Funzione continua: differenze tra le versioni
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[[File:Continuous and non-continuous function.svg|thumb|La funzione in rosso è continua, quella in blu non lo è
In [[matematica]], una '''funzione continua''' è una [[funzione (matematica)|funzione]] che, intuitivamente, fa corrispondere
Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate: la continuità di una funzione è uno dei concetti di base della [[topologia]] e dell'[[analisi matematica]]. La continuità di una funzione può essere definita anche in modo locale: in questo caso si parla di ''continuità in un punto'' del dominio. Una funzione continua è, per definizione, continua in ogni punto del proprio dominio. Una funzione che non è continua è detta ''discontinua'', e i punti del [[dominio (matematica)|dominio]] in cui non è continua sono detti ''punti di discontinuità''.
Per esempio, la funzione
▲Per esempio, la funzione ''h(t)'' che descrive l'altezza di un uomo rispetto alla sua età può essere vista come una funzione continua: in periodi brevi l'uomo cresce di poco. Al contrario, la funzione ''g(t)'' che rappresenta la quantità di denaro presente in un conto corrente nel tempo è una funzione discontinua, poiché prelievi e depositi le fanno fare salti da un valore all'altro.
== Definizioni ==
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:<math>\lim_{x \to p} f(x) = f(p)</math>
Tale definizione è usata maggiormente per funzioni definite su un intervallo della [[Retta dei numeri reali|retta reale]]: infatti, essa ha senso solo se <math>p</math> è un [[punto di accumulazione]] per il dominio di <math>f</math>. Essa è comunque estendibile anche nel caso di domini più complicati, che comprendono punti isolati: in essi, <math>f</math> risulta continua per una "verità vuota" (dall'[[lingua inglese|inglese]] ''vacuous truth'').
La funzione si dice continua se è continua in ogni punto <math>p</math> del dominio.
==== Definizione epsilon-delta ====
[[File:Example of continuous function.png|thumb|Studiando la funzione nel punto <math>p=2</math>, e scegliendo <math>\varepsilon = 0
Una funzione <math>f\colon A\rightarrow \mathbb{R}</math> definita su un [[sottoinsieme]] <math>A</math> dei numeri reali a valori reali si dice continua in un punto <math>p\in A</math> se per ogni numero <math>\varepsilon >0</math>, arbitrariamente piccolo, esiste un secondo numero <math>\delta >0</math> tale che, <math> \forall x\in A\cap (p-\delta,p+\delta)</math>, la funzione <math>f(x)</math> dista da <math>f(p)</math> per meno di <math>\varepsilon</math>, ovvero:<ref name=apos/>
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:<math>\forall\varepsilon >0\ \exist \delta > 0 : |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon</math>
Se questa proprietà vale per ogni punto nel dominio di definizione della funzione, allora si dice che la funzione è continua. In questo caso si dice che <math> f(x) \in C(A,\mathbb{R}) </math>, che è l'insieme delle funzioni continue a valori reali e variabili in <math>A</math>.
Più intuitivamente, se si vuole che la funzione <math>f(x)</math> disti di un valore piccolo da <math>f(p)</math> ci basta restringerci
Questa definizione è equivalente a quella data in precedenza: essa è costruita dalla prima semplicemente esplicitando la definizione di limite di una funzione. È stata usata per la prima volta da [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]].<ref name="grabiner">{{Cita pubblicazione|doi=10.2307/2975545|titolo=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus|nome=Judith V.|cognome=Grabiner|rivista=The [[American Mathematical Monthly]]|mese=marzo|anno=1983|volume=90|numero=3|pagine=185–194|url=https://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf|postscript=.|jstor=2975545|urlmorto=sì|accesso=1 maggio 2019|dataarchivio=10 marzo 2012|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120310071109/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf}}</ref>
=== Funzioni tra spazi topologici ===
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==== Funzioni tra spazi metrici ====
Gli [[spazio metrico|spazi metrici]] sono spazi topologici nei quali la topologia è generata da una base di intorni circolari.<ref>{{Cita|Manetti, Marco|p. 50|manetti}}.</ref> Sia <math>f</math> una funzione tra due spazi metrici <math>(X,d_1)</math> e <math>(Y,d_2)</math>. La funzione f si dice continua in un punto <math>p</math> se, per ogni scelta di <math>\varepsilon > 0</math>, esiste un <math>\delta > 0</math>, tale che, per ogni punto <math>x \in X</math> che dista meno di <math>\delta</math> da <math>p</math>, ovvero che:
:<math>d_1(x,p)<\delta</math>
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si ha che <math>f(x)</math> dista per meno di <math>\varepsilon</math> da <math>f(p)</math>, ovvero:<ref name=defM>{{Cita|Soardi, P.M.|pp. 175-177|soardi}}.</ref>
:<math>d_2(f(x),f(p))<\varepsilon.</math>
La definizione può essere scritta servendosi della nozione di [[palla (matematica)|intorno sferico]] <math>B_r(
:<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : f(E \cap B_\delta(p)) \subset B_\varepsilon(f(p)),</math>
dove <math>E</math> è l'insieme di definizione di <math>f</math>.<ref name=defM/>
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== Esempi ==
[[File:Brent method example.png|thumb|Una funzione cubica, espressa da un polinomio di terzo grado, è una funzione continua
Sono esempi di funzioni continue:
* Le [[funzione costante|funzioni costanti]] <math>f(x)=c</math>.
