Lunghezza di un arco: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], la '''lunghezza di un arco''' è un [[numero reale]] positivo che misura intuitivamente l'''estensione'' di un [[arco (geometria)|arco]] o di una [[curva (matematica)|curva]].

BenchéNonostante la definizione di lunghezza di un [[segmento]] o di un ''camminopercorso poligonale'' sia stata chiara da tempo, una definizione generale soddisfacente didella ''lunghezza d'arco'' è relativamente recente. Questo problema, chiamatonoto anche come '''rettificazione''', è stato primainizialmente affrontato per curve specifiche, e quindisuccessivamente risolto grazie al [[calcolo infinitesimale]]. La definizione risultante, accettata adesso da tutti i matematici, funziona per un insieme molto vasto di curve, dette '''rettificabili'''.

== Definizione ==

[[File:Arclength.svg|350px|right]]

Scelto un numero finito di punti lungo la curva e connessoconnettendo ogni punto al successivo con un segmento, la somma delle lunghezze dei segmenti è la lunghezza del "cammino poligonale". La lunghezza del segmento sarà definita come la [[distanza (matematica)|distanza]] tra i due estremi.

La lunghezza della curva è il più piccolo numero che la lunghezza del cammino poligonale non può superare, ovvero è l'[[estremo superiore]] della lunghezza del cammino della poligonale, al variare delle poligonali.

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Se una curva è derivabile con continuità allora è rettificabile: per ogni punto ''t'' dell'intervallo è definita una velocità e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'[[integrale]] di questa velocità su ''I'' (quando la curva è in forma parametrica):

:<math> L(\varphi) = \int_I ||\varphi^{\prime}{(t)}||dt\mathrm{d}t </math>

dove <math>||\cdot||</math> è la norma indotta dalla [[distanza (matematica)|distanza]] usata nella definizione sopra. Usando la nozione di [[integrale di linea]] si può scrivere anche:

:<math> L(\varphi) = \int_\varphi dl\mathrm{d}l.</math>

=== Grafico di una funzione ===

A volte è utile conoscere la lunghezza del [[grafico di una funzione]] <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>. In questo caso il grafico si può scrivere come curva <math>\varphi:[a,b]\to\mathbb{R}^2</math>:

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</math>

Usando la definizione integrale di lunghezza di arco si perviene al risultato (quando la curva è in forma cartesiana):

:<math>L(\varphi) = \int_a^b\sqrt{1+[f'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.</math>

{{Approfondimento

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}}

seSe la curva bidimensionale è parametrica con ''x=f(t),'' e ''y=g(t)'', la lunghezza dell'arco è:

:<math>s = \int_{a}^{b} \sqrt { [f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 }\, dt\mathrm{d}t. </math>

seSe invece la curva è tridimensionale, con ''x=f(t), y=g(t), z=k(t)'', la lunghezza dell'arco è:

:<math>s = \int_{a}^{b} \sqrt { [f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [k'(t)]^2 }\, dt\mathrm{d}t. </math>

Per dimensioni più alte si procede analogamente.

== Storia ==

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Prima del completo sviluppo del calcolo, le basi per la moderna lunghezza degli archi sotto forma di integrale furono scoperte indipendentemente da [[Hendrik van Heuraet]] e [[Pierre Fermat]].

Nel [[1659]] van Heuraet pubblicò una costruzione mostrando che la lunghezza di un arco poteva essere interpretata come l'area sotto una curva, e lo applicò alla [[parabola (geometria)|parabola]]. Nel [[1660]], Fermat pubblicopubblicò una teoria più generale che conteneva gli stessi risultati nel suo ''De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica''.

[[File:Arc length, Fermat.png|thumb|upright=1.4|Metodo di Fermat per determinare la lunghezza di un arco]]

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== Collegamenti esterni ==

* {{cita web|1=http://math.kennesaw.edu/~jdoto/13.pdf|2=Matematica prima del calcolo|lingua=en|accesso=10 maggio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20051219223123/http://math.kennesaw.edu/~jdoto/13.pdf|dataarchivio=19 dicembre 2005|urlmorto=sì}}

* {{cita web|1=https://www.brown.edu/Students/OHJC/hm4/k.htm|2=La storia della curvatura|lingua=en|accesso=2 maggio 2019|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20070405155759/http://www.brown.edu/Students/OHJC/hm4/k.htm|dataarchivio=5 aprile 2007|urlmorto=sì}}

* {{cita web|http://www.pinkmonkey.com/studyguides/subjects/calc/chap8/c0808501.asp|Calculus Study Guide – Arc Length (Rectification)|lingua=en}}

* {{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html Famous Curves Index] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060413093644/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html |date=13 aprile 2006 }} ''The MacTutor History of Mathematics archive''

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}