Georg Cantor: differenze tra le versioni

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{{Nota disambigua||Cantor (disambigua)|Cantor}}

{{Citazione|Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.|[[David Hilbert]]<ref>{{citazione|''Aus dem paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können''| David Hlbert, ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/img/#navi Über das Unendliche. Mathematische Annalen]'', 1926, p. 170}}</ref>}}

{{Bio

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|AnnoNascita = 1845

|LuogoMorte = Halle

|LuogoMorteLink = Halle (SaaleSassonia-Anhalt)

|GiornoMeseMorte = 6 gennaio

|AnnoMorte = 1918

|Epoca = 1800

|Epoca2 = 1900

|Attività = matematico

|Nazionalità = tedesco

|PostNazionalità = , padre della moderna [[Teoria assiomatica degli insiemi|teoria degli insiemi]]

|Immagine = Georg Cantor2.jpg

|Didascalia = Georg Cantor

}}

Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo interno i concetti di [[numero transfinito|numeri transfiniti]], [[numeri cardinali]] e [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|ordinali]].

== Biografia ==

Cantor nacquenasce a [[San Pietroburgo]], figlio di Georg Woldemar Cantor, un operatore di borsa [[Danimarca|danese]], e di Marie Anna Böhm, una musicista di violinoviolinista, cattolica, nata in Russia ma di origini austriache. Nel [[1856]], a causa delle condizioni di salute del padre, la famiglia si trasferìtrasferisce ina [[GermaniaBerlino]], e. Georg continuòcontinua la sua educazione presso le scuole tedesche, dapprima a [[Darmstadt]], poi in Svizzera al [[Politecnico federale di Zurigo]], conseguendoe infine il dottorato presso l'[[Humboldt-Universität zu Berlin|Università di Berlino]], neldove ha come maestri [[1867Ernst Eduard Kummer|Kummer]], [[Leopold Kronecker|Kronecker]] e [[Karl Weierstrass|Weierstrass]]. Dopo aver conseguito il dottorato nel 1867 con una tesi sulla [[teoria dei numeri]]: ''De aequationibus secundi gradus indeterminatis,'' nel 1869 Cantor lascia Berlino per assumere una posizione di insegnante all[[Università "Martin Lutero" di Halle-Wittenberg|'Università di Halle]], nel 1874 si sposa con Vally Guttmann con la quale ebbe i due figli Rudolph e Erich. A Halle passerà il resto della sua vita<ref>{{Cita libro|autore=Ewald, William B. (ed.)|titolo=From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics|anno=1996|url=https://archive.org/details/fromkanttohilber0002unse|collana=Oxford science publications|data=1996|editore=Clarendon Press|ISBN=978-0-19-853271-2}}</ref>. Georg ebbe sempre nostalgia della madrepatria, dichiarandosi più russo che tedesco.{{senza fonte}}

Cantor riconobbe che gli [[insieme infinito|insiemi infiniti]] possono avere differenti [[cardinalità]], separò gli [[insieme|insiemi]] in [[numerabile|numerabili]] e [[insieme non numerabile|più che numerabili]] e provò che l'insieme di tutti i [[numero razionale|numeri razionali]] <math> \mathbb{Q}</math> è numerabile, mentre l'insieme di tutti i [[numero reale|numeri reali]] <math> \mathbb{R}</math> è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come [[argomento diagonale di Cantor|metodo della diagonale di Cantor]]. In seguito, cercò invano di dimostrare l'[[ipotesi del continuo]]. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto [[principio di localizzazione di Cantor|principio di localizzazione]], che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico.

La sua teoria degli infiniti fu duramente contestata e Cantor cercò sostegno anche nella Chiesa cattolica, convinto che il [[tomismo]] aristotelico ammettesse l'infinito attuale.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Giandomenico|cognome=Boffi|data=2021|titolo=Scienza e fede: dio e l’infinito – Considerazioni di un matematico|rivista=Espíritu: cuadernos del Instituto Filosófico de Balmesiana|volume=70|numero=161|pp=185-200|accesso=2025-01-19|url=https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=7941665}} (''ivi'': p. 192)</ref> Scrisse una lettera e indirizzò alcuni dei suoi ''[[pamphlet]]'' a [[papa Leone XIII]].<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Joseph W.|cognome=Dauben|data=1977|titolo=Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite|rivista=Journal of the History of Ideas|volume=38|numero=1|pp=85-108|accesso=2025-01-19|doi=10.2307/2708842|url=https://www.jstor.org/stable/2708842}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://web.archive.org/web/20230510043200/https://www.scribd.com/document/127820101/Dauben-Cantor-and-Pope-Leon-XIII-pdf|titolo=Dauben - Cantor and Pope Leon XIII PDF {{!}} PDF {{!}} Thomism {{!}} Infinity|sito=web.archive.org|data=2023-05-10|accesso=2025-01-19}}</ref>

Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di [[disturbo depressivo|depressione]], che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Intensificò allora la lettura di testi di [[letteratura]] e di [[religione]], in cui sviluppò il suo concetto d'[[infinito assoluto]] che identificò con [[Dio]]. Egli scrisse:

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{{Citazione|L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, ''in Dio'', che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie ''in abstracto'' come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico.}}

Impoveritosi durante la [[prima guerra mondiale]], morì nel [[1918]] ad [[Halle sul Saale|Halle]], dove era ricoverato in un [[ospedale psichiatrico]]. Le sue teorie non incontrarono subito l'assenso dei colleghi: il matematico [[Leopold Kronecker]], in particolare, giudicò le sue scoperte «prive di senso».<ref name="Dauben">Dauben, Joseph W. (1979). ''Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite''.</ref>

Al suo nome è intitolato il [[cratere Cantor]] sulla [[Luna]].

== La teoria degli insiemi ==

Cantor diede origine alla [[teoria degli insiemi]] ([[1874]]-[[1884]]).<ref>''Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen''. [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]. 1874.</ref> Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme <math>A</math>, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di <math>A</math>, chiamato l'[[insieme potenza]] di <math>A</math>. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito <math>A</math> ha una grandezza maggiore della grandezza di <math>A</math> stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di [[teorema di Cantor]]). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri [[Numero cardinale|cardinali]] e [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|ordinali]] [[Numero transfinito|transfiniti]], e la loro peculiare [[aritmetica]]. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'[[alfabeto ebraico]] [[aleph]] dotata di un [[numero naturale]] come indice (<math>\aleph_0</math> Alef zero); per gli ordinali utilizzò la lettera dell'[[alfabeto greco]] [[omega (lettera)|omega]].

L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno [[slittamento di paradigma]] di prima grandezza.

Cioè, non solo quindi Cantor - andando contro la tradizione Aristotelica, secondo cui l'infinito era definito solo come potenziale - ha concepito l'infinito attuale come un ente misurabile e degno di valore scientifico, ma ha mostrato e dimostrato tramite quello che oggi viene chiamato il metodo della [[Argomento diagonale di Cantor|diagonalizzazione]], che esistono diversi tipi di infinito. L'insieme dei numeri reali, per esempio, ha una grandezza (una cardinalità) maggiore dell'insieme dei numeri naturali, mentre l'insieme dei numeri pari ha la stessa "grandezza" dei numeri naturali, cioè (contro intuitivamente) una parte è uguale all'intero perché è possibile trovare una [[corrispondenza biunivoca]] (una biezionebiiezione) tra i due insiemi. Oggi i numeri transfiniti sono accettati dalla maggior parte dei matematici.

== Filosofia e religione ==

Nell'opera ''Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts'', risultano citate ed esaminate con cura un numero impressionante di fonti filosofiche e teologiche: [[Agostino d'Ippona|Agostino]], [[Aristotele]], [[Bernard Bolzano|Bolzano]], [[Kant]], [[Leibniz]], [[Platone]], [[Spinoza]], [[Tommaso d'Aquino]]. Inoltre, tra gli “scolastici”, [[Johannes Baptiste Franzelin|Franzelin]], [[Heinrich Pesch|Pesch]], [[Francisco Suárez|Suárez]], [[Salvatoris Tongiorgi|Tongiorgi]]; tra i filosofi, [[Albrecht von Haller]], [[Pierre Bayle|Bayle]], [[George Berkeley|Berkeley]], [[Boezio]], [[Fichte]], [[Giacinto Sigismondo Gerdil|Gerdil]], [[Giordano Bruno]], Hamilton, [[Hegel]], [[Emmanuel Maignan|Maignan]], [[Nicola da Cusa]], [[Origene]], [[Pitagora]], [[Schelling]], [[Sesto Empirico]], [[Thomasius]]; tra gli scienziati più antichi: [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]], [[Euclide]], [[Galileo]], [[Guldino]], [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], [[Isaac Newton|Newton]], [[Evangelista Torricelli|Torricelli]].

Lettore di Agostino e Spinoza, si dichiarò sempre religioso alla maniera di Spinoza, con una forte simpatia per il cattolicesimo materno. Intratteneva scambi epistolari importanti con Weierstrass, con il filosofo K. Lasswitz e con il teologo gesuita, il cardinale G.B. Franzelin, in parte pubblicati da lui stesso (sulla rivista filosofica fichtiana: ''Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik'', 1887-1888) e si doleva della diffidenza che la nozione di «transfinito» suscitava negli ambienti ecclesiastici (cfr. Thuiller, 1977).

La mappa cantoriana dell'infinito si fonda sull'opposizione indeterminato/determinato e, solo secondariamente, su quella finito/infinito. Si distinguono allora: a) l'assolutamente indeterminato, o infinito inconsistente (il «cattivo» infinito, per es.: «L'insieme di tutto ciò che è pensabile», vedi supra, IV); b) le molteplicità determinate e “finite”; c) il “finito” iterato, infinito potenziale, improprio, ma non «cattivo» (contro Hegel), importantissimo in [[analisi matematica]]; d) le molteplicità «infinite ben determinate», come i transfiniti; ed infine e) Dio, assolutamente infinito.