* La [[funzione identità]] <math>f(x)=x</math> da uno spazio topologico <math>(X,\tau_1)</math> allo stesso spazio <math>(X,\tau_2)</math>, dove <math>\tau_2</math> è la stessa topologia del dominio oppure una topologia meno [[Relazione di finezza|fine]].
* Le funzioni che associano
* Le [[trasformazione lineare|trasformazioni lineari]] fra [[spazio euclideo|spazi euclidei]]
* Le funzioni espresse da [[polinomio|polinomi]], come per esempio <math>f(x)=x^3+2x^2-3x+2</math>.
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* La [[funzione di Cantor]] e la [[curva di Koch]] sono esempi di funzioni continue con struttura [[frattale]].
* La [[curva di Peano]]: una [[curva piana]] che ricopre l'intero quadrato.
* La funzione <math>f(x)=x^x</math> nel suo dominio reale. Essa è definita e continua per ogni <math>x>0,</math> e per valori di <math>x</math> negativi interi e razionali con denominatore dispari.
[[File:Heaviside.png|thumb|La funzione di Heaviside presenta una [[discontinuità]] in 0
Sono esempi di funzioni ''non'' continue:
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== Proprietà delle funzioni continue ==
Sia <math>f
* [[Teorema della permanenza del segno|Permanenza del segno]]: Se in un punto <math>p</math> del suo dominio <math>f(p) > 0</math>, allora esiste un [[intorno]] <math>U(p)</math> tale che <math>f(x)>0</math> in tutti i punti dell'intorno.
* [[Teorema dei valori intermedi]]: se <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti del dominio, allora <math>f</math> assume tutti i valori compresi fra <math>f(a)</math> e <math>f(b)</math>.
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Se <math>f</math> è una funzione continua [[funzione biiettiva|biiettiva]] a valori reali definita su un intervallo, allora <math>f</math> è [[Funzione monotona|strettamente monotona]] e la funzione inversa <math>f^{-1}</math> è continua e strettamente monotona. L'implicazione non vale in generale per le funzioni il cui [[Dominio e codominio|dominio]] non è un [[intervallo (matematica)|intervallo]].<ref name=soardi>{{Cita|Soardi, P.M.|cap. 7|soardi}}.</ref>
Sia <math>f
* [[Teorema di Weierstrass]]: se <math>X</math> è un [[spazio compatto|insieme compatto]], allora <math>f</math> assume [[Massimo e minimo di una funzione|massimo e minimo]] in <math>X</math>. In particolare esistono <math>p,q \in X</math> tali che <math>f(p) \leq f(x) \leq f(q)</math> per ogni <math>x \in X</math>.
* Se <math>f</math> è biunivoca e <math>X</math> è compatto, allora <math>f^{-1}</math> è continua.
* [[Teorema di Heine - Cantor]]: se <math>X</math> è compatto, allora <math>f</math> è [[Continuità uniforme|uniformemente continua]].
* Se <math>f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))</math>, allora <math>f</math> è continua [[se e solo se]] è continua ogni funzione <math>f_i(x)</math>. Questo risultato è valido quindi per le funzioni <math>f(x):\R \to \R^n</math>.<ref name=soardi/>
Sia <math>f
* La [[controimmagine]] di un [[insieme aperto]] è un insieme aperto. Non è vero in generale che l'immagine di un insieme aperto sia un insieme aperto.
* La controimmagine di un [[insieme chiuso]] è un insieme chiuso.
