Teoria f(R): differenze tra le versioni

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==Introduzione==

Una teoria della gravitazione tipo f(R) tenta di generalizzare la lagrangiana di un'[[azione di Einstein-Hilbert]], sostituendo allo [[scalare di Ricci]] una sua funzione qualunque <math>f(R)</math>:

:<math>S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x </math>,
alla forma:

:<math>S[g]= \int {1 \over 2\kappa} f(R) \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x </math>,

dove <math>\kappa= 8\pi G</math> e <math>g\equiv |g_{\mu\nu}|</math> è il determinante del [[tensore metrico]],

:dove:

<math>\kappa\equiv 8\pi G</math>,<br />

<math>g</math> è il determinante del [[tensore metrico]] <math>g\equiv |g_{\mu\nu}|</math>, e<br />

<math>f(R)</math> è una qualunque funzione dello [[Scalare di Ricci]].

==Metrica di una gravità tipo f(R)==

{{...|fisica}}

==Derivazione dell'equazione di campo==

In una teoria della gravitazione tipo f(R), le equazioni di campo sono dedotte in funzione di una metrica quale variabile indipendente, tenendo costante (non trattando) la connessione.

L'azione segue le principali variazioni di un'[[azione di Einstein-Hilbert]], con alcune importanti differenze.

Il determinante della variazione è al solito:<br />

:<math>\delta \sqrt{-g}= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}</math>.

Lo Scalare[[scalare di Ricci]] è definito come: <br />

:<math> R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.</math>

Perciò, la sua variazione rispetto alla metrica inversa :<math>R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.</math>, è data da:

è data da:

:<math>

Riga 47 ⟶ 39:

:<math>\delta R= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_\mu \nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}</math>,

:dove <math>\Boxnabla_\mu</math> è unla [[operatorederivata di d'Alembertcovariante]], definito comee <math>\Box=g^{\mu\nu}\nabla_\mu \nabla_\nu </math> è l'[[operatore di d'Alembert]].

dove:<br />

:<math>\nabla_\mu</math> è la [[derivata covariante]],

:<math>\Box</math> è un [[operatore di d'Alembert]], definito come <math>\Box=g^{\mu\nu}\nabla_\mu \nabla_\nu </math>.

Perciò, la variazione nell'azione diventa:

Riga 63 ⟶ 53:

dove <math>F(R)=\frac{\partial f(R)}{\partial R}</math>.

Integrando per parti il secondo e terzo termine, otteniamo:<br />

:<math>

\delta S[g]&= \int {1 \over 2\kappa} \sqrt{-g}\delta g^{\mu\nu} \left(F(R)R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu} f(R)+[g_{\mu\nu}\Box -\nabla_\mu \nabla_\nu]F(R) \right)\, \mathrm{d}^4x

\begin{align}

\delta S[g]&= \int {1 \over 2\kappa} \sqrt{-g}\delta g^{\mu\nu} \left(F(R)R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu} f(R)+[g_{\mu\nu}\Box -\nabla_\mu \nabla_\nu]F(R) \right)\, \mathrm{d}^4x

\end{align}

</math>

Riga 73 ⟶ 61:

:<math> \delta S[g]=0</math>,

si ottengono le equazioni di campo:<br />

:<math>F(R)R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu} \Box-\nabla_\mu

\nabla_\nu \right]F(R) = \kappa T_{\mu\nu}</math>,

dove <math>T_{\mu\nu}</math> è il [[tensore energia impulso]] definito come

dove:<br />

:<math>T_{\mu\nu}</math> è il [[Tensore energia impulso]] definito come <math>T_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(\sqrt{-g} L_m)}{\delta g^{\mu\nu}}</math>, con <math>L_m </math> lagrangina della massa.

con <math>L_m </math> lagrangiana della materia.{{portale|fisica}}

[[Categoria:Gravitazione]]