===I transfiniti e l'Infinito assoluto-Dio===

Georg Cantor teorizzò l'esistenza di diversi livello di infinito. L'infinito potenziale e vari infiniti attuali, che si ottengono pensando l'infinito potenziale come già esistente.

Qualsiasi infinito attuale è al di sopra di quello potenziale e si chiama anche [[numero transfinito|traansfinito]]:

* [[Aleph (cardinalità)|Aleph]]-zero è il nome dato da Cantor all'infinito attuale numerabile (es. l'[[insieme infinito]] dei [[numero intero|numeri interi]]);

* Aleph-uno è l'infinito attuale [[funzione continua|continuo]] (es. l'insieme infinito di tutti i [[Punto (geometria)|punti]] di un [[segmento]] di linea non nullo, di una [[superficie]] o di un [[volume]]; l'insieme infinito continuo dei [[numero reale|numeri reali]]);

* Aleph-due è rappresentato dal numero infinito di tutte le linee geometriche;

* Aleph-tre e superiori non sono rappresentabili.

Al di sopra di tutti gli infiniti attuali, Cantor colloca l'Infinito assoluto, una realtà assolutamente astratta che non è un infinito matematico fatto di numeri e che non è accessibile né determinabile con l'analisi e il rigore logico-matematico.<ref>[[Antonino Zichichi]], ''L'Infinito. L'avventura di un'idea straordinaria'', il Saggiatore, Milano 2004 (1^a ed. ne Pratiche Editrice, Milano 1998), pp. 171-174. {{ISBN|88-515-2212-X}}</ref> Cantor identificò l'unico Infinito [[assoluto]] con Dio<ref>{{Cita libro|nome=F.|cognome=Orilia|titolo=L'infinito prima e dopo l'infinito|url=https://u-pad.unimc.it/handle/11393/295357|accesso=2025-01-18|data=2021|editore=ITA|ISBN=978-88-5522-225-9}}</ref><ref>{{Cita web|lingua=it-IT|autore=Riccardo Giustozzi|url=https://www.cronachedalsilenzio.it/2020/11/10/linfinito-di-cantor-breve-storia-dello-scisma-matematico/|titolo=L’Infinito di Cantor: breve storia dello scisma matematico|sito=Cronache dal Silenzio|data=2020-11-10|accesso=2025-01-18}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://disf.org/editoriali/2018-04|titolo=Georg Cantor (1845-1918), cento anni dopo|sito=disf.org|accesso=2025-01-18}}</ref>, affermando che era descrivibile solo in termini di [[teologia negativa]].<ref>{{cita pubblicazione|autore=Gutschmidt, Rico|autore2=Carl, Merlin|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s11153-023-09897-8#citeas|titolo=The negative theology of absolute infinity: Cantor, mathematics, and humility|rivista= International Journal for Philosophy of Religion|volume=95|pagine=233-256|anno=2024|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|doi=10.1007/s11153-023-09897-8|accesso=18 gennaio 2025|ISSN=0020-7047|OCLC=10146601115}} (sottoposto a [[revisione paritaria]], [[Open Access]]). Disponibile anche nel sito della [https://kops.uni-konstanz.de/entities/publication/7b6361a2-2a1b-431d-b38b-9393e4439eac KOPS Universität Konstanz]</ref>

== Opere di Cantor ==

* ''Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen''. [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]. 1874. (Primo scritto sulla teoria degli insiemi).

* [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Cantor/Ausdehnung/ Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen], in: [[Mathematische Annalen]] 5 (1872) 123-132.

* [https://web.archive.org/web/20100818025905/http://www.geocities.jp/mickindex/cantor/cnt_uSU_gm.html Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuale Unendliche], 1886.

* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=49471 Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre], 1890/91.

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* Leonida Lazzari, ''L'infinito di Cantor''. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.

* Marco de Paoli, ''In numero et mensura. Cantor e la teoria degli insiemi'', Torino 1998, Noctua

* P. Thuiller, "Dieu, Cantor et l'infini" , "La Recherche", n. 84, dicembre 1977, pp.&nbsp;1110-1116.

== Voci correlate ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|Cantor|Cantor}}

* {{cita web|1url=http://www.shu.edu/projects/reals/history/cantor.html|2titolo=Biografia|lingua=en|sito=www.shu.edu|accesso=17 novembre 2004|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20041103085403/http://www.shu.edu/projects/reals/history/cantor.html|dataarchivio=3 novembre 2004|urlmorto=sì}}

* Giovanni Binotti, Cantor George [http://www.disf.org/Voci/169.asp Dizionario Interdisciplinare di Scienza e Fede]

* [https://web.archive.org/web/20041029173746/http://www.dean.usma.edu/math/people/rickey/hm/cantor.htm Bibliografia] di Fred Rickey

{{Medaglia Sylvester}}

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