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:<math>f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math>
esiste finito per ogni <math>x \in \mathbb{R}</math> (convergenza puntuale), allora non è necessariamente vero che <math>f(x)</math> è una funzione continua. Se però la successione [[convergenza uniforme|converge uniformemente]], allora il limite puntuale <math>f(x)</math> è continuo.<ref>{{Cita|Giusti E.|cap. 13|giusti}}.</ref>
=== Derivazione e integrazione ===
Una [[funzione derivabile]] (o più in generale una [[funzione differenziabile]]) in un punto <math>p</math> è sempre continua in quel punto. Non è vero l'inverso: esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione [[valore assoluto]], continua in <math>0</math> ma non derivabile nello stesso punto. Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la [[funzione di Weierstrass]].▼
Una funzione continua <math>f
▲Una [[funzione derivabile]] (o più in generale una [[funzione differenziabile]]) in un punto <math>p</math> è sempre continua in quel punto. Non è vero l'inverso: esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione [[valore assoluto]], continua in 0 ma non derivabile nello stesso punto. Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la [[funzione di Weierstrass]].
▲Una funzione continua <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> è sempre [[funzione integrabile|integrabile]] secondo [[integrale di Riemann|Riemann]] (e quindi anche secondo [[integrale di Lebesgue|Lebesgue]]). Inoltre, <math>f</math> ammette sempre [[primitiva (matematica)|primitive]] e ogni sua primitiva è continua. Viceversa, non tutte le funzioni integrabili sono continue: per esempio, sono integrabili tutte le funzioni costanti a tratti.<ref>{{Cita|Soardi P.M.|p.204 e pp. 295-301}}.</ref>
== Altri tipi di continuità ==
=== Continuità per successioni ===
Una funzione <math>f</math> a valori reali è ''continua per successioni'' in <math>x_0</math> se, per ogni [[successione (matematica)|successione]] <math>x_n</math> a valori nel dominio della funzione e convergente a <math>x_0</math>, la successione <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(x_0)</math>.
Questa formulazione di continuità è dovuta
Una funzione continua è sempre continua per successioni, mentre, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue. L'inverso vale solo se il dominio <math>\scriptstyle {X}</math> è uno [[spazio sequenziale]], come lo sono gli [[Spazio primo-numerabile|spazi primo-numerabili]]<ref>"primo-numerabile" è la traduzione letterale del termine ''first-countable'' usato in lingua inglese. Nella letteratura matematica recente lo si preferisce a termine ''base locale numerabile'' per evitare possibili confusioni con il secondo assioma di numerabilità. Si ricorda che uno [[spazio topologico]] soddisfa il ''primo assioma di numerabilità'' se ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.</ref> e dunque in particolare gli [[spazio metrico|spazi metrici]]: in questo caso, quindi, le due definizioni si possono considerare equivalenti.<ref>{{Cita|Arkhangel'skii, A.V.|pp. 31-33|Arkhangel'skii}}.</ref>
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[[File:Upper semi.png|thumb|Una funzione continua a destra]]
Una funzione reale <math>f</math> si dice ''continua a destra'' in <math>x_0</math> se:
:<math>\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0),</math>
dove il limite è inteso solo come [[limite di una funzione#Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto|limite destro]].
Riga 183 ⟶ 178:
Una funzione <math>f</math> si dice ''continua a sinistra'' in <math>x_0</math> se:
:<math>\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0).</math>
Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.
Riga 190 ⟶ 185:
=== Semicontinuità ===
[[File:Lower semi.svg|thumb|Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, <math>f(x_0)</math> si trova in basso]]▼
{{Vedi anche|Funzione semicontinua}}
▲[[File:Lower semi.svg|thumb|Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, <math>f(x_0)</math> si trova in basso]]
Una funzione <math>f</math> definita su uno spazio topologico <math>X</math> a valori reali si dice ''semicontinua inferiormente'' in <math>x_0\in X</math> se per ogni <math>\varepsilon > 0</math> esiste un intorno <math>U</math> di <math>x_0</math> tale che per ogni <math>x \in U</math>, si ha:
:<math>f(x) > f(x_0) - \varepsilon.</math>
Se invece vale, per ogni <math>x\in U</math>:
Riga 204 ⟶ 199:
Se la prima (o rispettivamente la seconda) proprietà vale in ogni punto del dominio, si dice che la funzione è semicontinua inferiormente (o rispettivamente semicontinua superiormente).
La semicontinuità (sia inferiore
=== Continuità separata ===
Riga 214 ⟶ 209:
Una condizione più forte (e globale) di continuità è quella di ''continuità uniforme'': una funzione continua tra due spazi metrici si dice uniformemente continua se il parametro <math>\delta</math> della definizione non dipende dal punto <math>p</math> considerato, ovvero se è possibile scegliere un <math>\delta</math> che soddisfi la definizione per tutti i punti del dominio.
