Variabile casuale: differenze tra le versioni

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[[File:Random Variable as a Function-en.svg|thumb|alt=Questo grafico mostra come la variabile casuale è una funzione da tutti i possibili risultati a valori reali. |Questo grafico mostra come la variabile casuale è una funzione da tutti i possibili risultati a valori reali.]]

In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria della probabilità]], una '''variabile casuale''' (detta anche '''variabile aleatoria''' o '''variabile stocastica''') è una [[Variabile (matematica)|variabile]] che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche [[fenomeno aleatorio]]. Ad esempio, il risultato del lancio di un dado bilanciato a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori <math> 1, 2, 3, 4, 5, 6</math> e ogni valore ha probabilità <math>1/6</math> di presentarsi.

Il termine ''«aleatorio''» deriva dal latino ''alea'' (''gioco di dadi''<ref>{{Cita web|url=http://www.treccani.it/vocabolario/aleatorio/|titolo=Definizione di Aleatorio|sito=treccani.it|accesso=9 febbraio 2015}}</ref>, ricorda il famoso ''[[alea iacta est]]'') ed esprime il concetto di rischio calcolato. La denominazione alternativa ''stocastico'' è stata introdotta da [[Bruno Dede Finetti]]<ref>{{Cita libro | titolo=DELI, Dizionario etimologico della lingua italiana | editore=Zanichelli | anno=2009}}</ref>. Il termine ''«casuale''» deriva dal latino ''casualis''.

== Storia ==

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel ''[[Fedone]]'' di [[Platone]]:

:''{{Citazione|«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»<br />
«In che senso?» feci.<br />
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»|Platone, ''Fedone'', XXXIX}}

(Platone, Fedone, XXXIX)

== Definizione ==

Più formalmente, dato uno [[Spazio di misura#Spazio di probabilità|spazio di probabilità]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\nu)</math> (dove <math>{\Omega}</math> è un [[insieme]] detto ''[[spazio campionario]]'' o ''insieme degli [[Evento (teoria della probabilità)|eventi]]'', <math>\mathcal{F}</math> è una [[sigma-algebra]] su <math>{\Omega}</math> e <math>\nu</math> è una [[misura di probabilità]]) e dato uno [[spazio misurabile]] <math>(E,\mathcal{E})</math>, una '''<math>(E,\mathcal{E})</math>-variabile aleatoria''' è una [[funzione misurabile]] <math>X\colon \Omega \to E</math> dallo spazio campionario ad <math>E</math>.

In questa definizione si intende che una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>X</math> è misurabile se per ogni <math>A\in\mathcal{E}</math> si ha che <math>X^{-1}(A)\in \mathcal{F}</math>. Questa definizione di misurabilità è una generalizzazione di quella definita da [[Bernard Lindgren|Lindgren]] ([[1976]]):

<cite>

una funzione <math>X</math> definita sullo spazio campionario <math>{\Omega}</math> si dice misurabile rispetto al [[Algebra di Borel|campo di Borel]] <math> \mathcal{B} </math> se e solo se l'evento <math> \{\omega\in \Omega : X(\omega) \leq \lambda \} </math> appartiene a <math> \mathcal{B} </math> per ogni <math>{\lambda}</math>.

</cite>

Se <math>E</math> è uno [[spazio topologico]] e <math>\mathcal{E}</math> è la [[Algebra di Borel|sigma-algebra di Borel]] allora <math>X</math> è detta anche '''<math>E</math>-variabile aleatoria'''. Inoltre se <math>E=\mathbb{R}^n</math> allora <math>X</math> è detta semplicemente '''variabile aleatoria'''.

In altre parole una variabile aleatoria <math>X</math> è un ''modo'' per indurre una [[misura di probabilità]] sullo [[spazio misurabile]] di arrivo <math>E</math> a partire dalla misura di probabilità definita sull'insieme degli eventi <math>\Omega</math>.

* Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in <math>\R</math>) si dicono ''semplici'' o ''univariate''.

