</math>, che combina le equazioni di <math>\omega</math> ed <math>\epsilon</math>, con un fattore moltiplicativo che se nullo, rende l'equazione identica a quella di <math>\omega</math>. Questo fattore di ''blending'', rende quindi il modello SST simile al modello <math> k-\omega</math> vicino a parete, mentre lontano dalla parete, esso si comporta come il <math> k-\epsilon</math>. Questo modello è largamente utilizzato nell'industria, in particolare nell'ambito [[Turbomacchina|turbomacchine]].
==Reynolds stress model (RSM)==
Questa classe di modelli non è basata sulla ipotesi di Boussinesq, e la chiusura del problema è effettuata risolvendo il tensore degli stress di Reynolds completo. L'assenza dell'ipotesi di [[isotropia]] della turbolenza significa che gli effetti di direzionalità della turbolenza potranno essere catturati, al costo di un maggiore carico computazionale rispetto a modelli a una/due equazioni (il modello RSM è infatti un modello a 7 equazioni aggiuntive, 6 per gli stress di Reynolds e 1 per la ɛ. La riduzione di risorse richieste rispetto a simulazioni LES (Large Eddy Simulation) o DNS ([[Direct numerical simulation|Direct Numerical Simulation]]) pone questi modelli a un punto intermedio rispetto ai modelli classici a due equazioni.
==Algebraic stress model (ASM)==
Questa classe di modelli nasce con lo scopo di riuscire a valutare l'anisotropia degli stress di Reynolds senza dover risolvere le loro equazioni di trasporto. Di base, il costo computazionale maggiore nel risolvere le RMS è causato dalla valutazione dei gradienti degli stress di Reynolds presenti nei termini convettivo e diffusivo delle equazioni di trasporto. Rimuovendo o modellando questi termini le equazioni degli stress di Reynolds si riducono a un set di equazioni algebriche. La modellazione può essere fatta assumendo che la somma dei termini convettivo e diffusivo degli stress di Reynolds sia proporzionale alla somma dei termini convettivi e diffusivi dell'energia cinetica turbolenta k.<ref>{{Cita libro|autore=Versteeg, Malalasekera|titolo=An Introduction To Computational Fluid Dynamics - The Finite Volume Method - 2nd Edition|anno=2007}}</ref>
== Note ==
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== Bibliografia ==
* Wilcox,
* Pope,
* Kundu, Cohen Dowling,
* Versteeg, Malalasekera, ''An Introduction To Computational Fluid Dynamics - The Finite Volume Method- 2nd Edition'', Pearson, 2007
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
{{portale|ingegneria|fisica}}
[[Categoria:
[[Categoria:Turbolenza]]
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