Più precisamente, una funzione <math>f</math> è uniformemente continua se, per ogni <math>\varepsilon > 0</math> esiste un <math>\delta > 0</math> tale che, comunque presi due punti <math>p</math> e <math>q</math> nel dominio di <math>f</math> che distano per meno di <math>\delta</math>, allora le loro immagini <math>f(p)</math> e <math>f(q)</math> distano per meno di <math>\varepsilon</math>
:<math>\forall\varepsilon >0\ \exist \delta > 0 : |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon.</math>
=== Equicontinuità ===
{{Vedi anche|Equicontinuità}}
Quando gli elementi di un insieme di funzioni continue hanno il medesimo [[modulo di continuità]], si parla di ''insieme equicontinuo''. Nello specifico, Siano <math>X</math> e <math>Y</math> due [[spazio metrico|spazi metrici]] e <math>F</math> una famiglia di funzioni definite da <math>X</math> in <math>Y</math>. La famiglia <math>F</math> è equicontinua nel punto <math>x_0 \in X</math> se per ogni <math>\epsilon > 0</math> esiste <math>\delta > 0</math> tale che <math>d(f(x_0),f(x)) < \epsilon
Più in generale, quando <math>X</math> è uno [[spazio topologico]], un insieme <math>F</math> di funzioni da <math>X</math> in <math>Y</math> è equicontinuo nel punto <math>x \in X</math> se per ogni <math>\epsilon > 0</math> il punto <math>x</math> possiede un [[intorno]] <math>U_x</math> tale che:
:<math>d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon \qquad \forall y \in U_x, \quad \forall f \in F.</math>
Tale definizione è sapesso utilizzata nell'ambito degli [[spazio vettoriale topologico|spazi vettoriali topologici]].
=== Lipschitzianità ===
{{Vedi anche|Funzione lipschitziana}}
Correlato al concetto di continuità e continuità uniforme si hanno le funzioni lipschitziane, definite nel seguente modo:
:<math>\forall x,y \in \text{Dom}f \ \exists L\ge 0 \text{ tale che } |f(x) - f(y)| \le L|x-y|.</math>
La lipschitzità è una condizione sufficiente per la continuità uniforme e di conseguenza la continuità di una funzione.
== Spazio delle funzioni continue ==
L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato <math>A</math> e a valori reali:
:
può essere dotato di una struttura di [[spazio vettoriale]] ponendo per <math>f</math> e <math>g</math> in tale insieme:
:<math>\begin{aligned}
f+g\colon A & \rightarrow \R \\
x & \mapsto f(x)+g(x)
\end{aligned}</math>
e per <math>\alpha</math> numero reale:
:<math>\begin{aligned}
\alpha f\colon A & \rightarrow \R \\
x & \mapsto \alpha f(x)
\end{aligned}</math>
Lo [[spazio funzionale|spazio]] vettoriale così definito è detto ''spazio delle funzioni continue su <math>A</math>''.
Riga 243 ⟶ 254:
Se il dominio <math>A</math> è [[spazio compatto|compatto]] (e quindi per tutte le funzioni in <math>C(A,\R)</math> vale il [[teorema di Weierstrass]]) nello spazio <math>C(A,\R)</math> può essere definita una [[norma (matematica)|norma]] ponendo:
:<math>\left
detta ''[[norma uniforme]]'' o ''norma del sup''.
Riga 254 ⟶ 265:
== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Analisi Matematica Uno'', Liguori Editore,
* {{cita libro | cognome= Soardi | nome= Paolo Maurizio | titolo= Analisi Matematica| editore= CittàStudi| anno= 2007|isbn= 978-88-251-7319-2|cid =soardi}}
* {{cita libro | cognome= Manetti | nome= Marco | titolo= Topologia| editore= Springer| anno= 2008|isbn= 978-88-470-0756-7|cid =manetti}}
* {{cita libro | cognome= Apostol | nome= Tom M. | titolo= Calculus| url= https://archive.org/details/calculus01apos | volume= 1 | editore= John Wiley & Sons, inc.| anno= 1967| isbn= 0-471-00005-1|cid =apostol| lingua= en}}
* {{cita libro | cognome=Arkhangel'skii | nome= A.V. |coautori= Pontryagin, L.S. | titolo= General Topology I | editore=Springer-Verlag | anno=1990 |isbn=3-540-18178-4 |cid =Arkhangel'skii|lingua=en }}
* [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]
* {{cita libro | cognome= Giusti | nome= Enrico | wkautore=Enrico Giusti| titolo= Analisi matematica 2| editore= Bollati Boringhieri| anno= 2008| isbn= 978-88-339-5706-7|cid =giusti}}
Riga 272 ⟶ 283:
* [[Punto di accumulazione]]
* [[Punto di discontinuità]]
* [[Funzione derivabile]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{analisi matematica}}
{{Topologia}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
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