* Le variabili casuali a più dimensioni si dicono ''multiple'' o ''multivariate'' (doppie, triple, <math>k</math>-uple).

* Le variabili casuali a valori matriciali si dicono [[Matrice aleatoria|matrici aleatorie]].

Variabili casuali che dipendono da un parametro ''t'' (dove ''t'' sta solitamente per ''tempo'') vengono

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== Distribuzione di probabilità ==

{{vedi anche|DistribuzioneMisura (matematica)|distribuzionedi probabilità}}

{{vedi anche|Distribuzione di probabilità composta}}

La distribuzione[[misura di probabilità]] indotta sullo [[spazio misurabile]] di arrivo <math>(E,\mathcal{E})</math> da una variabile casualealeatoria <math>X</math>, a partire dalla misura di probabilità <math>\nu</math> su <math>(\Omega,\mathcal{F})</math>, è detta spessola anchedistribuzione, o '''legge, di probabilità''', per la variabile casualedi <math>X</math>, e vieneè indicata con <math>P_X</math> eed è definita come:nel seguente modo

:<math> P_X(A) := \nu (X^{-1}(A)), </math>

per ogni <math>A\in\mathcal{E}</math>. Essa è ben definita proprio perché <math>X^{-1}(A)\in \mathcal{F}</math> per ogni <math>A\in\mathcal{E}</math>. Quando la variabile aleatoria è chiara dal contesto spesso si omette il pedice <math>X</math>. Per brevità, invece di scrivere <math>\nu(X^{-1}(A))</math> o <math>\nu(\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x\text{ per ogni } x\in A\})</math> spesso si usa la notazione

:<math> P_X(A) = P(X \in A). </math>

Per variabili aleatorie a valori [[numero reale|reali]], la legge di probabilità della variabile casuale <math>X</math> è individuata univocamente dalla suachiamata ''[[funzione di ripartizione]]'', ed è definita come <math>F(x)= P(X \le \ x)</math>. Inoltre:

* se la variabile casuale <math>X</math> è [[Variabile casuale discreta|discreta]], cioè l'insieme dei possibili valori (il '''rango''' o '''supporto''' di <math>X</math>) è [[insieme finito|finito]] o [[insieme numerabile|numerabile]], è definita anche la ''[[funzione di probabilità|funzione di massa]]'' (o ''funzione massa di probabilità'' o ''densità discreta''), ossia la funzione di probabilità discreta

In generale le distribuzioni di probabilità sono divise in due classi:

* se la variabile casuale <math>X</math> è [[Variabile casuale discreta|discreta]], cioè l'insieme dei possibili valori (il '''rango''' o '''supporto'''immagine di <math>X</math>) è [[insieme finito|finito]] o [[insieme numerabile|numerabile]], la distribuzione di probabilità è definitauna anche[[distribuzione ladiscreta]] ed è chiamata ''[[funzione di probabilità|funzione di massa]]'' (o ''funzione massa di probabilità'' o ''densità discreta''), ossia la funzione di probabilità discreta:

::<math>p(x)=P(X=x)</math>

* se la variabile casuale <math>X</math> è [[Variabile casuale continua|continua]], cioè l'insieme dei possibili valori ha la [[Cardinalità del continuo|potenza del continuo]], è definita anche la ''[[funzione di densitàdistribuzione di probabilità]]'', cioèè launa funzione[[distribuzione <math>f</math>continua]] noned negativaè tale perdefinita cuicome:

::<math> P(X\in A)=\int_A f(x)dx </math>

:dove <math>f</math> è una funzione non negativa chiamata ''[[funzione di densità di probabilità]]''.

Descrivere in termini probabilistici un fenomeno aleatorio nel tempo, cioè un fenomeno che sia caratterizzabile da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri, come il [[valore atteso]] e la [[varianza]].

