Processo di Bernoulli: differenze tra le versioni

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In [[teoria delle probabilità]] un '''processo di Bernoulli''' è un particolare [[processo aleatorio]] [[processo stocastico discreto|discreto]], ovveroossia una [[famiglia (matematica)|famiglia]] [[numerabile]] (''X''₁, ''X''₂, ...) di [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]] [[variabile indipendente|indipendenti]] aventi la medesima [[variabile casuale di Bernoulli|legge di Bernoulli]] ''B(p)''.

Un processo di Bernoulli può essere considerato come una sequenza di lanci di una moneta (eventualmente anche truccata). Ogni singolo lancio è detto '''prova di Bernoulli'''.

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==Variabili aleatorie==

Ogni singola [[variabile aleatoria]] ''X''_i può fornire due soli risultati: il ''successo'' (1) o il ''fallimento'' (0), con rispettive probabilità ''p'' e ''q''=1-''p'':

:<math>P(X_i=1)=p</math>

:<math>P(X_i=01)=q=1-p;</math>

:<math>P(X_i=10)=q=1-p.</math>

Il numero di successi dopo ''n'' prove è dato dalla variabile aleatoria

:<math>S_n=X_1+X_2+\ldots+X_n</math>,

:<math>S_n=X_1+X_2+\ldots+X_n,</math>,

che ha una '''[[distribuzione binomiale]]''' di probabilità:

che segue la [[variabile aleatoria binomiale|legge binomiale]] ''B(n,p)'', con probabilità

:<math>P(S_n=k)\ =\ {n\choose k}p^kq^{n-k}</math>

:<math>P(S_n=k)\ =\ {n\choose k}p^kq^{n-k}</math>

pari al numero di sequenze di ''k'' successi e ''n-k'' fallimenti, moltiplicato per la probabilità che una qualunque di queste si verifichi.

pariuguale al numero di sequenze di ''k'' successi e ''n-k'' fallimenti, moltiplicato per la probabilità che una qualunque di queste si verifichi.

Il numero di lanci necessari per ottenere un successo è dato da una variabile aleatoria ''N'' che segue la [[variabile aleatoria geometrica|legge geometrica]] di rapporto ''q'':

:<math>P(N=n)\ =\ P(S_{n-1}=0)\cdot P(X_n=1)\ =\ q^n\frac{p}{q}.</math>.

Più in generale, il numero di lanci necessari per ottenere ''k'' successi è dato da una variabile aleatoria ''N_k'' di legge

:<math>P(N_k=n)\ =\ P(S_{n-1}=k-1)\cdot P(X_n=1)\ =\ {n-1 \choose k-1} p^kq^{n-k};</math>;

in particolare, il numero di fallimenti è dato dalla variabile aleatoria ''P_k = N_k-n'', di [[variabile casuale binomiale negativa|legge di Pascal]] (o ''binomiale negativa'') ''P(p,k)''

:<math>P(P_k=r)\ =\ P(N_k=r+k)\ =\ {r+k-1 \choose k-1} p^kq^r\ =\ (-1)^k{-r \choose k}p^kq^r.</math>.

==Applicazioni==

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|}

Questo metodo sfrutta l'uguaglianza delle probabilità

:<math>P(X_{2n}=0, X_{2n+1}=1)\ =\ P(X_{2n}=1, X_{2n+1}=0)\ =\ pq;</math>;

e siccome 2''pq'' è al più 1/2, la lunghezza della [[stringa (informatica)|stringa]] finale risulta mediamente essere lunga non più di un quarto della stringa iniziale.

==Funzione di Bernoulli==

Un processo di Bernoulli può essere interpretato come una misura sullo [[spazio di Morse]] delle successioni di ''0'' e ''1'', o sull'intervallo <math>[0,1]</math> dei [[numeri reali]] in [[base binaria]] (la successione è la loro [[espressione decimale]]). In particolare, per ''p''=1/2 si ottiene una [[misura uniforme]].

Poiché ogni prova ha uno o due possibili risultati, una sequenza di tentativi può essere rappresentata dalle cifre [[numero binario|binarie]] di un [[numero reale]]. Quando la probabilità ''p'' = 1/2, tutte le possibili distribuzioni sono ugualmente verosimili, e quindi la misura della [[sigma algebra|&sigma;-algebra]] del processo di Bernoulli è equivalente alla misura uniforme nell'[[intervallo unitario]]: in altre parole, i numeri reali sono uniformemente distribuiti sull'intervallo unitario.

L'[[operatore di shift]], che ''mangia''"elimina" la prima cifra, mandando ogni cifra nella precedente: (<math>T(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x_2,x_3,x_4,\ldots),</math>) equivale quindi alla moltiplicazione per 2 [[aritmetica modulare|modulo 1]], o funzione di Bernoulli,: (<math>b(\alpha)=\{2\alpha\}=2\alpha-[2\alpha]</math>, dove <math>\{2α2\alpha\}</math> è la [[parte frazionaria]] di 2α)<math>2\alpha</math>.

La mappafunzione di Bernoulli è un modello esattamente risolubile di [[Teoria del caos|caos deterministico]]. L'[[operatore di trasferimento]], o operatore di Rouelle, di quest'applicazione è risolubile: i suoi [[autovalori]] sono potenze di 1/2 e le sue [[Autofunzione|autofunzioni]] sono i [[polinomi di Bernoulli]].

==Generalizzazioni==

La generalizzazione del processo di Bernoulli nelal [[Distribuzione multinomiale|caso multinomiale]] (più di due possibili risultati) è chiamata [[''schema di Bernoulli]]''<ref>{{Cita web|url=http://people.dm.unipi.it/giuliano/vecchio_sito/teaching/varie/Schema_Bernoulli.pdf|titolo=Schema di Bernoulli}}</ref> o modello delle ''prove ripetute e indipendenti''.

== Note ==

<references/>

==Bibliografia==