== Alcune variabili casuali utilizzate in statistica ==

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, '''[[variabile casualeDistribuzione discreta|discrete]]''' e '''[[variabile casualeDistribuzione continua|continue]]''' (o '''assolutamente continue'''):

Esempi del primo tipo:

* [[Distribuzione discreta uniforme|variabile casuale uniforme discreta]]

* [[Distribuzione di Bernoulli|variabile casuale bernoulliana]], caso particolare della Binomiale

* [[Distribuzione binomiale|variabile casuale binomiale]]

* [[Distribuzione di Poisson|variabile casuale poissoniana]] detta pure [["legge degli eventi rari]]"

* [[Distribuzione geometrica|variabile casuale geometrica]], caso particolare della [[distribuzione di Pascal]]

* [[Distribuzione ipergeometrica|variabile casuale ipergeometrica]]

* [[Distribuzione degenere|variabile casuale degenere]]

Esempi del secondo tipo:

* [[Distribuzione normale|variabile casuale normale]] o gaussiana]]

* [[Distribuzione Gamma|variabile casuale Gamma]] o Erlanghiana]]

* [[Distribuzione t di Student|variabile casuale t di Student]]

* [[Distribuzione di Fisher-Snedecor|variabile casuale di Fisher-Snedecor]]

* [[Distribuzione esponenziale|variabile casuale esponenziale negativa]], caso particolare della v.c. Gamma

* [[Distribuzione chi quadrato|variabile casuale Chi Quadrato]] χ²]], caso particolare della v.c. Gamma

* [[Distribuzione Beta|variabile casuale Beta]]

* [[Distribuzione continua uniforme|variabile casuale rettangolare]] o uniforme continua]]

* [[Distribuzione di Cauchy|variabile casuale di Cauchy]]

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle [[variabile casualeDistribuzione singolare|variabili casuali singolari]] o ''continue singolari'', come la [[Distribuzione di Cantor|variabile casuale di Cantor]].

Il teorema di rappresentazione di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come [[combinazione convessa]] di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette ''[[mistura di distribuzioni|miste]]''.

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla [[Convergenza di variabili casuali#Convergenza in distribuzione|convergenza in distribuzione]], cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

== Note ==

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* {{Cita libro | nome=Giorgio | cognome=Dall'Aglio | titolo=Calcolo delle probabilità | editore=Zanichelli | città=Bologna | anno=2003}}

* {{Cita libro|cognome= Fristedt Gray |nome= Bert Lawrence |titolo= A modern approach to probability theory |anno= 1996 |editore= Birkhäuser |città= Boston |url= http://books.google.com/books/about/A_Modern_Approach_to_Probability_Theory.html?id=5D5O8xyM-kMC | isbn = 3-7643-3807-5 | lingua=en}}

* {{Cita libro|cognome= Kallenberg |nome= Olav |wkautore= Olav Kallenberg |anno= 1986 |titolo= Random Measures |edizione= 4 |editore= [[Akademie Verlag]] |città= Berlin | mr = MR0854102 | isbn = 0-12-394960-2 |url= http://books.google.com/books/about/Random_measures.html?id=bBnvAAAAMAAJ | lingua=en}}

* {{Cita libro|cognome= Kallenberg |nome= Olav |anno= 2001 |titolo= Foundations of Modern Probability |edizione= 2 |editore= [[Springer Verlag]] |città= Berlin | ISBN = 0-387-95313-2 |url= http://books.google.de/books/about/Foundations_of_Modern_Probability.html?hl=de&id=L6fhXh13OyMC | lingua=en}}

* {{Cita libro|wkautore= Athanasios Papoulis |cognome= Papoulis |nome= Athanasios |anno= 1965 |titolo= Probability, Random Variables, and Stochastic Processes |editore= [[McGraw–Hill]] |città= Tokyo |edizione= 9 | ISBN = 0-07-119981-0 |url= http://www.mhhe.com/engcs/electrical/papoulis/ | lingua=en}}

== Voci correlate ==

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* [[Processo stocastico]]

* [[Winsorizzazione]]

* [[Matrice aleatoria]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|v=Variabili casuali

|preposizione=sulle|etichetta=variabili casuali}}

}}

== Collegamenti esterni ==